Carnotův dokonalý tepelný motor: převyprávění druhého termodynamického zákona | Fyzika

Cíle učení

Na konci této části budete schopni:

Identifikovat Carnotův cyklus.
Vypočítat maximální teoretickou účinnost jaderného reaktoru.
Vysvětlit, jak disipativní procesy ovlivňují ideální Carnotův motor.

Vyfotografovat novinku známou jako pítko. Skládá se ze dvou skleněných žárovek spojených navzájem skleněnou trubicí. Horní baňka má tvar hlavy ptáka a trubička vypadá jako jeho krk. Spodní baňka, kterou lze přirovnat k břichu, obsahuje methylenchlorid, který byl obarven na červeno. Spodní část krku je připevněna k čepu a před hlavou ptáka je sklenice s vodou.

Obrázek 1. Pták piják (kredit: Arabesk.nl, Wikimedia Commons)

Novinka známá jako pták piják (na obrázku 1) je příkladem Carnotova motoru. Obsahuje v břiše methylenchlorid (smíšený s barvivem), který vře při velmi nízké teplotě – asi 100 ºF . K provozu se ptákovi namočí hlava. Jak se voda odpařuje, tekutina se přesouvá nahoru do hlavy, což způsobí, že se pták zvedne a ponoří se dopředu zpět do vody. Tím se methylenchlorid v hlavě ochladí a přesune se zpět do břicha, což způsobí, že pták ztěžkne a nakloní se nahoru. Až na velmi malý vstup energie – původní smáčení hlavy – se pták stává jakýmsi perpetuum mobilem.

Z druhého termodynamického zákona víme, že tepelný motor nemůže být stoprocentně účinný, protože vždy musí dojít k přenosu určitého množství tepla Qc do okolí, které se často nazývá odpadní teplo. Jak účinný tedy může být tepelný motor? Tuto otázku na teoretické úrovni zodpověděl v roce 1824 mladý francouzský inženýr Sadi Carnot (1796-1832) ve své studii o tehdy vznikající technologii tepelných motorů, která měla zásadní význam pro průmyslovou revoluci. Navrhl teoretický cyklus, dnes nazývaný Carnotův cyklus, který je nejúčinnějším možným cyklickým procesem. Druhý termodynamický zákon lze přeformulovat v termínech Carnotova cyklu, a tak Carnot vlastně objevil tento základní zákon. Každý tepelný motor využívající Carnotův cyklus se nazývá Carnotův motor.

Co je pro Carnotův cyklus klíčové – a co jej vlastně definuje – je, že se v něm používají pouze vratné procesy. Nevratné procesy zahrnují disipativní faktory, jako je tření a turbulence. To zvyšuje přenos tepla Qc do okolí a snižuje účinnost motoru. Je tedy zřejmé, že reverzibilní procesy jsou lepší.

Carnotův motor

Podle reverzibilních procesů má druhý termodynamický zákon třetí podobu:

Carnotův motor pracující mezi dvěma danými teplotami má největší možnou účinnost ze všech tepelných motorů pracujících mezi těmito dvěma teplotami. Navíc všechny motory využívající pouze reverzibilní procesy mají při provozu mezi stejnými danými teplotami stejnou maximální účinnost.

Na obrázku 2 je znázorněn PV diagram pro Carnotův cyklus. Cyklus se skládá ze dvou izotermických a dvou adiabatických procesů. Připomeňme, že jak izotermické, tak adiabatické procesy jsou v principu vratné.

Carnot také určil účinnost dokonalého tepelného motoru – tedy Carnotova motoru. Vždy platí, že účinnost cyklického tepelného motoru je dána vztahem:

\displaystyle{Eff}=\frac{Q_{\text{h}}-Q_{\text{c}}}{Q_{\text{h}}}=1-\frac{Q_{\text{c}}}{Q_{\text{h}}}\

Karnot zjistil, že pro dokonalý tepelný motor, poměr \frac{Q_{\text{c}}{Q_{\text{h}}} rovná poměru absolutních teplot zásobníků tepla. To znamená, že \frac{Q_{\text{c}}}{Q_{\text{h}}=\frac{T_{\text{c}}}{T_{\text{h}}}\\ pro Carnotův motor, takže maximální nebo Carnotova účinnost EffC je dána vztahem

