Arrows umulighedsteorem præsenterer en alvorlig situation: ingen valgprocedure opfylder Arrows sæt af aksiomer, bortset fra et diktatur. Dette betyder ikke, at demokratiet er fejlbehæftet, og at et diktatur er den eneste fornuftige styreform. Hvis Arrows aksiomer er for strenge, og ingen valgprocedure opfylder aksiomerne, kan enten et mindre sæt aksiomer eller et andet sæt kriterier gøre det muligt at sammenligne valgprocedurer – med det formål at finde en “bedste” procedure. Definitionen af “bedst” er afhængig af, hvilke egenskaber der er ønskelige i proceduren. Nedenfor er en liste over kriterier, som nogle har brugt til at evaluere valgprocedurer for at nå frem til deres konklusion om, hvilken procedure(r) der er “bedst”.”
Condorcet-vinder

I 1770 foreslog Jean Charles de Borda at bruge Borda-tællingen til at afgøre optagelse til det franske videnskabsakademi. I 1785 argumenterede Marie-Jean-Antoine-Nicolas de Caritat Condorcet (Marquis du Condorcet) for, at Borda-tællingen var mangelfuld, fordi den ikke nødvendigvis vælger en kandidat, der besejrer alle andre kandidater i et direkte valg. Condorcet overvejede, hvad der ville ske ved valg mellem alle par af kandidater, og generaliserede flertalsreglen på en anden måde. Overvej følgende eksempel, hvor fem vælgere rangordner de fire kandidater A, B, C og D.

For de ovennævnte præferencedata, i et direkte valg mellem to kandidater må den ene få flere stemmer end den anden på grund af det ulige antal vælgere. F.eks. besejrer D A, fordi tre vælgere foretrækker D frem for A (de vælgere, hvis præferencer er i kolonne 2, 3 og 4 ovenfor), mens kun to vælgere foretrækker A frem for D (de vælgere, hvis præferencer er i kolonne 1 og 5 ovenfor). Lignende beregninger kan bruges til at vise, at D vinder over A, B og C i parvise valgkampe. Condorcet argumenterede for, at en kandidat, der besejrer hver anden kandidat i direkte valg under flertalsreglen, bør vælges. En sådan kandidat kaldes “Condorcet-vinderen”. Dataene for hoved-til-hovedvalg for ovenstående eksempel vises nedenfor.

Borda-tællingen kan ikke vælge Condorcet-vinderen
Condorcet mente, at Borda-tællingen var mangelfuld, fordi den ikke nødvendigvis ville vælge Condorcet-vinderen. Ovenstående eksempel med fem vælgere (hvor vælgernes præferencer er for kandidaterne A, B, C og D) er et bevis herpå. Borda-tællingens stemmevektor er skrevet til venstre for præferencerne.

Kandidatkandidater A, B, C og D får henholdsvis 10, 5, 6 og 9 point. Derfor vinder A valget i henhold til Borda-tællingen i modsætning til Condorcet-vinderen D.

A’s point: 2*3 + 3*2 + 0*1 + 1*0 = 10 B’s point: 1*3 + 1*2 + 0*1 + 3*0 = 5
C’s point: 0*3 + 2*2 + 2*1 + 1*0 = 6 D’s point: 2*3 + 0*2 + 3*1 + 0*0 = 9

Der findes desværre ikke altid en Condorcet-vinder. (En valgprocedure, der altid vælger Condorcet-vinderen, når en sådan findes, opfylder “Condorcet-kriteriet”. Mange matematikere og valgeteoretikere har foreslået procedurer, der opfylder Condorcet-kriteriet, herunder den engelske matematiker Charles Dodgson. Selv om han var matematiklærer ved Christ Church, Cambridge University, er Dodgson bedre kendt under sit pseudonym, Lewis Carroll, forfatteren af Alice’s Adventures in Wonderland.

