Carnots perfekte varmemotor: Den anden termodynamiske lov omformuleret | Fysik

Læringsmål

I slutningen af dette afsnit vil du kunne:

Identificere en Carnot-cyklus.
Beregne den maksimale teoretiske virkningsgrad af en atomreaktor.
Forklare, hvordan dissipative processer påvirker den ideelle Carnot-motor.

Fotografi af et nyhedslegetøj, der er kendt som den drikkende fugl. Den består af to glaspærer, der er forbundet med hinanden ved hjælp af et glasrør. Den øverste pære er formet som et fuglehoved, og røret ligner dens hals. Den nederste pære, som kan sammenlignes med maven, indeholder methylenklorid, der er farvet rødt. Den nederste del af halsen er fastgjort til et pivot, og foran fuglehovedet står et glas med vand.

Figur 1. En drikkende fugl (kilde: Arabesk.nl, Wikimedia Commons)

Det nyhedslegetøj, der er kendt som den drikkende fugl (som ses i figur 1), er et eksempel på Carnots motor. Den indeholder methylenklorid (blandet med et farvestof) i maven, som koger ved en meget lav temperatur – ca. 100ºF . For at betjene den skal man gøre fuglens hoved vådt. Efterhånden som vandet fordamper, bevæger væsken sig op i hovedet, hvilket får fuglen til at blive top-tung og dykke fremad tilbage i vandet. Dette afkøler methylenchloridet i hovedet, og det bevæger sig tilbage til bugen, hvilket får fuglen til at blive bundtung og tippe opad. Bortset fra et meget lille input af energi – den oprindelige hovedvædning – bliver fuglen en slags evighedsmaskine.

Vi ved fra termodynamikkens anden lov, at en varmemotor ikke kan være 100 % effektiv, da der altid skal ske en vis varmeoverførsel Qc til omgivelserne, som ofte kaldes spildvarme. Hvor effektiv kan en varmemotor så være? Dette spørgsmål blev besvaret på teoretisk niveau i 1824 af en ung fransk ingeniør, Sadi Carnot (1796-1832), i hans undersøgelse af den daværende varmemotor-teknologi, der var afgørende for den industrielle revolution. Han udtænkte en teoretisk cyklus, der i dag kaldes Carnot-cyklusen, som er den mest effektive cykliske proces, der er mulig. Termodynamikkens anden lov kan omformuleres i termer af Carnot-cyklusen, og Carnot opdagede således denne grundlæggende lov. Enhver varmemotor, der anvender Carnot-cyklusen, kaldes en Carnot-motor.

Det, der er afgørende for Carnot-cyklusen – og som faktisk definerer den – er, at der kun anvendes reversible processer. Irreversible processer involverer dissipative faktorer som f.eks. friktion og turbulens. Dette øger varmeoverførslen Qc til omgivelserne og reducerer motorens effektivitet. Det er derfor klart, at reversible processer er overlegne.

Carnot-motor

Udtrykt i termer af reversible processer har termodynamikkens anden lov en tredje form:

En Carnot-motor, der opererer mellem to givne temperaturer, har den størst mulige effektivitet af alle varmemotorer, der opererer mellem disse to temperaturer. Desuden har alle motorer, der kun anvender reversible processer, den samme maksimale virkningsgrad, når de arbejder mellem de samme givne temperaturer.

Figur 2 viser PV-diagrammet for en Carnot-cyklus. Cyklussen består af to isoterme og to adiabatiske processer. Husk på, at både isotermiske og adiabatiske processer i princippet er reversible.

Carnot bestemte også virkningsgraden for en perfekt varmemotor – dvs. en Carnot-motor. Det er altid rigtigt, at virkningsgraden for en cyklisk varmemotor er givet ved:

\displaystyle{Eff}=\frac{Q_{\text{h}}}-Q_{\text{c}}}{Q_{\text{h}}}}=1-\frac{Q_{\text{c}}}{Q_{\text{h}}}}\\

Det Carnot fandt var, at for en perfekt varmemotor, er forholdet \frac{Q_{Q_{\text{c}}}{Q_{\text{h}}}\\ lig med forholdet mellem de absolutte temperaturer i varmereservoirerne. Det vil sige, \frac{Q_{\text{c}}}}{Q_{\text{h}}}}=\frac{T_{\text{c}}}}{T_{\text{h}}}}\\ for en Carnot-motor, således at den maksimale eller Carnot-effektivitet EffC er givet ved

