DOPLNĚNO (14. března 2019, 13:18): Společnost Google ve čtvrtek oznámila, že jeden z jejích zaměstnanců, Emma Haruka Iwao, našel téměř 9 bilionů nových číslic čísla pí, čímž stanovil nový rekord. Lidé nyní vypočítali nekonečné číslo na 31 415 926 535 897 (chápete?) – asi 31,4 bilionu – desetinných míst. Je to zázrak na Den Pí!“

Předtím jsme publikovali článek o tom, jak se lidé snaží dopočítat nekonečný řetězec číslic pí. Na oslavu Dne pí a dalších 9 bilionů známých číslic jsme tento příběh níže aktualizovali.

V závislosti na vašich filozofických názorech na čas, kalendář a tak dále je dnešní den něco jako 4,5 miliardtý Den pí, který Země zažila. Tato dlouhá historie však není ničím ve srovnání s nekonečností samotného čísla pí.

Oživení pro ty z vás, kteří zapomněli hodiny matematiky ze sedmé třídy1: Pí neboli řecké písmeno je matematická konstanta, která se rovná poměru obvodu kruhu k jeho průměru – C/d. Skrývá se v každém kruhu a je rovna přibližně 3,14. (Odtud pochází Den pí, který se slaví 14. března, neboli 3/14.)

Jednoduchost jeho definice však popírá status pí jako nejzajímavějšího a nejstudovanějšího čísla v historii světa. Zatímco považovat pí za rovné 3,14 je často dost dobré, číslo ve skutečnosti pokračuje donekonečna, zdánlivě náhodná řada číslic putuje nekonečně ven a nepodléhá žádnému zřetelnému vzoru – 3,14159265358979…. Je to proto, že je to iracionální číslo, což znamená, že ho nelze vyjádřit zlomkem dvou celých čísel (i když přibližné hodnoty jako 22/7 se tomu mohou blížit).

To však lidstvu nezabránilo v tom, aby nekonečnou horu číslic pí zuřivě odbourávalo. Děláme to už celá tisíciletí.

Lidé se o číslo zajímají v podstatě tak dlouho, jak dlouho rozumíme matematice. Staří Egypťané podle dokumentu, který je shodou okolností také nejstarší sbírkou matematických hádanek na světě, věděli, že číslo pí je něco jako 3,1. Všichni věděli, že číslo pí je 3,1. Zhruba o tisíciletí později se odhad pí objevil v Bibli: Starý zákon v 1. knize Královské jako by naznačoval, že pí se rovná 3: „A udělal roztavené moře, deset loktů od jednoho okraje k druhému; bylo všude kolem dokola … a čára třiceti loktů ho obepínala kolem dokola.“

Archimedes, největší matematik starověku, se kolem roku 250 př. n. l. dostal až k číslu 3,141. Archimedes přistoupil ke svému výpočtu pí geometricky, vložením kružnice mezi dva pravidelné mnohoúhelníky s rovnými okraji. Měření mnohoúhelníků bylo snazší než měření kružnic a Archimedes měřil poměry podobné pí s tím, jak se počet stran mnohoúhelníků zvětšoval, až se velmi podobaly kružnicím.

K významnému zdokonalení Archimedovy metody dojde až za několik set let. Pomocí nové techniky integrace mohli matematici jako Gottfried Leibniz, jeden z otců kalkulu, dokázat takové elegantní rovnice pro pí, jako např:

\begin{rovnice*}\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\ldots\end{rovnice*}

Pravá strana, stejně jako pí, pokračuje navždy. Pokud budete sčítat a odečítat a sčítat a odečítat všechny tyto jednoduché zlomky, budete se stále více blížit skutečné hodnotě pí. Problém je, že se budete přibližovat velmi, velmi pomalu. Abyste získali pouhých 10 správných číslic pí, museli byste dohromady sečíst asi 5 miliard zlomků.