Benyttelsesvenlighed og letforståelighed
En valgprocedure bør være let at anvende, så vælgerne kan give et præcist billede af deres præferencer for kandidaterne. Endvidere bør en valgprocedure være let at forstå for vælgerne, således at der er tillid til valgresultaterne. Hvis en “bedste” valgprocedure er for kompliceret at anvende eller forstå, vil vælgerne måske ikke have tillid til valgresultaterne, uanset om matematikken har døbt proceduren som “bedste” eller ej.

For eksempel kan det, efterhånden som antallet af kandidater stiger, være upraktisk at antage, at vælgerne kan rangordne alle kandidater (se “Hvordan man stemmer”), som det kræves ved de fleste valgprocedurer. Godkendelsesafstemning er til dels blevet støttet af Brams og Fishburn, fordi den er let forståelig og kræver, at vælgerne kun skal beslutte sig for at “godkende” eller “misbillige” kandidater. Andre har hævdet, at der er for stor fleksibilitet i godkendelsesafstemning. Selv om to vælgere kan rangordne kandidaterne på samme måde, kan de opdele dem forskelligt i de to kategorier “godkender” og “misbilliger”, så rangordenspræferencerne ikke er nok til at afgøre et valgresultat.

Mindst muligt at manipulere
Målet med en valgprocedure er at bestemme et resultat, der repræsenterer folkets vilje. Fordi vælgerne kan fordreje deres sande rangordning af kandidaterne og påvirke valgresultatet på en måde, der forbedrer resultatet (f.eks. ved at stemme på den næstmest foretrukne kandidat, når ens eget førstevalg ligger langt tilbage i meningsmålingerne), vil en “bedste” valgprocedure forhindre vælgerne i at fordreje deres præferencer for at opnå et bedre resultat. I valgteori kaldes denne egenskab for “strategisikker”. Det vil sige, at en valgprocedure er strategisikker, hvis det aldrig er i en vælgers bedste interesse at stemme strategisk og give et forkert billede af sine præferencer. Findes der en sådan strategitæt procedure?

Simultan opdagelse!

Allan Gibbard og Mark Satterthwaite beviste uafhængigt af hinanden det, der er blevet kendt som Gibbard-Satterthwaite-teoremet, som fastslår, at der bortset fra et diktatur ikke findes nogen strategitæt procedure for valg mellem tre eller flere kandidater. Gibbard offentliggjorde en artikel med dette resultat i 1973. Satterthwaites bidrag var en del af hans doktordisputats ved University of Wisconsin. Selv om de blev udført uafhængigt og uden kendskab til hinandens arbejde, var Satterthwaite ikke i stand til at offentliggøre resultatet, som det fremgår af hans afhandling, fordi Gibbards arbejde var blevet accepteret til offentliggørelse, fordi Gibbards arbejde var blevet accepteret til offentliggørelse. Han udgav en version i 1975, hvori han knyttede resultatet til Arrow’s Theorem.

Mark Satterthwaite
Se “Referencer og links” for bibliografiske referencer.

Uheldigvis viste Allan Gibbard og Mark Satterthwaite i et Arrow-lignende resultat, at den eneste strategisikre valgprocedure for tre eller flere kandidater er et diktatur! Deres arbejde blev udført uafhængigt af hinanden i 1970’erne.

Da alle valgprocedurer uden for et diktatur er modtagelige for strategisk afstemning, er et næste spørgsmål at afgøre, om der findes en procedure, der minimerer sandsynligheden for, at strategisk afstemning kan være nyttig. Donald G. Saari, University of California, Irvine, stillede og besvarede dette spørgsmål. Han beviste, at Borda-tællingen minimerer sandsynligheden for, at fejlfortolkning af præferencer eller strategisk afstemning kan bruges til gavn.

Et endeligt svar?
For et valg med tre eller flere kandidater findes der ikke noget endeligt svar på, hvad der er den bedste procedure. Svaret er relativt. En bedste procedure kan afhænge af konteksten (f.eks. hvor mange kandidater) og hvilke egenskaber der anses for at være vigtige for valget. En ting er sikkert: man skal ikke stemme om, hvilken valgprocedure der skal anvendes!