Při sestavování jakékoliv mřížky skládající se z koulí je třeba si nejprve uvědomit, že kdykoliv se dvě koule dotýkají, lze ze středu jedné koule do středu druhé nakreslit přímku protínající bod dotyku. Vzdálenost mezi středy podél nejkratší cesty, totiž této přímky, bude tedy r1 + r2, kde r1 je poloměr první koule a r2 je poloměr druhé koule. Při těsném balení mají všechny koule společný poloměr r. Proto budou mít dvě střediska jednoduše vzdálenost 2r.
Jednoduchá hcp mřížkaEdit
Chcete-li vytvořit šestiboké těsné balení koulí A-B-A-B-…, budou souřadnicovými body mřížky středy koulí. Předpokládejme, že cílem je vyplnit pole koulemi podle hcp. Krabice by byla umístěna na souřadnicovém prostoru x-y-z.
Nejprve vytvořte řadu koulí. Jejich středy budou všechny ležet na přímce. Jejich souřadnice x se bude lišit o 2r, protože vzdálenost mezi jednotlivými středy koulí se dotýkají je 2r. Souřadnice y a z budou stejné. Pro zjednodušení řekněme, že koule jsou v první řadě a že jejich y-ová a z-ová souřadnice jsou prostě r, takže jejich povrchy leží v nulové rovině. Souřadnice středů první řady budou vypadat takto: (2r, r, r), (4r, r, r), (6r ,r, r), (8r ,r, r), … .
Nyní vytvoříme další řadu koulí. Opět budou všechny středy ležet na přímce s rozdílem souřadnic x 2r, ale dojde k posunu o vzdálenost r ve směru x, takže střed každé koule v této řadě bude zarovnán se souřadnicí x místa, kde se dotýkají dvě koule v první řadě. To umožní, aby se koule nové řady posunuly blíže k první řadě, dokud se všechny koule v nové řadě nedotknou dvou koulí z první řady. Protože se nové koule dotýkají dvou koulí, tvoří jejich středy se středy těchto dvou sousedních koulí rovnostranný trojúhelník. Délky všech stran jsou 2r, takže rozdíl výšek neboli souřadnic y mezi řadami je √3r. Tato řada tedy bude mít souřadnice takto:
( r , r + 3 r , r ) , ( 3 r , r + 3 r , r ) , ( 5 r , r + 3 r , r ) , ( 7 r , r + 3 r , r ) , … . {\displaystyle \left(r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(3r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(5r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(7r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\dots .}
První koule této řady se dotýká pouze jedné koule v původní řadě, ale její umístění se shoduje se zbytkem řady.
Další řada se řídí tímto vzorem posunu souřadnice x o r a souřadnice y o √3. Přidávejte řádky, dokud nedosáhnete maximálních hranic x a y políčka.
Při uspořádání A-B-A-B-… budou mít liché roviny koulí přesně stejné souřadnice s výjimkou rozdílu roztečí v souřadnicích z a sudé roviny koulí budou mít stejné souřadnice x a y.
Při uspořádání A-B-A-B-… budou mít liché roviny koulí stejné souřadnice. Oba typy rovin se vytvoří podle výše uvedeného vzoru, ale výchozí místo pro první kouli první řady bude jiné.
Použijeme-li rovinu přesně popsanou výše jako rovinu č. 1, rovinu A, umístíme na tuto rovinu kouli tak, aby ležela v rovině A a dotýkala se tří koulí. Všechny tři koule se již vzájemně dotýkají a tvoří rovnostranný trojúhelník, a protože se všechny dotýkají nové koule, tvoří jejich čtyři středy pravidelný čtyřstěn. Všechny strany jsou rovny 2r, protože všechny strany jsou tvořeny dotykem dvou koulí. Jejich výška neboli rozdíl souřadnic z mezi oběma „rovinami“ je √6r2/3. To v kombinaci s posunem souřadnic x a y dává středy první řady v rovině B:
( r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 3 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 5 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 7 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , … . {\displaystyle \left(r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}}\right),\ \left(3r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}\right),\left(5r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\\left(7r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}\right),\dots .}
Souřadnice druhého řádku se řídí vzorem poprvé popsaným výše a jsou:
( 2 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 4 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 6 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 8 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , … . {\displaystyle \left(2r,r+{\frac {4{\sqrt {3}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}}\right),\ \left(4r,r+{\frac {4{\sqrt {3}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}\right),\left(6r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}\right),\left(8r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}\right),\dots .}
Rozdíl oproti další rovině, rovině A, je opět √6r2/3 ve směru z a posun v x a y, aby odpovídaly souřadnicím x a y první roviny A.
Obecně lze souřadnice středů koulí zapsat takto:
2 6 3 k ] r {\displaystyle {\begin{bmatrix}2i+((j\ +\ k){\bmod {2}})\\{\sqrt {3}}\left\{\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}k\end{bmatrix}}r}
