El Teorema de la Imposibilidad de Arrow presenta una situación extrema: ningún procedimiento electoral satisface los conjuntos de axiomas de Arrow, excepto una dictadura. Esto no significa que la democracia sea defectuosa y que la dictadura sea la única forma razonable de gobierno. Si los axiomas de Arrow son demasiado estrictos y ningún procedimiento electoral satisface los axiomas, entonces un conjunto de axiomas más pequeño o un conjunto de criterios diferente puede permitir comparar los procedimientos electorales, con el objetivo de encontrar el «mejor» procedimiento. La definición de «mejor» es relativa a las propiedades deseables en el procedimiento. A continuación se presenta una lista de criterios que algunos han utilizado para evaluar los procedimientos de elección y llegar a la conclusión de qué procedimiento(s) es «el mejor».»
Condorcet Winner

En 1770, Jean Charles de Borda propuso utilizar el recuento de Borda para determinar la admisión en la Academia de Ciencias francesa. En 1785, Marie-Jean-Antoine-Nicolas de Caritat Condorcet (el marqués de Condorcet) argumentó que el recuento de Borda era defectuoso porque no elegía necesariamente a un candidato que venciera a todos los demás en una elección directa. Condorcet consideró lo que sucedería en las elecciones entre todos los pares de candidatos y generalizó la regla de la mayoría de una manera diferente. Considere el siguiente ejemplo en el que cinco votantes clasifican a los cuatro candidatos A, B, C y D.

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Para los datos de preferencia anteriores, en una elección cara a cara entre dos candidatos, uno debe recibir más votos que el otro debido al número impar de votantes. Por ejemplo, D derrota a A, porque tres votantes prefieren a D antes que a A (los votantes cuyas preferencias están en las columnas 2, 3 y 4 de arriba) mientras que sólo dos votantes prefieren a A antes que a D (los votantes cuyas preferencias están en las columnas 1 y 5 de arriba). Se pueden realizar cálculos similares para demostrar que D derrota a A, B y C en las contiendas por parejas. Condorcet argumentó que debería ser elegido un candidato que derrotara a cada uno de los otros candidatos en las elecciones cara a cara bajo la regla de la mayoría. Dicho candidato se denomina «ganador de Condorcet». Los datos de las elecciones cara a cara para el ejemplo anterior aparecen a continuación.

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El recuento de Borda puede no elegir al ganador de Condorcet
Condorcet consideraba que el recuento de Borda era defectuoso porque no elegiría necesariamente al ganador de Condorcet. El ejemplo anterior de cinco votantes (en el que las preferencias de los votantes son para los candidatos A, B, C y D) proporciona una prueba. El vector de votación del recuento Borda se escribe a la izquierda de las preferencias.

Los candidatos A, B, C y D reciben 10, 5, 6 y 9 puntos, respectivamente. Por lo tanto, A gana la elección según el recuento Borda, frente al ganador Condorcet D.

Los puntos de A: 2*3 + 3*2 + 0*1 + 1*0 = 10 Puntos de B: 1*3 + 1*2 + 0*1 + 3*0 = 5
Puntos de C: 0*3 + 2*2 + 2*1 + 1*0 = 6 Puntos de la D: 2*3 + 0*2 + 3*1 + 0*0 = 9

Desgraciadamente, no siempre existe un ganador Condorcet. (Un procedimiento de elección que siempre elija al ganador de Condorcet cuando éste exista satisface el «criterio de Condorcet». Muchos matemáticos y teóricos del voto han propuesto procedimientos que satisfacen el criterio de Condorcet, entre ellos el matemático inglés Charles Dodgson. Aunque fue profesor de matemáticas en la Christ Church de la Universidad de Cambridge, Dodgson es más conocido por su seudónimo, Lewis Carroll, el autor de Las aventuras de Alicia en el país de las maravillas.