\displaystyle{Eff}_{\text{C}}}=1-\frac{T_{{\text{c}}}}{T_{\text{h}}}}\

hvor Th og Tc er i kelvin (eller enhver anden absolut temperaturskala). Ingen rigtig varmemotor kan klare sig så godt som Carnot-virkningsgraden – en faktisk virkningsgrad på ca. 0,7 af dette maksimum er normalt det bedste, der kan opnås. Men den ideelle Carnot-motor, ligesom den drikkende fugl ovenfor, er ganske vist en fascinerende nyhed, men den har nul effekt. Dette gør den urealistisk for alle anvendelser.

Carnots interessante resultat indebærer, at 100 % effektivitet kun ville være mulig, hvis Tc = 0 K – dvs. kun hvis det kolde reservoir var ved det absolutte nulpunkt, hvilket er en praktisk og teoretisk umulighed. Men den fysiske implikation er denne – den eneste måde at få al varmeoverførsel til at gå til at udføre arbejde på er at fjerne al termisk energi, og dette kræver et koldt reservoir ved absolut nulpunkt.

Det er også tydeligt, at de største virkningsgrader opnås, når forholdet \frac{T_{T_{\text{c}}}}{T_{{\text{h}}}}\\ er så lille som muligt. Ligesom det blev diskuteret for Otto cyklusen i det foregående afsnit, betyder det, at virkningsgraden er størst ved den højest mulige temperatur i det varme reservoir og den lavest mulige temperatur i det kolde reservoir. (Denne opsætning øger arealet inden for det lukkede kredsløb på PV-diagrammet; det forekommer også rimeligt, at jo større temperaturforskellen er, jo lettere er det at omlægge varmeoverførslen til arbejde). De faktiske reservoirtemperaturer i en varmemotor er normalt relateret til typen af varmekilde og temperaturen i det miljø, som varmeoverførslen sker til. Overvej følgende eksempel:

Del a i figuren viser en graf over tryk P over volumen V for en Carnot-cyklus. Trykket P er langs Y-aksen, og volumen V er langs X-aksen. Grafen viser en komplet cyklus A B C D. Banen begynder i punkt A, hvorefter den bevæger sig jævnt nedad til punkt B i retning af X-aksen. Dette er markeret som en isoterm ved temperaturen T sub h. Derefter falder kurven yderligere nedad, langs en anden kurve, fra punkt B til punkt C. Dette er markeret som adiabatisk ekspansion. Kurven stiger fra punkt C til punkt D i den modsatte retning af A B. Dette er også en isoterm, men ved temperaturen T sub c. Den sidste del af kurven stiger fra punkt D tilbage til A i den modsatte retning af B C. Dette er markeret som adiabatisk kompression. Vejen C D er lavere end vejen A B. Varme Q sub h kommer ind i systemet, som vist med en fed pil til kurven A B. Varme Q sub c forlader systemet, som vist med en fed pil nær C D. Del b af diagrammet viser en forbrændingsmotor, der er repræsenteret som en cirkel. Det varme reservoir er et rektangulært afsnit i toppen af cirklen ved temperaturen T sub h. Et koldt reservoir er vist som et rektangulært afsnit i den nederste del af cirklen ved temperaturen T sub c. Varme Q sub h kommer ind i varmemotoren som vist med en fed pil; der produceres arbejde W som output, som er vist til at forlade systemet, og den resterende varme Q sub c returneres tilbage til det kolde reservoir, som vist med en fed pil mod det.

Figur 2. PV-diagram for en Carnot-cyklus, hvor der kun anvendes reversible isoterme og adiabatiske processer. Varmeoverførslen Qh sker til arbejdsstoffet under den isoterme vej AB, som finder sted ved konstant temperatur Th. Varmeoverførslen Qc sker ud af arbejdsstoffet på den isoterme strækning CD, som finder sted ved konstant temperatur Tc. Nettoarbejdsydelsen W er lig med arealet inden for banen ABCDA. Der er også vist en skematisk fremstilling af en Carnot-motor, der fungerer mellem et varmt og et koldt reservoir ved temperaturerne Th og Tc. Enhver varmemotor, der anvender reversible processer og arbejder mellem disse to temperaturer, vil have samme maksimale virkningsgrad som Carnot-motoren.