\displaystyle{Eff}_{\text{C}}=1-\frac{T_{\text{c}}}{T_{\text{h}}}\\

kde Th a Tc jsou v kelvinech (nebo jiné absolutní teplotní stupnici). Žádný skutečný tepelný motor nedosahuje takové účinnosti jako Carnotův – skutečná účinnost přibližně 0,7 tohoto maxima je obvykle to nejlepší, čeho lze dosáhnout. Ale ideální Carnotův motor, stejně jako výše uvedený piják, je sice fascinující novinkou, ale má nulový výkon. To jej činí nereálným pro jakékoli aplikace.

Zajímavý Carnotův výsledek znamená, že 100% účinnost by byla možná pouze v případě, že by Tc = 0 K – tedy pouze v případě, že by studený zásobník byl na absolutní nule, což je prakticky i teoreticky nemožné. Fyzikální důsledek je však následující – jediným způsobem, jak dosáhnout toho, aby veškerý přenos tepla přešel na vykonání práce, je odebrat veškerou tepelnou energii, a to vyžaduje chladný zásobník při absolutní nule.

Je také zřejmé, že největší účinnosti se dosáhne, když je poměr \frac{T_{\text{c}}}{T_{{\text{h}}} co nejmenší. Stejně jako v případě Ottova cyklu v předchozí části to znamená, že účinnost je nejvyšší při nejvyšší možné teplotě horkého zásobníku a nejnižší možné teplotě studeného zásobníku. (Toto uspořádání zvětšuje plochu uvnitř uzavřené smyčky na fotovoltaickém diagramu; zdá se také rozumné, že čím větší je rozdíl teplot, tím snazší je přesměrovat přenos tepla na práci.) Skutečné teploty zásobníku tepelného motoru obvykle souvisejí s typem zdroje tepla a teplotou prostředí, do kterého dochází k přenosu tepla. Uvažujme následující příklad:

Část a obrázku ukazuje graf závislosti tlaku P na objemu V pro Carnotův cyklus. Tlak P je podél osy Y a objem V je podél osy X. V grafu jsou znázorněny hodnoty tlaku P a objemu V. Graf znázorňuje úplný cyklus A B C D. Dráha začíná v bodě A, pak se plynule pohybuje dolů až do bodu B ve směru osy X. V tomto bodě se pohybuje plynule dolů. To je označeno jako izoterma při teplotě T sub h. Pak křivka dále klesá dolů, po jiné křivce, z bodu B do bodu C. To je označeno jako adiabatická expanze. Křivka stoupá z bodu C do bodu D podél směru opačného než A B. To je také izoterma, ale při teplotě T sub c. Poslední část křivky stoupá z bodu D zpět do A podél směru opačného než B C. To je označeno jako adiabatická komprese. Dráha C D je nižší než dráha A B. Teplo Q sub h vstupuje do soustavy, jak ukazuje tučná šipka ke křivce A B. Teplo Q sub c opouští soustavu, jak ukazuje tučná šipka u C D. Část b diagramu znázorňuje spalovací motor znázorněný jako kruh. Zásobník tepla je obdélníková výseč v horní části kruhu znázorněná při teplotě T sub h. Zásobník chladu je znázorněn jako obdélníková výseč v dolní části kruhu při teplotě T sub c. Teplo Q sub h vstupuje do tepelného motoru, jak je znázorněno tučnou šipkou; jako výkon se vyrobí práce W, která je znázorněna na výstupu ze soustavy, a zbývající teplo Q sub c se vrací zpět do zásobníku chladu, jak je znázorněno tučnou šipkou směrem k němu.

Obrázek 2. Teplo Q sub h vstupuje do tepelného motoru, jak je znázorněno tučnou šipkou. PV diagram pro Carnotův cyklus využívající pouze vratné izotermické a adiabatické procesy. K přenosu tepla Qh do pracovní látky dochází během izotermické dráhy AB, která probíhá při konstantní teplotě Th. K přenosu tepla Qc dochází z pracovní látky během izotermické dráhy CD, která probíhá při konstantní teplotě Tc. Čistý pracovní výkon W se rovná ploše uvnitř dráhy ABCDA. Na obrázku je také schéma Carnotova motoru pracujícího mezi horkým a studeným zásobníkem při teplotách Th a Tc. Jakýkoliv tepelný motor využívající reverzibilní procesy a pracující mezi těmito dvěma teplotami bude mít stejnou maximální účinnost jako Carnotův motor.

