Definice
Polynom v proměnné x je funkce, kterou lze zapsat ve tvaru,
kde an, an-1 , …, a2, a1, a0 jsou konstanty. Člen obsahující nejvyšší mocninu x (tj. anxn) nazýváme vedoucím členem a člen an nazýváme vedoucím koeficientem. Stupeň polynomu je mocnina x ve vedoucím členu. Již jsme se setkali s polynomy stupně 0, 1 a 2, což byly konstantní, lineární a kvadratické funkce. Stupně 3, 4 a 5 polynomů mají také speciální názvy: kubická, kvartová a kvintová funkce. Polynomům stupně n > 5 se říká prostě polynomy n-tého stupně. Názvy různých polynomů jsou shrnuty v následující tabulce.
| Stupeň polynomu | Název funkce |
| 0 | Konstantní funkce. |
| 1 | Lineární funkce |
| 2 | Kvadratická funkce |
| 3 | Kubická funkce |
| 4 | Kvartická funkce |
| 5 | Kvintická funkce |
| n (kde n > 5) | polynom n-tého stupně |
Mezi příklady polynomů patří např:
Krajní chování polynomů
Krajní chování funkce popisuje, co se stane s funkcí, když x → ±∞. Stupeň polynomu a znaménko jeho vedoucího koeficientu určuje jeho limitní chování. Konkrétně
Tyto výsledky jsou shrnuty v následující tabulce.
Tyto informace můžete použít k určení, zda má polynom lichý nebo sudý stupeň a zda je vedoucí koeficient kladný nebo záporný, a to jednoduše prohlídkou jeho grafu.
Následující grafy polynomů jsou příkladem každého z chování uvedených ve výše uvedené tabulce.
Kořeny a zlomové body
Stupeň polynomu o něm vypovídá ještě více než mezní chování. Konkrétně polynom n-tého stupně může mít nejvýše n reálných kořenů (x-interceptů nebo nul), počítáme-li násobky. Předpokládejme například, že se zabýváme polynomem 6. stupně, který má 4 různé kořeny. Jestliže dva ze čtyř kořenů mají násobnost 2 a zbylé dva mají násobnost 1, víme, že žádné další kořeny neexistují, protože jsme započítali všech 6 kořenů. Je to proto, že kořeny s násobností 2 (známé také jako dvojité kořeny) počítáme jako dva kořeny.
Uvědomte si, že polynom n-tého stupně nemusí mít n reálných kořenů – může jich mít méně, protože má imaginární kořeny. Všimněte si, že polynom lichého stupně musí mít alespoň jeden reálný kořen, protože funkce se na jednom konci blíží – ∞ a na druhém + ∞; spojitá funkce, která přechází ze záporných hodnot do kladných, musí osu x protínat někde mezi nimi. Kromě toho může mít polynom n-tého stupně nejvýše n – 1 bodů zvratu. Bod zvratu je bod, ve kterém funkce přechází z rostoucí na klesající nebo z klesající na rostoucí, jak je vidět na obrázku níže. Opět platí, že polynom n-tého stupně nemusí mít n – 1 bodů zvratu, může jich mít i méně.
Upozornění
Je důležité si uvědomit rozdíl mezi sudými a lichými funkcemi a polynomy sudého a lichého stupně. Každá funkce f(x) je buď sudá, jestliže,
f(-x) = x,
pro všechna x v oboru f(x), nebo lichá, jestliže,
f(-x) = -x,
pro všechna x v oboru f(x), nebo ani sudá, ani lichá, jestliže ani jedno z uvedených tvrzení není pravdivé.
O polynomu p(x) k-tého stupně říkáme, že má sudý stupeň, jestliže k je sudé číslo, a lichý stupeň, jestliže k je liché číslo. Nezapomeňte, že i když má p(x) sudý stupeň, nemusí být nutně sudou funkcí. Stejně tak, má-li p(x) lichý stupeň, nemusí být nutně lichou funkcí.
Termíny sudý a lichý používáme také k popisu kořenů polynomů. Konkrétně polynom p(x) má kořen x = a o násobnosti k (tj. x = a je k-krát opakovaný kořen), jestliže (x – a)k je činitel p(x). Říkáme, že x = a má sudou násobnost, je-li k sudé číslo, a lichou násobnost, je-li k liché číslo.
Oblast a rozsah
Všechny polynomy mají stejnou oblast, kterou tvoří všechna reálná čísla. Obor polynomů lichého stupně se také skládá ze všech reálných čísel. Obor polynomů sudého stupně je trochu složitější a nemůžeme explicitně uvést obor všech polynomů sudého stupně. Pokud je vedoucí koeficient kladný, bude funkce sahat do + ∞; zatímco pokud je vedoucí koeficient záporný, bude sahat do – ∞. To znamená, že polynomy sudého stupně s kladným vedoucím koeficientem mají rozsah, kde ymax označuje globální maximum, kterého funkce dosáhne. Obecně není možné analyticky určit maxima nebo minima polynomů.
*****
V další části se naučíte polynomické dělení, techniku používanou k nalezení kořenů polynomických funkcí.
Polynomické dělení
Polynomické dělení