Al formar cualquier entramado de empaquetamiento de esferas, el primer hecho a tener en cuenta es que siempre que dos esferas se tocan se puede trazar una línea recta desde el centro de una esfera hasta el centro de la otra intersectando el punto de contacto. La distancia entre los centros a lo largo del camino más corto, es decir, esa línea recta, será r1 + r2, donde r1 es el radio de la primera esfera y r2 es el radio de la segunda. En close packing todas las esferas comparten un radio común, r. Por lo tanto dos centros tendrían simplemente una distancia 2r.
Simple hcp latticeEdit
Para formar un empaquetamiento cerrado A-B-A-B-… hexagonal de esferas, los puntos de coordenadas de la celosía serán los centros de las esferas. Supongamos que el objetivo es llenar una caja con esferas según hcp. La caja se colocaría en el espacio de coordenadas x-y-z.
Primero forme una fila de esferas. Los centros estarán todos en una línea recta. Su coordenada x variará en 2r ya que la distancia entre cada centro de las esferas se están tocando es 2r. La coordenada y y la coordenada z serán iguales. Para simplificar, digamos que las esferas son la primera fila y que sus coordenadas y y z son simplemente r, de modo que sus superficies descansan en los planos cero. Las coordenadas de los centros de la primera fila serán (2r, r, r), (4r, r, r), (6r ,r, r), (8r ,r, r), … .
Ahora, forma la siguiente fila de esferas. De nuevo, los centros estarán todos en una línea recta con diferencias de coordenadas x de 2r, pero habrá un desplazamiento de la distancia r en la dirección x para que el centro de cada esfera en esta fila se alinee con la coordenada x de donde se tocan dos esferas en la primera fila. Esto permite que las esferas de la nueva fila se acerquen a la primera fila hasta que todas las esferas de la nueva fila toquen dos esferas de la primera fila. Como las nuevas esferas tocan dos esferas, sus centros forman un triángulo equilátero con los centros de esas dos vecinas. Las longitudes de los lados son todas 2r, por lo que la altura o diferencia de coordenadas y entre las filas es √3r. Así, esta fila tendrá coordenadas como esta:
( r , r + 3 r , r ) , ( 3 r , r + 3 r , r ) , ( 5 r , r + 3 r , r ) , ( 7 r , r + 3 r , r ) , … . {\displaystyle \left(r,r+{cuadrado {3}r,r\right),\left(3r,r+{cuadrado {3}r,r\right),\left(5r,r+{cuadrado {3}r,r\right),\left(7r,r+{cuadrado {3}r,r\right),\dots .}
La primera esfera de esta fila sólo toca una esfera de la fila original, pero su ubicación sigue la del resto de la fila.
La siguiente fila sigue este patrón de desplazamiento de la coordenada x en r y de la coordenada y en √3. Añade filas hasta alcanzar los bordes x e y máximos de la caja.
En un patrón de apilamiento A-B-A-B-…, los planos impares de esferas tendrán exactamente las mismas coordenadas salvo una diferencia de paso en las coordenadas z y los planos pares de esferas compartirán las mismas coordenadas x e y. Ambos tipos de planos se forman utilizando el patrón mencionado anteriormente, pero el lugar de inicio para la primera esfera de la primera fila será diferente.
Usando el plano descrito precisamente arriba como plano #1, el plano A, coloca una esfera encima de este plano de manera que quede tocando tres esferas en el plano A. Las tres esferas ya se tocan entre sí, formando un triángulo equilátero, y como todas tocan la nueva esfera, los cuatro centros forman un tetraedro regular. Todos los lados son iguales a 2r porque todos los lados están formados por dos esferas que se tocan. La altura de la cual o la diferencia de coordenadas z entre los dos «planos» es √6r2/3. Esto, combinado con los desplazamientos en las coordenadas x e y da los centros de la primera fila en el plano B:
( r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 3 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 5 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 7 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , … . {\displaystyle \left(r,r+{{sqrt {3}}{3},r+{{sqrt {6}r2}{3}}right),\left(3r,r+{{sqrt {3}},r+{{sqrt {6}r2}{3}right),\ izquierda(5r,r+{{sqrt {3}}{3}},r+{{sqrt {6}}{3}}derecha),\N-izquierda(7r,r+{{sqrt {3}},r+{{sqrt {6}}{3}}derecha),\N-puntos .}
Las coordenadas de la segunda fila siguen el patrón descrito anteriormente y son:
( 2 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 4 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 6 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 8 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , … . {\displaystyle \left(2r,r+{\frac {4{sqrt {3}}{3},r+{\frac {{sqrt {6}r2}{3}}right),\left(4r,r+{\frac {4{sqrt {3}},r+{{\frac {{sqrt {6}}{3}}right),\ izquierda(6r,r+{{frac} {4{cuadrado} {3}r}{3},r+{{frac} {{cuadrado} {6}r2}{3}}derecha), izquierda(8r,r+{frac} {4{cuadrado} {3}r},r+{frac} {{cuadrado} {6}r2}{3}}derecha), puntos .}
La diferencia con el siguiente plano, el plano A, es de nuevo √6r2/3 en la dirección z y un desplazamiento en la x y en la y para igualar esas coordenadas x e y del primer plano A.
En general, las coordenadas de los centros de las esferas pueden escribirse como:
2 6 3 k ] r {\displaystyle {\begin{bmatrix}2i+((j\ +\ k){\bmod {2}})\\bqrt {3} {\frac {2{sqrt {6}}{3}k\end{bmatrix}}r}