Příklad č. 1. Maximální teoretická účinnost jaderného reaktoru

Jaderný energetický reaktor má tlakovou vodu o teplotě 300 ºC. (Vyšší teploty jsou teoreticky možné, ale prakticky ne, kvůli omezením s materiály použitými v reaktoru). Přenos tepla z této vody je složitý proces (viz obrázek 3). Pára vyrobená v parním generátoru se používá k pohonu turbogenerátorů. Nakonec se pára zkondenzuje na vodu o teplotě 27 °C a poté se znovu zahřeje, aby se cyklus spustil znovu. Vypočítejte maximální teoretickou účinnost tepelného motoru pracujícího mezi těmito dvěma teplotami.

Na obrázku je schéma tlakovodního jaderného reaktoru a parních turbín, které přeměňují práci na elektrickou energii. Uprostřed je tlaková nádoba, na koncích ve tvaru kopule. V ní je umístěno jaderné jádro. Jádro je malý čtverec uprostřed reaktoru. Regulační tyče jsou znázorněny jako stejně dlouhé tyče připojené k aktivní zóně. Tlakovou nádobou prochází několik chladicích trubek, které vedou zpět do parní komory. Tyto chladicí trubice obsahují chladicí kapalinu, která přenáší teplo z tlakové nádoby do parní komory. Celý tento systém je uzavřen v další ochranné konstrukci ve tvaru kopule z oceli. Z této komory vychází přívod vody do parní komory a výstup páry. Nyní je znázorněno, že tato pára pohání dvě parní turbíny, jednu vysokotlakou a druhou nízkotlakou. Turbíny mají téměř trojúhelníkový a segmentový tvar. Parní turbína zase vyrábí energii pomocí turbogenerátoru, který je připojen k soustavě turbín. Turbíny jsou opět umístěny v další komoře, která získává páru z parní komory a vrací páru jako vodu zpět do parní komory pomocí potrubí. V blízkosti turbínového systému je zobrazena chladicí věž, která přivádí chladnou vodu v trubkách do turbínového systému, aby se pára ochladila zpět na vodu.

Obrázek 3. Schéma tlakovodního jaderného reaktoru a parních turbín, které přeměňují práci na elektrickou energii. K výrobě páry se používá výměna tepla, částečně proto, aby se zabránilo kontaminaci generátorů radioaktivitou. Dvě turbíny se používají proto, že je to levnější než provoz jednoho generátoru, který vyrábí stejné množství elektrické energie. Pára se před návratem do výměníku tepla zkondenzuje na kapalinu, aby se udržel nízký výstupní tlak páry a usnadnil průtok páry turbínami (obdoba použití chladicího zásobníku s nižší teplotou). Značná energie spojená s kondenzací musí být odvedena do místního prostředí; v tomto příkladu se používá chladicí věž, takže nedochází k přímému přenosu tepla do vodního prostředí. (Všimněte si, že voda, která jde do chladicí věže, nepřichází do styku s párou proudící přes turbíny.)

Strategie

Protože jsou uvedeny teploty horké a studené nádrže tohoto tepelného motoru, lze k výpočtu Carnotovy (maximální teoretické) účinnosti použít {Eff}_{\text{C}}=1-\frac{T_{\text{c}}{T_{\text{h}}}. Tyto teploty je třeba nejprve převést na kelviny.

Řešení

Teploty horkého a studeného zásobníku jsou dány jako 300ºC a 27,0ºC. V kelvinech je tedy Th = 573 K a Tc = 300 K, takže maximální účinnost je \displaystyle{Eff}_{\text{C}}=1-\frac{T_{\text{c}}}{T_{\text{h}}}.

