Espiral

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Las espirales se clasifican por la relación matemática entre la longitud r del radio vector, y el ángulo vectorial q, que se hace con el eje x positivo. Algunas de las más comunes son la espiral de Arquímedes, la espiral logarítmica, la espiral parabólica y la espiral hiperbólica.

La más simple de todas las espirales fue descubierta por el antiguo matemático griego Arquímedes de Siracusa (287-212 a.C.). La espiral de Arquímedes se ajusta a la ecuación r = a θ, donde r y θ representan las coordenadas polares del punto trazado a medida que la longitud del radio a, cambia uniformemente. En este caso, r es proporcional a θ.

La espiral logarítmica o equiangular fue sugerida por primera vez por René Descartes (1596-1650) en 1638. A otro matemático, Jakob Bernoulli (1654-1705), que hizo importantes contribuciones al tema de la probabilidad, también se le atribuye la descripción de aspectos significativos de esta espiral. Una espiral logarítmica se define por la ecuación r = ea θ, donde e es la constante logarítmica natural, r y θ representan las coordenadas polares, y a es la longitud del radio cambiante. Estas espirales son similares a un círculo porque cruzan sus radios con un ángulo constante. Sin embargo, a diferencia de un círculo, el ángulo con el que sus puntos cruzan sus radios no es un ángulo recto. Además, estas espirales se diferencian de un círculo en que la longitud de los radios aumenta, mientras que en un círculo la longitud del radio es constante. Hay ejemplos de espirales logarítmicas en toda la naturaleza. La concha de un Nautilus y los patrones de las semillas de girasol tienen ambos la forma de una espiral logarítmica.

Una espiral parabólica puede representarse mediante la ecuación matemática r2 = a2 θ. Esta espiral descubierta por Bonaventura Cavalieri (1598-1647) crea una curva comúnmente conocida como parábola. Otra espiral, la espiral hiperbólica, se ajusta a la ecuación r = a/ θ.

Otro tipo de curva similar a la espiral es la hélice. Una hélice es como una espiral en el sentido de que es una curva hecha al girar alrededor de un punto a una distancia cada vez mayor. Sin embargo, a diferencia de las curvas planas bidimensionales de la espiral, la hélice es una curva espacial tridimensional que se encuentra en la superficie de un cilindro. Sus puntos son tales que forma un ángulo constante con las secciones transversales del cilindro. Un ejemplo de esta curva son las roscas de un tornillo.

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