Eksempel 1. Maksimal teoretisk effektivitet for en atomreaktor

En atomkraftreaktor har vand under tryk ved 300 ºC. (Højere temperaturer er teoretisk mulige, men praktisk talt ikke mulige på grund af begrænsninger med hensyn til de materialer, der anvendes i reaktoren). Varmeoverførsel fra dette vand er en kompleks proces (se figur 3). Dampen, der produceres i dampgeneratoren, bruges til at drive turbinegeneratorerne. Til sidst kondenseres dampen til vand på 27ºC og opvarmes igen for at starte cyklussen forfra. Beregn den maksimale teoretiske virkningsgrad for en varmemotor, der arbejder mellem disse to temperaturer.

Diagrammet viser et skematisk diagram over en trykvandsreaktor og de dampturbiner, der omdanner arbejde til elektrisk energi. Der er et trykbeholder i midten, der er kuppelformet i enderne. Dette har en nuklear kerne i sig. Kernen er en lille firkant i midten af reaktoren. Kontrolstænger er vist som pinde af samme længde, der er fastgjort til kernen. Trykbeholderen er forsynet med nogle kølerør, der går igennem den og derefter tilbage til et dampkammer. Disse kølerør indeholder en kølemiddelvæske, der transporterer varmen fra trykbeholderen til dampkammeret. Hele dette system er omsluttet af en anden kuppelformet indeslutningsstruktur af stål. Vandtilførslen til dampkammeret og dampudløbet kommer ud af dette kammer. Denne damp er nu vist til at drive to dampturbiner, en højtryksdampturbine og en lavtryksturbine. Turbinerne er næsten trekantede og segmenterede i deres form. Dampturbinen genererer igen strøm ved hjælp af en turbinegenerator, som er fastgjort til turbineanlægget. Turbinerne er igen anbragt i et andet kammer, som henter dampen fra dampkammeret og returnerer dampen som vand tilbage til dampkammeret med rør. Der er vist et køletårn i nærheden af turbineanlægget, som viser sig at levere koldt vand i rør til turbineanlægget for at køle dampen tilbage til vand.

Figur 3. Skematisk diagram over en trykvandskernreaktor og dampturbinerne, der omdanner arbejde til elektrisk energi. Der anvendes varmeveksling til at generere damp, bl.a. for at undgå forurening af generatorerne med radioaktivitet. Der anvendes to turbiner, fordi det er billigere end at drive en enkelt generator, der producerer den samme mængde elektrisk energi. Dampen kondenseres til væske, inden den returneres til varmeveksleren, for at holde damptrykket ved udgangen lavt og fremme dampstrømmen gennem turbinerne (svarende til at bruge et koldt reservoir med lavere temperatur). Den betydelige energi, der er forbundet med kondensering, skal afgives til det lokale miljø; i dette eksempel anvendes et køletårn, så der ikke sker nogen direkte varmeoverførsel til et vandmiljø. (Bemærk, at det vand, der går til køletårnet, ikke kommer i kontakt med den damp, der strømmer over turbinerne.)

Strategi

Da temperaturerne er givet for de varme og kolde reservoirer i denne varmemotor, kan {Eff}_{\text{C}}=1-\frac{T_{{{\text{c}}}}{T_{{\text{h}}}}\\ anvendes til at beregne Carnotvirkningsgraden (den maksimale teoretiske). Disse temperaturer skal først omregnes til kelvin.

Løsning

Den varme og kolde reservoirtemperatur er angivet som henholdsvis 300ºC og 27,0ºC. I kelvin er Th = 573 K og Tc = 300 K, således at den maksimale effektivitet er \displaystyle{Eff}_{\text{C}}=1-\frac{T_{{\text{c}}}}{T_{{\text{h}}}}\\\.