Facilidad de uso y fácil comprensión
Un procedimiento electoral debe ser de fácil uso para que los votantes puedan reflejar con precisión sus preferencias por los candidatos. Además, un procedimiento electoral debe ser fácilmente comprendido por el electorado para que haya confianza en los resultados de las elecciones. Si un procedimiento electoral «mejor» es demasiado complicado de usar o de entender, entonces el electorado puede no confiar en los resultados de las elecciones, independientemente de que las matemáticas hayan bautizado el procedimiento como «mejor».

Por ejemplo, a medida que aumenta el número de candidatos, puede resultar poco práctico suponer que los votantes pueden ordenar a todos los candidatos (véase «Cómo votar»), como se exige en la mayoría de los procedimientos electorales. El voto de aprobación ha sido apoyado en parte por Brams y Fishburn porque es fácil de entender y requiere que los votantes sólo decidan «aprobar» o «desaprobar» a los candidatos. Otros han argumentado que hay demasiada flexibilidad en la votación de aprobación. Aunque dos votantes puedan clasificar a los candidatos de la misma manera, pueden dividirlos en las dos categorías de «aprobación» y «desaprobación» de forma diferente, por lo que las preferencias de orden de prelación no son suficientes para determinar el resultado de una elección.

Menos manipulable
El objetivo de un procedimiento electoral es determinar un resultado que represente la voluntad del pueblo. Dado que los votantes pueden tergiversar sus verdaderas clasificaciones de los candidatos y afectar al resultado de una elección de forma que mejore el resultado (como votar a un candidato de segunda preferencia cuando la opción principal de uno está muy por detrás en las encuestas), un procedimiento electoral «mejor» evitaría que los votantes tergiversaran sus preferencias para conseguir un mejor resultado. En la teoría del voto, esta propiedad se denomina «a prueba de estrategia». Es decir, un procedimiento electoral es a prueba de estrategia si nunca le conviene a un votante votar estratégicamente y falsear sus preferencias. ¿Existe un procedimiento a prueba de estrategia?

¡Descubrimiento simultáneo!

Allan Gibbard y Mark Satterthwaite demostraron de forma independiente lo que se conoce como el Teorema de Gibbard-Satterthwaite, que afirma que, salvo en una dictadura, no existe un procedimiento a prueba de estrategia para las elecciones entre tres o más candidatos. Gibbard publicó un artículo con el resultado en 1973. La contribución de Satterthwaite formaba parte de su tesis doctoral en la Universidad de Wisconsin. Aunque se hizo de forma independiente y sin conocer el trabajo del otro, debido a que el trabajo de Gibbard había sido aceptado para su publicación, Satterthwaite no pudo publicar el resultado tal y como aparece en su tesis. Publicó una versión en 1975, en la que vinculaba el resultado al Teorema de Arrow.

Mark Satterthwaite
Ver «Referencias y enlaces» para las referencias bibliográficas.

Desgraciadamente, en un resultado similar al de Arrow, Allan Gibbard y Mark Satterthwaite demostraron que el único procedimiento electoral a prueba de estrategias para tres o más candidatos es una dictadura. Sus trabajos se realizaron de forma independiente en la década de 1970.

Dado que todos los procedimientos de elección que no son de dictadura son susceptibles de ser objeto de voto estratégico, la siguiente cuestión es determinar si existe un procedimiento que minimice la probabilidad de que el voto estratégico sea útil. Donald G. Saari, de la Universidad de California, Irvine, se planteó y respondió a esta pregunta. Demostró que el recuento Borda minimiza la probabilidad de que la tergiversación de las preferencias o el voto estratégico puedan ser utilizados para obtener beneficios.

¿Una respuesta definitiva?
Para una elección con tres o más candidatos, no hay una respuesta definitiva a cuál es el mejor procedimiento. La respuesta es relativa. El mejor procedimiento puede depender del contexto (por ejemplo, el número de candidatos) y de las propiedades que se consideren importantes para la elección. Una cosa es segura: ¡no hay que votar qué procedimiento de elección utilizar!