Arrowova věta o nemožnosti představuje hrozivou situaci: žádný volební postup nesplňuje Arrowovy soubory axiomů, s výjimkou diktatury. To neznamená, že demokracie je chybná a že diktatura je jedinou rozumnou formou vlády. Pokud jsou Arrowovy axiomy příliš přísné a žádný volební postup je nesplňuje, pak buď menší soubor axiomů, nebo jiný soubor kritérií může umožnit srovnání volebních postupů – s cílem najít „nejlepší“ postup. Definice „nejlepšího“ se vztahuje k tomu, jaké vlastnosti jsou u postupu žádoucí. Níže je uveden seznam kritérií, která někteří použili k vyhodnocení volebních postupů, aby dospěli k závěru, který postup (postupy) je „nejlepší.“
Condorcetův vítěz

V roce 1770 navrhl Jean Charles de Borda použít k určení přijetí do Francouzské akademie věd Bordův počet. V roce 1785 Marie-Jean-Antoine-Nicolas de Caritat Condorcet (markýz du Condorcet) tvrdil, že Bordův počet je chybný, protože nemusí nutně zvolit kandidáta, který v přímé volbě porazí všechny ostatní kandidáty. Condorcet uvažoval o tom, co by se stalo při volbách mezi všemi dvojicemi kandidátů, a zobecnil pravidlo většiny jiným způsobem. Uvažujme následující příklad, v němž pět voličů seřadí čtyři kandidáty A, B, C a D.

Pro výše uvedené údaje o preferencích, při přímých volbách mezi dvěma kandidáty musí jeden z nich obdržet více hlasů než druhý z důvodu lichého počtu voličů. Například D porazí A, protože tři voliči dávají přednost D před A (voliči, jejichž preference jsou ve sloupcích 2, 3 a 4 výše), zatímco pouze dva voliči dávají přednost A před D (voliči, jejichž preference jsou ve sloupcích 1 a 5 výše). Podobnými výpočty lze ukázat, že D poráží A, B a C v párových soutěžích. Condorcet tvrdil, že by měl být zvolen kandidát, který v přímých volbách podle pravidla většiny porazí každého jiného kandidáta. Takový kandidát se nazývá „Condorcetův vítěz“. Údaje o přímých volbách pro výše uvedený příklad jsou uvedeny níže.

Bordův počet nemusí zvolit Condorcetova vítěze
Condorcet považoval Bordův počet za chybný, protože nemusí nutně zvolit Condorcetova vítěze. Výše uvedený příklad s pěti voliči (v němž jsou preference voličů pro kandidáty A, B, C a D) je toho důkazem. Vektor hlasování Borda count je zapsán vlevo od preferencí.

.

Kandidáti A, B, C a D obdrží 10, 5, 6 a 9 bodů. Z toho vyplývá, že A vyhrává volby podle Bordova počítání, na rozdíl od Condorcetova vítěze D.

A získává body: B má 2*3 + 3*2 + 0*1 + 1*0 = 10 bodů: C má 1*3 + 1*2 + 0*1 + 3*0 = 5
bodů: 0*3 + 2*2 + 2*1 + 1*0 = 6 bodů D: D: 2*3 + 0*2 + 3*1 + 0*0 = 9

Naneštěstí Condorcetův vítěz neexistuje vždy. (Viz zápis v rámečku.) Volební procedura, která vždy zvolí Condorcetova vítěze, pokud takový existuje, splňuje „Condorcetovo kritérium“. Mnoho matematiků a teoretiků hlasování navrhlo postupy, které splňují Condorcetovo kritérium, včetně anglického matematika Charlese Dodgsona. Přestože Dodgson přednášel matematiku na univerzitě Christ Church v Cambridgi, je známější pod pseudonymem Lewis Carroll, autor Alenčiných dobrodružství v říši divů.