Takže,

\begin{array}{lll}{Eff}_{\text{C}}&=&1-\frac{300\text{ K}}{573\text{ K}}\\text{ }&=&0.476\text{, neboli }47,6\%\end{array}\

Diskuse

Skutečná účinnost typické jaderné elektrárny je asi 35 %, což je o něco málo více než 0,7násobek maximální možné hodnoty, což je zásluha špičkové techniky. Elektrárny spalující uhlí, ropu a zemní plyn mají skutečnou účinnost vyšší (asi 42 %), protože jejich kotle mohou dosahovat vyšších teplot a tlaků. Teplota studeného zásobníku v každé z těchto elektráren je omezena místním prostředím. Na obrázku 4 je znázorněn (a) vnější vzhled jaderné elektrárny a (b) vnější vzhled uhelné elektrárny. Obě mají chladicí věže, do kterých vstupuje voda z kondenzátoru blízko vrcholu věže a je rozstřikována směrem dolů a ochlazována odpařováním.

Část a ukazuje fotografii provozované jaderné elektrárny v nočním pohledu. Jsou na ní vidět kopulovité stavby, v nichž se nachází radioaktivní materiál, a výpary vycházející ze dvou chladicích věží. Část b ukazuje fotografii uhelné elektrárny. Je zobrazeno několik obrovských chladicích věží.

Obrázek 4. (a) Jaderná elektrárna (kredit: BlatantWorld.com) a (b) uhelná elektrárna. Obě mají chladicí věže, ve kterých se voda odpařuje do okolí, což představuje Qc. Jaderný reaktor, který dodává Qh, je umístěn uvnitř kopulovitých ochranných budov. (kredit: Robert & Mihaela Vicol, publicphoto.org)

Protože všechny reálné procesy jsou nevratné, skutečná účinnost tepelného motoru nemůže být nikdy tak velká jako účinnost Carnotova motoru, jak je znázorněno na obrázku 5a. I v případě nejlepšího možného tepelného motoru vždy dochází k disipativním procesům v periferních zařízeních, jako jsou elektrické transformátory nebo převodovky automobilů. Ty dále snižují celkovou účinnost tím, že přeměňují část pracovního výkonu motoru zpět na přenos tepla, jak je znázorněno na obrázku 5b.

Část a diagramu zobrazuje spalovací motor znázorněný jako kruh pro porovnání účinnosti skutečného a Carnotova motoru. Horký zásobník je obdélníková výseč nad kružnicí znázorněná při teplotě T sub h. Studený zásobník je znázorněn jako obdélníková výseč pod kružnicí při teplotě T sub c. Teplo Q sub h vstupuje do tepelného motoru, jak ukazuje tučná šipka. U skutečného motoru je znázorněno, že jeho malá část je vypuštěna jako výkon z motoru znázorněného tučnou šipkou opouštějící kružnici, a u Carnotova motoru je znázorněno, že jeho větší část odchází jako práce znázorněná čárkovanou šipkou opouštějící kružnici. Zbývající teplo se vrací zpět do chladného zásobníku, jak je znázorněno tučnou šipkou směrem k němu u skutečných motorů, a relativně menší množství tepla odevzdává Carnotův motor, jak je znázorněno přerušovanou šipkou. V části b diagramu je zobrazen spalovací motor znázorněný jako kruh pro studium tření a dalších disipativních procesů ve výstupních mechanismech tepelného motoru. Horký zásobník je obdélníkovou výsečí nad kružnicí znázorněnou při teplotě T sub h. Studený zásobník je znázorněn jako obdélníková výseč pod kružnicí při teplotě T sub c. Teplo Q sub h vstupuje do tepelného motoru, jak je znázorněno tučnou šipkou, na výstupu se vytváří práce W, která je znázorněna na výstupu ze systému, a zbývající teplo Q sub c a Q sub f se vrací zpět do studeného zásobníku, jak je znázorněno tučnými šipkami směrem k němu. Q sub f je teplo vznikající třením. Práce vykonaná třením odchází jako teplo Q sub f do studeného zásobníku.

Obrázek 5. Skutečné tepelné motory jsou méně účinné než Carnotovy motory. (a) Skutečné motory používají nevratné procesy, které snižují přenos tepla na práci. Plné čáry znázorňují skutečný proces; čárkované čáry znázorňují to, co by provedl Carnotův motor mezi stejnými dvěma zásobníky. (b) Tření a další disipativní procesy ve výstupních mechanismech tepelného motoru přeměňují část jeho pracovního výkonu na přenos tepla do okolí.