Thos,

\begin{array}{lll}{Eff}_{\text{C}}}&=&1-\frac{300\text{ K}}}{573\text{ K}}\\\\text{ }&=&0.476\text{, eller }47.6\%\end{array}\\\4918>

Diskussion

En typisk kernekraftværks faktiske effektivitet er omkring 35%, lidt bedre end 0,7 gange den maksimalt mulige værdi, en hyldest til overlegen teknik. Elektriske kraftværker, der fyres med kul, olie og naturgas, har en højere faktisk virkningsgrad (ca. 42 %), fordi deres kedler kan nå højere temperaturer og tryk. Temperaturen i de kolde reservoirer i alle disse kraftværker er begrænset af det lokale miljø. Figur 4 viser (a) det udvendige af et atomkraftværk og (b) det udvendige af et kulfyret kraftværk. Begge har køletårne, hvor vand fra kondensatoren kommer ind i tårnet nær toppen og sprøjtes nedad og afkøles ved fordampning.

Del a viser et fotografi af et kernekraftværk i drift i natteoptik. Der er kuppelformede strukturer, som huser radioaktivt materiale, og der er vist dampe, som kommer fra to køletårne. Del b viser et fotografi af et kulfyret kraftværk. Der er vist flere store køletårne.

Figur 4. (a) Et atomkraftværk (credit: BlatantWorld.com) og (b) et kulfyret kraftværk. Begge har køletårne, hvor vand fordamper ud i miljøet, hvilket repræsenterer Qc. Atomreaktoren, som leverer Qh, er placeret inde i de kuppelformede indeslutningsbygninger. (kredit: Robert & Mihaela Vicol, publicphoto.org)

Da alle virkelige processer er irreversible, kan den faktiske virkningsgrad af en varmemotor aldrig være lige så stor som for en Carnot-motor, som illustreret i figur 5a. Selv med den bedst mulige varmemotor er der altid dissipative processer i perifert udstyr, som f.eks. elektriske transformatorer eller biltransmissioner. Disse reducerer yderligere den samlede effektivitet ved at omdanne noget af motorens arbejdsydelse tilbage til varmeoverførsel, som vist i figur 5b.

Del a af diagrammet viser en forbrændingsmotor repræsenteret som en cirkel for at sammenligne virkningsgraden af rigtige og Carnot-motorer. Det varme reservoir er et rektangulært afsnit over den viste cirkel ved temperaturen T sub h. Et koldt reservoir er vist som et rektangulært afsnit under cirklen ved temperaturen T sub c. Varmen Q sub h kommer ind i varmemotoren som vist med en fed pil. For en rigtig motor er det vist, at en lille del af den udledes som output fra motoren, vist som en fed pil, der forlader cirklen, og for en Carnot-motor er det vist, at en større del af den forlader den som arbejde, vist som en stiplet pil, der forlader cirklen. Den resterende varme returneres tilbage til det kolde reservoir som vist ved en fed pil mod det for rigtige motorer, og der afgives forholdsvis mindre varme fra Carnot-motoren som vist ved en stiplet pil. Del b af diagrammet viser en forbrændingsmotor repræsenteret som en cirkel for at studere friktion og andre dissipative processer i en varmemotors udgangsmekanismer. Det varme reservoir er et rektangulært afsnit over cirklen ved temperaturen T sub h. Et koldt reservoir er vist som et rektangulært afsnit under cirklen ved temperaturen T sub c. Varmen Q sub h kommer ind i varmemotoren som vist med en fed pil, der produceres arbejde W som output, som er vist ved at forlade systemet, og den resterende varme Q sub c og Q sub f returneres tilbage til det kolde reservoir som vist med fed pil i retning af det. Q sub f er varme som følge af friktion. Det arbejde, der udføres mod friktion, går som varme Q sub f til det kolde reservoir.

Figur 5. Reelle varmemotorer er mindre effektive end Carnot-motorer. (a) Rigtige motorer anvender irreversible processer, hvilket reducerer varmeoverførslen til arbejde. De stiplede linjer viser den faktiske proces; de stiplede linjer viser, hvad en Carnot-motor ville gøre mellem de samme to reservoirer. (b) Friktion og andre dissipative processer i en varmemaskines udgangsmekanismer omdanner en del af dens arbejdsydelse til varmeoverførsel til omgivelserne.