Snadné použití a snadné pochopení
Volební procedura by měla být snadno použitelná, aby voliči mohli přesně vyjádřit své preference kandidátů. Dále by měl být volební postup pro voliče snadno pochopitelný, aby byla zajištěna důvěra ve výsledky voleb. Pokud je „nejlepší“ volební procedura příliš složitá na použití nebo na pochopení, pak voliči nemusí důvěřovat výsledkům voleb, a to bez ohledu na to, zda matematika pokřtila proceduru jako „nejlepší“ či nikoliv.

Například s rostoucím počtem kandidátů může být nepraktické předpokládat, že voliči dokáží seřadit všechny kandidáty (viz „Jak volit“), jak to vyžaduje většina volebních postupů. Schvalovací hlasování částečně podpořili Brams a Fishburn, protože je snadno pochopitelné a vyžaduje, aby voliči rozhodovali pouze o „schválení“ nebo „neschválení“ kandidátů. Jiní argumentovali, že schvalovací hlasování je příliš flexibilní. I když dva voliči mohou mít stejné pořadí kandidátů, mohou je rozdělit do dvou kategorií „schvaluje“ a „neschvaluje“ odlišně, takže preference podle pořadí nestačí k určení výsledku voleb.

Nejméně manipulovatelné
Cílem na volební proceduře je určit výsledek, který reprezentuje vůli lidu. Protože voliči mohou zkreslit své skutečné pořadí kandidátů a ovlivnit výsledek voleb tak, aby zlepšili výsledek (například hlasovat pro druhého nejpreferovanějšího kandidáta, když je jejich hlavní volba v průzkumech daleko vzadu), „nejlepší“ volební procedura by zabránila voličům zkreslit své preference, aby dosáhli lepšího výsledku. V teorii hlasování se tato vlastnost nazývá „strategicky odolná“. To znamená, že volební procedura je strategicky odolná, pokud nikdy není v nejlepším zájmu voliče hlasovat strategicky a zkreslovat své preference. Existuje taková strategicky neprůstřelná procedura?“

Současný objev!“

Allan Gibbard a Mark Satterthwaite nezávisle na sobě dokázali to, co se stalo známým jako Gibbardova-Satterthwaitova věta, která říká, že kromě diktatury neexistuje žádná strategicky neprůstřelná procedura pro volby mezi třemi nebo více kandidáty. Gibbard publikoval článek s tímto výsledkem v roce 1973. Satterthwaitův příspěvek byl součástí jeho doktorské práce na Wisconsinské univerzitě. Ačkoli byl proveden nezávisle a bez znalosti práce druhého, protože Gibbardova práce byla přijata k publikaci, Satterthwaite nemohl výsledek publikovat tak, jak je uveden v jeho disertaci. V roce 1975 publikoval verzi, v níž výsledek spojil s Arrowovou větou.

Mark Satterthwaite
Bibliografické odkazy viz „Odkazy a reference“.

Naneštěstí v Arrowově výsledku Allan Gibbard a Mark Satterthwaite ukázali, že jedinou strategicky průkaznou volební procedurou pro tři a více kandidátů je diktatura! Jejich práce vznikly nezávisle na sobě v 70. letech 20. století.

Protože všechny volební procedury, které nejsou diktaturou, jsou náchylné ke strategickému hlasování, je další otázkou určit, zda existuje procedura, která minimalizuje pravděpodobnost užitečnosti strategického hlasování. Tuto otázku si položil a odpověděl na ni Donald G. Saari z Kalifornské univerzity v Irvine. Dokázal, že Borda count minimalizuje pravděpodobnost, že zkreslení preferencí nebo strategické hlasování může být využito ku prospěchu.

Definitivní odpověď?“
Pro volby se třemi nebo více kandidáty neexistuje definitivní odpověď na to, jaký postup je nejlepší. Odpověď je relativní. Nejlepší postup může záviset na kontextu (např. kolik kandidátů) a na tom, které vlastnosti jsou pro volby považovány za důležité. Jedno je jisté: nehlasujte o tom, jaký volební postup použít!“

.