Le théorème d’impossibilité d’Arrow présente une situation désastreuse : aucune procédure d’élection ne satisfait les ensembles d’axiomes d’Arrow, à l’exception d’une dictature. Cela ne signifie pas que la démocratie est défectueuse et qu’une dictature est la seule forme raisonnable de gouvernement. Si les axiomes d’Arrow sont trop stricts et qu’aucune procédure électorale ne satisfait aux axiomes, alors un ensemble plus restreint d’axiomes ou un ensemble différent de critères peut permettre de comparer les procédures électorales – dans le but de trouver la « meilleure » procédure. La définition de « meilleure » est relative aux propriétés souhaitables de la procédure. Voici une liste de critères que certains ont utilisés pour évaluer les procédures d’élection afin d’arriver à leur conclusion quant à la ou les procédures qui sont « les meilleures ». »
Gagnant de Condorcet

En 1770, Jean Charles de Borda propose d’utiliser le compte de Borda pour déterminer l’admission à l’Académie des sciences française. En 1785, Marie-Jean-Antoine-Nicolas de Caritat Condorcet (le marquis du Condorcet) a soutenu que le compte de Borda était imparfait car il n’élit pas nécessairement un candidat qui bat tous les autres candidats dans une élection directe. Condorcet a envisagé ce qui se passerait lors d’élections entre toutes les paires de candidats et a généralisé la règle de la majorité d’une manière différente. Considérons l’exemple suivant dans lequel cinq électeurs classent les quatre candidats A, B, C et D.

Pour les données de préférence ci-dessus, dans une élection directe entre deux candidats, l’un doit recevoir plus de voix que l’autre en raison du nombre impair d’électeurs. Par exemple, D bat A, car trois électeurs préfèrent D à A (les électeurs dont les préférences figurent dans les colonnes 2, 3 et 4 ci-dessus) alors que seulement deux électeurs préfèrent A à D (les électeurs dont les préférences figurent dans les colonnes 1 et 5 ci-dessus). Des calculs similaires peuvent être utilisés pour montrer que D bat A, B et C dans des concours par paires. Condorcet a soutenu qu’un candidat qui bat tous les autres candidats dans des élections face à face sous la règle de la majorité devrait être élu. Un tel candidat est appelé le « vainqueur de Condorcet ». Les données des élections en tête-à-tête pour l’exemple ci-dessus apparaissent ci-dessous.

Le compte de Borda peut ne pas élire le gagnant de Condorcet
Condorcet considérait que le compte de Borda était imparfait parce qu’il n’élirait pas nécessairement le gagnant de Condorcet. L’exemple des cinq électeurs ci-dessus (dans lequel les préférences des électeurs sont pour les candidats A, B, C et D) en apporte la preuve. Le vecteur de vote du comptage de Borda est écrit à gauche des préférences.

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Candidats A, B, C, et D reçoivent respectivement 10, 5, 6, et 9 points. Par conséquent, A remporte l’élection selon le décompte de Borda, par opposition au gagnant de Condorcet, D.

Les points de A : 2*3 + 3*2 + 0*1 + 1*0 = 10 Points de B : 1*3 + 1*2 + 0*1 + 3*0 = 5
Points de C : 0*3 + 2*2 + 2*1 + 1*0 = 6 points D : 2*3 + 0*2 + 3*1 + 0*0 = 9

Malheureusement, un gagnant de Condorcet n’existe pas toujours. (Voir l’entrée encadrée.) Une procédure d’élection qui élit toujours le gagnant de Condorcet lorsqu’il en existe un satisfait le  » critère de Condorcet.  » De nombreux mathématiciens et théoriciens du vote ont proposé des procédures qui satisfont au critère de Condorcet, notamment le mathématicien anglais Charles Dodgson. Même s’il était conférencier en mathématiques à Christ Church, à l’université de Cambridge, Dodgson est plus connu sous son nom de plume, Lewis Carroll, l’auteur d’Alice’s Adventures in Wonderland.

