Lorsque l’on forme n’importe quel treillis d’empilage de sphères, le premier fait à noter est que chaque fois que deux sphères se touchent, une ligne droite peut être tracée du centre d’une sphère au centre de l’autre en coupant le point de contact. La distance entre les centres le long du chemin le plus court, à savoir cette ligne droite, sera donc r1 + r2, où r1 est le rayon de la première sphère et r2 le rayon de la seconde. Dans un empilement serré, toutes les sphères partagent un rayon commun, r. Par conséquent, deux centres auraient simplement une distance 2r.
Simple hcp latticeEdit
Pour former un empilement serré A-B-A-B-… hexagonal de sphères, les points de coordonnées du treillis seront les centres des sphères. Supposons que le but est de remplir une boîte avec des sphères selon hcp. La boîte serait placée sur l’espace de coordonnées x-y-z.
Former d’abord une rangée de sphères. Les centres seront tous situés sur une ligne droite. Leur coordonnée x variera de 2r puisque la distance entre chaque centre des sphères se touchent est de 2r. La coordonnée y et la coordonnée z seront les mêmes. Pour simplifier, disons que les sphères constituent la première rangée et que leurs coordonnées y et z sont simplement r, de sorte que leurs surfaces reposent sur les plans zéro. Les coordonnées des centres de la première rangée ressembleront à (2r, r, r), (4r, r, r), (6r ,r, r), (8r ,r, r), … .
Maintenant, formez la rangée suivante de sphères. Encore une fois, les centres se trouveront tous sur une ligne droite avec des différences de coordonnées x de 2r, mais il y aura un décalage de distance r dans la direction x de sorte que le centre de chaque sphère de cette rangée s’aligne avec la coordonnée x de l’endroit où deux sphères se touchent dans la première rangée. Cela permet aux sphères de la nouvelle rangée de se rapprocher de la première rangée jusqu’à ce que toutes les sphères de la nouvelle rangée touchent deux sphères de la première rangée. Puisque les nouvelles sphères touchent deux sphères, leurs centres forment un triangle équilatéral avec les centres de ces deux voisines. Les longueurs des côtés sont toutes 2r, donc la hauteur ou la différence de coordonnées y entre les rangées est √3r. Ainsi, cette rangée aura des coordonnées comme ceci:
( r , r + 3 r , r ) , ( 3 r , r + 3 r , r ) , ( 5 r , r + 3 r , r ) , ( 7 r , r + 3 r , r ) , … . {style : gauche (r,r+{\sqrt {3}r,r\right),\gauche (3r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\gauche (5r,r+{\sqrt {3}}r,rright),\gauche (7r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\dots .}
La première sphère de cette rangée ne touche qu’une sphère de la rangée d’origine, mais son emplacement suit le reste de la rangée.
La rangée suivante suit ce modèle de décalage de la coordonnée x par r et de la coordonnée y par √3. Ajoutez des rangées jusqu’à atteindre les frontières maximales x et y de la boîte.
Dans un motif d’empilement A-B-A-B-…, les plans de sphères numérotés impairs auront exactement les mêmes coordonnées à l’exception d’une différence de pas dans les coordonnées z et les plans de sphères numérotés pairs partageront les mêmes coordonnées x et y. Les deux types de plans sont formés en utilisant le modèle mentionné ci-dessus, mais le lieu de départ de la première sphère de la première rangée sera différent.
En utilisant le plan décrit précisément ci-dessus comme plan #1, le plan A, placez une sphère sur le dessus de ce plan afin qu’elle se trouve en contact avec trois sphères dans le plan A. Les trois sphères se touchent déjà toutes, formant un triangle équilatéral, et puisqu’elles touchent toutes la nouvelle sphère, les quatre centres forment un tétraèdre régulier. Tous les côtés sont égaux à 2r car tous les côtés sont formés par deux sphères qui se touchent. La hauteur de laquelle ou la différence de coordonnées z entre les deux » plans » est √6r2/3. Ceci, combiné aux décalages des coordonnées x et y, donne les centres de la première rangée dans le plan B :
( r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 3 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 5 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 7 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , … . {style \left(r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}\right),\left(3r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}\right),\left(5r,r+{\frac {{\sqrt {3}}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}\right),\left(7r,r+{\frac {{\sqrt {3}}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}right),\dots .}
Les coordonnées de la deuxième ligne suivent le modèle décrit précédemment et sont :
( 2 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 4 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 6 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 8 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , … . {style \left(2r,r+{\frac {4{\sqrt {3}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}\right),\left(4r,r+{\frac {4{\sqrt {3}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}right),\left(6r,r+{\frac {4{\sqrt {3}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}\right),\left(8r,r+{\frac {4{\sqrt {3}r}{3},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}right),\dots .}
La différence avec le plan suivant, le plan A, est à nouveau √6r2/3 dans la direction z et un décalage en x et y pour correspondre à ces coordonnées x et y du premier plan A.
En général, les coordonnées des centres des sphères peuvent être écrites comme:
2 6 3 k ] r {\displaystyle {\begin{bmatrix}2i+((j\ +\ k){\bmod {2}})\{\sqrt {3}\left\{\frac {2{\sqrt {6}}}{3}k\end{bmatrix}}r}r}