Sammenfatning af afsnittet

Carnotcyklusen er en teoretisk cyklus, der er den mest effektive cykliske proces, der er mulig. Enhver motor, der anvender Carnot-cyklusen, som kun anvender reversible processer (adiabatisk og isotermisk), er kendt som en Carnot-motor.
Alle motorer, der anvender Carnot-cyklusen, nyder den maksimale teoretiske effektivitet.
Mens Carnot-motorer er ideelle motorer, er der i virkeligheden ingen motorer, der opnår Carnots teoretiske maksimale effektivitet, da dissipative processer, såsom friktion, spiller en rolle. Carnot-cyklusser uden varmetab er måske mulige ved absolut nulpunkt, men dette er aldrig set i naturen.

Begrebsspørgsmål

Tænk på den drikkende fugl i begyndelsen af dette afsnit (figur 1). Selv om fuglen nyder den teoretisk set størst mulige effektivitet, vil fuglen, hvis den overlades til sig selv med tiden, ophøre med at “drikke”. Hvad er nogle af de dissipative processer, der kan få fuglen til at holde op med at bevæge sig?
Kan man anvende bedre teknik og materialer i varmemotorer for at reducere varmeoverførslen til miljøet? Kan de helt fjerne varmeoverførslen til miljøet?
Ændrer termodynamikkens anden lov princippet om energibevarelse?

Problemer &Opgaver

1. En bestemt benzinmotor har en virkningsgrad på 30,0 %. Hvad ville den varme reservoirtemperatur være for en Carnot-motor med denne virkningsgrad, hvis den drives med en kold reservoirtemperatur på 200ºC?

2. En gaskølet atomreaktor opererer mellem varme og kolde reservoirtemperaturer på 700ºC og 27,0ºC. (a) Hvad er den maksimale virkningsgrad for en varmemotor, der arbejder mellem disse temperaturer? (b) Find forholdet mellem denne virkningsgrad og Carnot-virkningsgraden for en standardkernereaktor (fundet i eksempel 1).

3. (a) Hvad er den varme reservoirtemperatur for en Carnot-motor, der har en virkningsgrad på 42,0 % og en kold reservoirtemperatur på 27,0ºC? (b) Hvad skal temperaturen i det varme reservoir være for en rigtig varmemotor, der opnår 0,700 af den maksimale virkningsgrad, men som stadig har en virkningsgrad på 42,0 % (og et koldt reservoir på 27,0ºC)? (c) Indebærer dit svar praktiske grænser for effektiviteten af benzinmotorer i biler?

4. Damplokomotiver har en effektivitet på 17,0 % og kører med en varm damptemperatur på 425ºC. (a) Hvad ville temperaturen i det kolde reservoir være, hvis der var tale om en Carnot-motor? (b) Hvad ville den maksimale virkningsgrad for denne dampmaskine være, hvis dens kolde reservoirtemperatur var 150ºC?

5. Praktiske dampmaskiner anvender damp med en temperatur på 450ºC, som senere udledes ved 270ºC. (a) Hvad er den maksimale virkningsgrad, som en sådan varmemotor kan have? (b) Da 270ºC-damp stadig er ret varmt, drives en anden dampmaskine undertiden ved hjælp af udstødningen fra den første dampmaskine. Hvad er den anden maskines maksimale virkningsgrad, hvis dens udstødning har en temperatur på 150ºC? (c) Hvad er den samlede virkningsgrad for de to motorer? (d) Vis, at dette er den samme virkningsgrad som en enkelt Carnot-motor, der arbejder mellem 450ºC og 150ºC.

6. Et kulfyret elværk har en virkningsgrad på 38 %. Temperaturen på den damp, der forlader kedlen, er \text{550}\text{\textordmasculine }\text{C} . Hvor stor en procentdel af den maksimale virkningsgrad opnår dette kraftværk? (Antag, at temperaturen i omgivelserne er \text{20}\text{text{textordmasculine }\text{C} .)

7. Ville du være villig til at støtte en opfinder økonomisk, der markedsfører en anordning, som hun hævder har en varmeoverførsel på 25 kJ ved 600 K, en varmeoverførsel til omgivelserne ved 300 K og et arbejde på 12 kJ? Forklar dit svar.