Facilité d’utilisation et facilité de compréhension
Une procédure d’élection devrait être facilement utilisée afin que les électeurs puissent refléter avec précision leurs préférences pour les candidats. En outre, une procédure électorale devrait être facilement comprise par l’électorat afin qu’il ait confiance dans les résultats des élections. Si une « meilleure » procédure d’élection est trop compliquée à utiliser ou à comprendre, alors l’électorat peut ne pas avoir confiance dans les résultats de l’élection, que les mathématiques aient ou non baptisé la procédure comme « meilleure ».

Par exemple, lorsque le nombre de candidats augmente, il peut être peu pratique de supposer que les électeurs peuvent classer tous les candidats (voir « Comment voter »), comme l’exigent la plupart des procédures électorales. Le vote par approbation a été soutenu en partie par Brams et Fishburn parce qu’il est facile à comprendre et que les électeurs doivent uniquement décider d' »approuver » ou de « désapprouver » les candidats. D’autres ont fait valoir que le vote par approbation offre trop de souplesse. Même si deux électeurs peuvent classer les candidats de la même façon, ils peuvent les répartir différemment dans les deux catégories « approuver » et « désapprouver », de sorte que les préférences de classement ne suffisent pas à déterminer le résultat d’une élection.

Le moins manipulable
L’objectif sur une procédure électorale est de déterminer un résultat qui représente la volonté du peuple. Parce que les électeurs peuvent déformer leurs véritables classements des candidats et affecter le résultat d’une élection de manière à améliorer le résultat (comme voter pour un candidat de second choix lorsque son premier choix est loin derrière dans les sondages), une « meilleure » procédure électorale empêcherait les électeurs de déformer leurs préférences pour obtenir un meilleur résultat. En théorie du vote, cette propriété est appelée « strategyproof ». En d’autres termes, une procédure électorale est à l’épreuve des stratégies si l’électeur n’a jamais intérêt à voter de manière stratégique et à déformer ses préférences. Existe-t-il une telle procédure à l’épreuve des stratégies ?

Découverte simultanée !

Allan Gibbard et Mark Satterthwaite ont prouvé indépendamment ce qui est devenu connu sous le nom de théorème de Gibbard-Satterthwaite, qui stipule que, en dehors d’une dictature, il n’existe pas de procédure à l’épreuve des stratégies pour les élections entre trois candidats ou plus. Gibbard a publié un article présentant ce résultat en 1973. La contribution de Satterthwaite faisait partie de sa thèse de doctorat à l’Université du Wisconsin. Bien qu’ils aient été réalisés de manière indépendante et sans connaissance des travaux de l’autre, Satterthwaite n’a pas pu publier le résultat tel qu’il apparaît dans sa thèse, car les travaux de Gibbard avaient été acceptés pour publication. Il a publié une version en 1975, dans laquelle il a lié le résultat au théorème d’Arrow.

Mark Satterthwaite
Voir « Références et liens » pour les références bibliographiques.

Malheureusement, dans un résultat de type Arrow, Allan Gibbard et Mark Satterthwaite ont montré que la seule procédure d’élection à l’épreuve des stratégies pour trois candidats ou plus est une dictature ! Leurs travaux ont été réalisés indépendamment les uns des autres dans les années 1970.

Parce que toutes les procédures d’élection non dictatoriales sont susceptibles de donner lieu à un vote stratégique, une prochaine question est de déterminer s’il existe une procédure qui minimise la probabilité que le vote stratégique soit utile. Donald G. Saari, de l’Université de Californie, Irvine, a posé et répondu à cette question. Il a prouvé que le comptage de Borda minimise la probabilité que la fausse représentation des préférences ou le vote stratégique puisse être utilisé à son avantage.

Une réponse définitive?
Pour une élection avec trois candidats ou plus, il n’y a pas de réponse définitive à ce qui est la meilleure procédure. La réponse est relative. Une meilleure procédure peut dépendre du contexte (par exemple, combien de candidats) et des propriétés jugées importantes pour l’élection. Une chose est sûre : ne votez pas sur la procédure d’élection à utiliser!