Byly však objeveny účinnější vzorce. Třeba tento od Leonharda Eulera, pravděpodobně největšího matematika všech dob, z 18. století:

\begin{rovnice*}\frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\ldots\end{rovnice*}

A Srinivasa Ramanujan, matematický génius samouk z Indie, objevil na počátku 20. století zcela překvapivou a bizarní rovnici uvedenou níže. Každý další člen tohoto součtu přidává k odhadu čísla pí osm správných číslic:

\begin{rovnice*}\frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{9801}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}\end{rovnice*}

Podobně jako při hledání velkých prvočísel, i při hledání čísla pí se počítače od poloviny devadesátých let minulého století dostaly z oběžné dráhy Země do hlubokého vesmíru. ENIAC, raný elektronický počítač a jediný počítač v USA v roce 1949, vypočítal pí na více než 2 000 míst, čímž téměř zdvojnásobil rekord.

Jak se počítače zrychlovaly a paměť byla dostupnější, číslice pí začaly padat jako kostky domina a řítily se po nekonečné řadě čísla, nemožně daleko, ale také nikdy blíž ke konci. Na základě Ramanujanova vzorce vypočítali bratři matematici Gregory a David Chudnovskyové počátkem 90. let 20. století více než 2 miliardy číslic pí pomocí podomácku vyrobeného superpočítače umístěného ve stísněném a dusném bytě na Manhattanu. Po několika letech svůj počet zdvojnásobili na 4 miliardy číslic.

Současný rekord nyní činí asi 31,4 bilionu číslic – tisíckrát více, než se podařilo domácímu superpočítači Chudnovských. Vypočítal ho zaměstnanec Googlu během 121 dní pomocí volně dostupného programu y-cruncher a ověřil ho dalšími 48 hodinami počítání. Výpočet zabral přibližně tolik úložného prostoru jako celá digitální databáze Kongresové knihovny. Emma Haruka Iwao, žena, která za rekordem stojí, počítá pí na počítači už od dětství.

Iwao svým výpočetním výkonem zvýšila kolektivní znalost číslic pí lidstva asi o 40 procent. Předchozí rekord činil přes 22 bilionů číslic a byl vypracován po 105 dnech výpočtů na serveru Dell, rovněž pomocí programu y-cruncher. Tento program, který používá Ramanujanovy i Chudnovského vzorce, byl použit k nalezení rekordního počtu číslic nejen čísla pí, ale i dalších nekonečných iracionálních čísel, včetně e, , a zlatého řezu.

Ale možná je 31 bilionů číslic přece jen trochu moc. Laboratoř tryskového pohonu NASA používá pro své výpočty s nejvyšší přesností pro meziplanetární navigaci pouze 15 číslic pí. Sakra, tolik číslic znal Isaac Newton už před 350 lety. „Hodnota na 40 číslic by byla více než dostatečná k výpočtu obvodu galaxie Mléčná dráha s chybou menší než velikost protonu,“ napsala skupina vědců v užitečné historii tohoto čísla. Proč bychom tedy vůbec potřebovali 31 bilionů číslic?“

Jistě, při hloubání nad číslem pí jsme se naučili něco málo z matematické teorie: o rychlých Fourierových transformacích a o tom, že pí je pravděpodobně takzvané normální číslo. Ale zdá se mi, že uspokojivější odpověď nemá s matematikou nic společného. Možná souvisí s tím, co řekl prezident John F. Kennedy o budování vesmírného programu. Děláme takové věci „ne proto, že jsou snadné, ale proto, že jsou těžké; protože tento cíl poslouží k uspořádání a změření toho nejlepšího z našich sil a schopností.“

Ale je tu jeden zásadní rozdíl: Měsíc není nekonečně daleko, můžeme se tam skutečně dostat. Možná je tento slavný citát o šachu výstižnější: „Život není dost dlouhý na šachy – ale to je chyba života, ne šachů.“

Pi je pro lidstvo příliš dlouhý. Ale to je chyba lidstva, ne pí. Šťastný den Pí.