8. Ufornuftige resultater a) Antag, at du ønsker at konstruere en dampmaskine, som har en varmeoverførsel til omgivelserne ved 270 ºC og har en Carnot-virkningsgrad på 0,800. Hvilken temperatur af den varme damp skal du bruge? (b) Hvad er urimeligt ved denne temperatur? (c) Hvilken forudsætning er urimelig?

9. Urimelige resultater Beregn temperaturen i det kolde reservoir for en dampmaskine, der bruger varm damp ved 450ºC og har en Carnot-virkningsgrad på 0,700. (b) Hvad er urimeligt ved denne temperatur? (c) Hvilken forudsætning er urimelig?

Glossar

Carnotcyklus: en cyklisk proces, der kun anvender reversible processer, de adiabatiske og isoterme processer

Carnotmotor: en varmemotor, der anvender en Carnotcyklus

Carnotvirkningsgrad: den maksimale teoretiske virkningsgrad for en varmemotor

Selekterede løsninger på problemer &Opgaver

1. 403ºC

3. (a) 244ºC; (b) 477ºC; (c)Ja, da bilmotorer ikke kan blive for varme uden at blive overophedet, er deres effektivitet begrænset.

5. (a) {\mathit{\text{Eff}}}_{\text{1}}=1-\frac{{T}_{\text{c,1}}}{{T}_{\text{h,1}}}=1-\frac{\text{543 K}}{\text{723 K}}=0\text{.}\text{249}\text{ or }\text{24}\text{.}9\%\\\\

(b) {\mathit{\text{{Eff}}}_{2}=1-\frac{\text{423 K}}}{\text{543 K}}}=0\text{.}\text{221}\text{ eller }\text{22}\text{.}1\%\\

(c) {\mathit{\text{Eff}}}_{1}=1-\frac{{T}_{\text{c,1}}}{{T}_{\text{h,1}}}\Rightarrow{T}_{\text{c,1}}={T}_{\text{h,1}}\left(1,-,{\mathit{\text{eff}}}_{1}\right)\text{similarly, }{T}_{\text{c,2}}={T}_{\text{h,2}}\left(1-{\mathit{\text{Eff}}}_{2}\right)\\

using Th,2 = Tc,1 in above equation gives

\begin{array}{l}{T}_{\text{c,2}}={T}_{\text{h,1}}\left(1-{Eff}_{1}\right)\left(1-{Eff}_{2}\right)\equiv{T}_{\text{h,1}}\left(1-{Eff}_{\text{overall}}\right)\\\therefore\left(1-{Eff}_{\text{overall}}\right)=\left(1-{\mathit{\text{Eff}}}_{1}\right)\left(1-{Eff}_{2}\right)\\{Eff}_{\text{overall}}=1-\left(1-0.249\right)\left(1-0.221\right)=41.5\%\end{array}\\

(d) {\text{Eff}}_{\text{overall}}}=1-\frac{\text{423 K}}}{\text{723 K}}}=0\text{.}\text{415}\text{ eller }\text{41}\text{.}5\\\\%\\

7. Varmeoverførslen til det kolde reservoir er {Q}_{{\text{c}}={Q}_{\text{h}}}-W=\text{25}\text{kJ}-\text{12}\text{kJ}}=\text{13}\text{kJ}\\, so the efficiency is \mathit{Eff}=1-\frac{{Q}_{\text{c}}}{{Q}_{\text{h}}}=1-\frac{\text{13}\text{kJ}}{\text{25}\text{kJ}}=0\text{.}\text{48}\\\. The Carnot efficiency is {\mathit{\text{Eff}}}_{\text{C}}=1-\frac{{T}_{\text{c}}}{{T}_{\text{h}}}=1-\frac{\text{300}\text{K}}{\text{600}\text{K}}=0\text{.}\text{50}\\. Den faktiske effektivitet er 96% af Carnot-effektiviteten, hvilket er meget højere end den bedste nogensinde opnåede effektivitet på ca. 70%, så hendes ordning er sandsynligvis svigagtig.

9. (a) -56,3ºC (b) Temperaturen er for kold til en dampmaskines ydelse (det lokale miljø). Den er under vands frysepunkt. (c) Den antagne virkningsgrad er for høj.

Fysik