Definición
Un polinomio en la variable x es una función que puede escribirse de la forma,
donde an, an-1 , …, a2, a1, a0 son constantes. Llamamos término principal al que contiene la mayor potencia de x (es decir, anxn), y llamamos an al coeficiente principal. El grado del polinomio es la potencia de x en el término principal. Ya hemos visto polinomios de grado 0, 1 y 2 que eran las funciones constante, lineal y cuadrática, respectivamente. Los polinomios de grado 3, 4 y 5 también tienen nombres especiales: funciones cúbicas, cuárticas y quínticas. Los polinomios de grado n > 5 se llaman simplemente polinomios de grado n. Los nombres de las diferentes funciones polinómicas se resumen en la siguiente tabla.
| Grado del polinomio | Nombre de la función |
| 0 | Función constante |
| 1 | Función lineal |
| 2 | Función cuadrática |
| 3 | Función cúbica |
| 4 | Función cuártica |
| 5 | Función quíntica |
| n (donde n > 5) | Polinomio de grado n |
Algunos ejemplos de polinomios son:
El comportamiento limitante de los polinomios
El comportamiento limitante de una función describe lo que le ocurre a la función a medida que x → ±∞. El grado de un polinomio y el signo de su coeficiente principal dictan su comportamiento límite. En particular,
Estos resultados se resumen en la siguiente tabla.
Puedes utilizar esta información para determinar si un polinomio tiene o no grado par o impar y si el coeficiente principal es positivo o negativo, simplemente inspeccionando su gráfica.
Las siguientes gráficas de polinomios ejemplifican cada uno de los comportamientos señalados en la tabla anterior.
Raíces y puntos de inflexión
El grado de un polinomio dice aún más sobre él que el comportamiento límite. En concreto, un polinomio de grado n puede tener como máximo n raíces reales (intersecciones o ceros de x) contando las multiplicidades. Por ejemplo, supongamos que estamos ante un polinomio de 6º grado que tiene 4 raíces distintas. Si dos de las cuatro raíces tienen multiplicidad 2 y las otras 2 tienen multiplicidad 1, sabemos que no hay más raíces porque hemos contabilizado las 6 raíces. Esto se debe a que las raíces con multiplicidad 2 (también conocidas como raíces dobles) se cuentan como dos raíces.
Tenga en cuenta que un polinomio de grado n no tiene por qué tener n raíces reales – podría tener menos porque tiene raíces imaginarias. Observa que un polinomio de grado impar debe tener al menos una raíz real ya que la función se aproxima a – ∞ en un extremo y a + ∞ en el otro; una función continua que pasa de negativa a positiva debe intersecar el eje x en algún punto intermedio. Además, un polinomio de grado n puede tener como máximo n – 1 puntos de inflexión. Un punto de inflexión es un punto en el que la función cambia de creciente a decreciente o de decreciente a creciente, como se ve en la figura siguiente. De nuevo, un polinomio de grado n no necesita tener n – 1 puntos de inflexión, puede tener menos.
Nota de precaución
Es importante darse cuenta de la diferencia entre funciones pares e impares y polinomios de grado par e impar. Cualquier función, f(x), es par si,
f(-x) = x,
para todas las x en el dominio de f(x), o impar si,
f(-x) = -x,
para todas las x en el dominio de f(x), o ni par ni impar si ninguna de las anteriores son afirmaciones ciertas.
Un polinomio de grado k, p(x), se dice que tiene grado par si k es un número par y grado impar si k es un número impar. Recuerda que aunque p(x) tenga grado par, no es necesariamente una función par. Del mismo modo, si p(x) tiene grado impar, no es necesariamente una función impar.
También utilizamos los términos par e impar para describir raíces de polinomios. En concreto, un polinomio p(x) tiene raíz x = a de multiplicidad k (es decir, x = a es una raíz repetida k veces) si (x – a)k es un factor de p(x). Decimos que x = a tiene multiplicidad par si k es un número par e impar si k es un número impar.
Dominio y rango
Todos los polinomios tienen el mismo dominio que consiste en todos los números reales. El rango de los polinomios de grado impar también consiste en todos los números reales. El rango de los polinomios de grado par es un poco más complicado y no se puede establecer explícitamente el rango de todos los polinomios de grado par. Si el coeficiente principal es positivo, la función se extenderá hasta + ∞; mientras que si el coeficiente principal es negativo, se extenderá hasta – ∞. Esto significa que los polinomios de grado par con coeficiente principal positivo tienen un rango donde ymax denota el máximo global que alcanza la función. En general, no es posible determinar analíticamente los máximos o mínimos de los polinomios.
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En la siguiente sección aprenderás la división de polinomios, una técnica utilizada para encontrar las raíces de funciones polinómicas.
División de polinomios