Shrnutí oddílu

Carnotův cyklus je teoretický cyklus, který je nejúčinnějším možným cyklickým procesem. Každý motor využívající Carnotův cyklus, který využívá pouze reverzibilní procesy (adiabatické a izotermické), se nazývá Carnotův motor.
Každý motor, který využívá Carnotův cyklus, má maximální teoretickou účinnost.
Ačkoli jsou Carnotovy motory ideálními motory, ve skutečnosti žádný motor nedosahuje teoretické maximální Carnotovy účinnosti, protože zde hrají roli disipativní procesy, například tření. Carnotovy cykly bez tepelných ztrát jsou sice možné při absolutní nule, ale to nebylo v přírodě nikdy pozorováno.

Pojmové otázky

Přemýšlejte o pítku na začátku této části (obrázek 1). Přestože se pták těší teoreticky maximální možné účinnosti, bude-li časem ponechán sám sobě, přestane „pít“. Jaké jsou některé z disipativních procesů, které by mohly způsobit, že se pták přestane pohybovat?
Mohou být v tepelných motorech použity dokonalejší konstrukce a materiály, aby se snížil přenos tepla do prostředí? Mohou přenos tepla do prostředí zcela vyloučit?
Změní druhý termodynamický zákon princip zachování energie?

Problémy & Cvičení

1. Jistý benzínový motor má účinnost 30,0 %. Jaká by byla teplota horkého zásobníku pro Carnotův motor s touto účinností, kdyby pracoval s teplotou studeného zásobníku 200 ºC?

2. Plynem chlazený jaderný reaktor pracuje mezi teplotami horkého a studeného zásobníku 700 ºC a 27,0 ºC. (a) Jaká je maximální účinnost tepelného motoru pracujícího mezi těmito teplotami? (b) Určete poměr této účinnosti ke Carnotově účinnosti standardního jaderného reaktoru (zjištěné v příkladu 1).

3. (a) Jaká je teplota horkého zásobníku Carnotova motoru, který má účinnost 42,0 % a teplotu studeného zásobníku 27,0 ºC? (b) Jaká musí být teplota horkého zásobníku u skutečného tepelného motoru, který dosahuje 0,700 maximální účinnosti, ale přesto má účinnost 42,0 % (a studený zásobník má teplotu 27,0 ºC)? (c) Vyplývají z vaší odpovědi praktické meze účinnosti automobilových benzinových motorů?“

4. Parní lokomotivy mají účinnost 17,0 % a pracují s teplotou horké páry 425 ºC. (a) Jaká by byla teplota studené nádrže, kdyby se jednalo o Carnotův motor? (b) Jaká by byla maximální účinnost tohoto parního stroje, kdyby teplota jeho studeného zásobníku byla 150 ºC?“

5. Jaká je maximální účinnost tohoto parního stroje? Praktické parní stroje využívají páru o teplotě 450 ºC, která je později odváděna při teplotě 270 ºC. (a) Jakou maximální účinnost může mít takový tepelný stroj? (b) Protože pára o teplotě 270 ºC je ještě poměrně horká, je někdy provozován druhý parní stroj využívající spaliny prvního. Jaká je maximální účinnost druhého stroje, jestliže jeho spaliny mají teplotu 150 ºC? (c) Jaká je celková účinnost obou motorů? (d) Ukažte, že je to stejná účinnost jako u jednoho Carnotova motoru pracujícího při teplotě 450 ºC a 150 ºC.

6. Elektrárna spalující uhlí má účinnost 38 %. Teplota páry vystupující z kotle je \text{550}\text{textordmaskulinní }\text{C} . Kolik procent maximální účinnosti dosahuje tato elektrárna? (Předpokládejte, že teplota prostředí je \text{20}\text{\textordmasculine }\text{C} .)

7. Byli byste ochotni finančně podpořit vynálezkyni, která uvádí na trh zařízení, o němž tvrdí, že při teplotě 600 K má přenos tepla 25 kJ, při teplotě 300 K má přenos tepla do okolí a vykoná 12 kJ práce? Vysvětlete svou odpověď.

