Når man danner et kuglepakningsgitter, er det første, man skal lægge mærke til, at når to kugler berører hinanden, kan man trække en lige linje fra centrum af den ene kugle til centrum af den anden kugle, der skærer berøringspunktet. Afstanden mellem centrene langs den korteste vej, nemlig denne rette linje, vil derfor være r1 + r2, hvor r1 er radius af den første kugle og r2 er radius af den anden kugle. I tæt pakning har alle kuglerne en fælles radius, r. Derfor vil to centre simpelthen have en afstand 2r.
Simple hcp latticeEdit
For at danne en A-B-A-A-B-B-… hexagonal tæt pakning af kugler, vil koordinatpunkterne i gitteret være kuglernes centre. Antag, at målet er at fylde en kasse med kugler i henhold til hcp. Kassen vil blive placeret i x-y-z-koordinatrummet.
Først danner man en række kugler. Centrene vil alle ligge på en lige linje. Deres x-koordinat vil variere med 2r, da afstanden mellem hvert centrum af de kugler, der berører hinanden, er 2r. Y-koordinaten og z-koordinaten vil være de samme. For enkelhedens skyld siger vi, at kuglerne er den første række, og at deres y- og z-koordinater blot er r, således at deres overflader hviler på nulplanet. Koordinaterne for centrumene i den første række vil se ud som (2r, r, r), (4r, r, r), (6r ,r, r), (8r ,r, r), … .
Dann nu den næste række af kugler. Igen vil centrene alle ligge på en lige linje med x-koordinatforskelle på 2r, men der vil ske en forskydning af afstanden r i x-retningen, således at centrum for hver kugle i denne række flugter med x-koordinaten for det sted, hvor to kugler berører hinanden i den første række. Dette gør det muligt for kuglerne i den nye række at glide tættere på den første række, indtil alle kugler i den nye række rører ved to kugler i den første række. Da de nye kugler berører to kugler, danner deres centre en ligesidet trekant med disse to naboers centre. Sidelængderne er alle 2r, så højden eller y-koordinatforskellen mellem rækkerne er √3r. Denne række vil således have koordinater som følger:
( r , r + 3 r , r ) , ( 3 r , r + 3 r , r ) , ( 5 r , r + 3 r , r ) , ( 7 r , r + 3 r , r ) , … . {\displaystyle \left(r,r+{\sqrt {3}}}r,r\right),\ \left(3r,r+{\sqrt {3}}}r,r\right),\ \left(5r,r+{\sqrt {3}}}r,r\right),\ \ \\left(7r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\dots .}
Den første kugle i denne række berører kun én kugle i den oprindelige række, men dens placering følger med resten af rækken.
Den næste række følger dette mønster med at forskyde x-koordinaten med r og y-koordinaten med √3. Tilføj rækker, indtil du når boksens x- og y-maksimumgrænser.
I et A-B-A-A-B-… stablingsmønster vil de ulige nummererede kugleplaner have nøjagtig de samme koordinater bortset fra en stigning i z-koordinaterne, og de lige nummererede kugleplaner vil dele de samme x- og y-koordinater. Begge typer af planer dannes ved hjælp af det ovenfor nævnte mønster, men startstedet for den første rækkes første kugle vil være anderledes.
Med udgangspunkt i det plan, der netop ovenfor er beskrevet som plan nr. 1, A-planet, placeres en kugle oven på dette plan, således at den ligger og berører tre kugler i A-planet. De tre kugler berører allerede alle hinanden og danner en ligesidet trekant, og da de alle berører den nye kugle, danner de fire centre et regulært tetraeder. Alle siderne er lig med 2r, fordi alle siderne er dannet af to kugler, der berører hinanden. Højden heraf eller z-koordinatforskellen mellem de to “planer” er √6r2/3. Dette kombineret med forskydningerne i x- og y-koordinaterne giver centrene for den første række i B-planet:
( r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 3 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 5 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 7 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , … . {\displaystyle \left(r,r+{\frac {{\sqrt {{\sqrt {3}}}r}{3}}},r+{\frac {{\sqrt {{\sqrt {6}}}r2}{3}}}}\right),\ \ \left(3r,r+{{\frac {{\sqrt {{\sqrt {3}}}{3}}},r+{{\frac {{{\sqrt {{6}}r2}{3}}}\right)\,\ \left(5r,r+{\frac {{\sqrt {{\sqrt {3}}}r}{3}}},r+{\frac {{\sqrt {{\sqrt {6}}}r2}{3}}}}\right),\\left(7r,r+{\frac {{\sqrt {{{3}}}r}{3}}},r+{\frac {{\sqrt {{\sqrt {6}}r2}{3}}}\right),\dots .}
Den anden rækkes koordinater følger det mønster, der først er beskrevet ovenfor, og er:
( 2 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 4 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 6 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 8 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , … . {\displaystyle \left(2r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}}r}{3}}},r+{\frac {{\sqrt {{\sqrt {6}}}r2}{3}}}}\right),\ \left(4r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}}},r+{\frac {{\sqrt {{6}}r2}{3}}}}\right),\ \left(6r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}}r}}{3}}},r+{\frac {{\sqrt {{\sqrt {6}}r2}{3}}}}\right),\\left(8r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}}r}}{3}}},r+{\frac {{\sqrt {{\sqrt {6}}r2}{3}}}\right),\dots .}
Differencen til det næste plan, A-planet, er igen √6r2/3 i z-retningen og en forskydning i x- og y-retningen for at matche de x- og y-koordinater fra det første A-plan.
Generelt kan kuglecentrenes koordinater skrives som:
2 6 3 k ] r {\displaystyle {\begin{bmatrix}2i+((j\ +\ k){\bmod {2}}})\\\{\sqrt {3}}}\left\\\\\{frac {2{\sqrt {6}}}}{3}}k\end{bmatrix}}}r}