8. Nepřiměřené výsledky (a) Předpokládejte, že chcete zkonstruovat parní stroj, který má přenos tepla do okolí při teplotě 270 ºC a má Carnotovu účinnost 0,800. Jaká je jeho účinnost? Jakou teplotu horké páry musíte použít? (b) Co je na této teplotě nerozumného? (c) Který předpoklad je nerozumný?“

9. Jaký předpoklad je nerozumný? Nerozumné výsledky Vypočítejte teplotu studeného zásobníku parního stroje, který používá horkou páru o teplotě 450 ºC a má Carnotovu účinnost 0,700. Jaká je teplota studeného zásobníku? (b) Co je na této teplotě nerozumné? (c) Který předpoklad je nerozumný?

Slovníček

Carnotův cyklus: cyklický proces, který využívá pouze vratné děje, adiabatický a izotermický děj

Carnotův motor: tepelný motor, který využívá Carnotův cyklus

Carnotova účinnost: maximální teoretická účinnost tepelného motoru

Vybraná řešení úloh & Cvičení

1. Jaká je účinnost tepelného motoru? 403ºC

3. a) 244ºC; b) 477ºC; c)Ano, protože se automobilové motory nemohou příliš zahřát, aniž by se přehřály, je jejich účinnost omezená.

5. Jaká je účinnost automobilových motorů? (a) {\mathit{\text{Eff}}}_{\text{1}}=1-\frac{{T}_{\text{c,1}}}{{T}_{\text{h,1}}}=1-\frac{\text{543 K}}{\text{723 K}}=0\text{.}\text{249}\text{ or }\text{24}\text{.}9\%\\

(b) {\mathit{\text{Eff}}_{2}=1-\frac{\text{423 K}}{\text{543 K}}=0\text{.}\text{221}\text{ nebo }\text{22}\text{.}}1\%\\

(c) {\mathit{\text{Eff}}}_{1}=1-\frac{{T}_{\text{c,1}}}{{T}_{\text{h,1}}}\Rightarrow{T}_{\text{c,1}}={T}_{\text{h,1}}\left(1,-,{\mathit{\text{eff}}}_{1}\right)\text{similarly, }{T}_{\text{c,2}}={T}_{\text{h,2}}\left(1-{\mathit{\text{Eff}}}_{2}\right)\\

using Th,2 = Tc,1 in above equation gives

\begin{array}{l}{T}_{\text{c,2}}={T}_{\text{h,1}}\left(1-{Eff}_{1}\right)\left(1-{Eff}_{2}\right)\equiv{T}_{\text{h,1}}\left(1-{Eff}_{\text{overall}}\right)\\\therefore\left(1-{Eff}_{\text{overall}}\right)=\left(1-{\mathit{\text{Eff}}}_{1}\right)\left(1-{Eff}_{2}\right)\\{Eff}_{\text{overall}}=1-\left(1-0.249\right)\left(1-0.221\right)=41.5\%\end{array}\\

(d) {\text{Eff}}_{\text{overall}}=1-\frac{\text{423 K}}{\text{723 K}}=0\text{.}\text{415}\text{ nebo }\text{41}\text{.}5\%\\

7. Přenos tepla do chladného zásobníku je {Q}_{\text{c}}={Q}_{\text{h}}-W=\text{25}\text{kJ}-\text{12}\text{kJ}=\text{13}\text{kJ}\\, so the efficiency is \mathit{Eff}=1-\frac{{Q}_{\text{c}}}{{Q}_{\text{h}}}=1-\frac{\text{13}\text{kJ}}{\text{25}\text{kJ}}=0\text{.}\text{48}\\. The Carnot efficiency is {\mathit{\text{Eff}}}_{\text{C}}=1-\frac{{T}_{\text{c}}}{{T}_{\text{h}}}=1-\frac{\text{300}\text{K}}{\text{600}\text{K}}=0\text{.}\text{50}\\. Skutečná účinnost je 96 % Carnotovy účinnosti, což je mnohem více než dosud nejlepší dosažená účinnost kolem 70 %, takže její schéma je pravděpodobně podvodné.

9. (a) -56,3ºC (b) Teplota je příliš nízká pro výkon parního stroje (místní prostředí). Je nižší než bod tuhnutí vody. (c) Předpokládaná účinnost je příliš vysoká.

Fyzika