MISE À JOUR (14 mars 2019, 13h18) : Jeudi, Google a annoncé qu’une de ses employées, Emma Haruka Iwao, avait trouvé près de 9 000 milliards de nouveaux chiffres de pi, établissant ainsi un nouveau record. Les humains ont maintenant calculé le nombre infini jusqu’à 31 415 926 535 897 (vous comprenez ?) – environ 31,4 trillions – de décimales. C’est un miracle du Pi Day !

Précédemment, nous avons publié un article sur la poursuite par les humains de la chaîne infinie de chiffres de pi. Pour célébrer le Jour de Pi, et les 9 trillions de chiffres connus supplémentaires, nous avons mis à jour cette histoire ci-dessous.

Selon vos vues philosophiques sur le temps et les calendriers et ainsi de suite, aujourd’hui est quelque chose comme le 4,5 milliardième Jour de Pi dont la Terre a été témoin. Mais cette longue histoire n’est rien comparée à l’infinité de pi lui-même.

Un rappel pour ceux d’entre vous qui ont oublié leurs leçons de mathématiques de septième année1 : Pi, ou la lettre grecque , est une constante mathématique égale au rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre – C/d. Elle se cache dans chaque cercle, et est égale à environ 3,14. (D’où le Pi Day, qui a lieu le 14 mars, alias 3/14.)

Mais la simplicité de sa définition dément le statut de pi comme le nombre le plus fascinant, et le plus étudié, de l’histoire du monde. Bien qu’il soit souvent suffisant de considérer que pi est égal à 3,14, le nombre continue en réalité à l’infini, une série apparemment aléatoire de chiffres se déplaçant à l’infini et n’obéissant à aucun modèle discernable – 3,14159265358979….. C’est parce que c’est un nombre irrationnel, ce qui signifie qu’il ne peut pas être représenté par une fraction de deux nombres entiers (bien que des approximations telles que 22/7 puissent s’en rapprocher).

Mais cela n’a pas empêché l’humanité de s’attaquer furieusement à la montagne interminable de chiffres de pi. Nous y travaillons depuis des millénaires.

Les gens s’intéressent au nombre depuis à peu près aussi longtemps que nous comprenons les mathématiques. Les anciens Égyptiens, selon un document qui se trouve également être la plus ancienne collection d’énigmes mathématiques du monde, savaient que pi était quelque chose comme 3,1. Environ un millénaire plus tard, une estimation de pi est apparue dans la bible : L’Ancien Testament, dans 1 Rois, semble impliquer que pi est égal à 3 : « Et il fit une mer en fusion, de dix coudées d’un bord à l’autre : elle était ronde tout autour… et une ligne de trente coudées l’entourait tout autour. »

Archimède, le plus grand mathématicien de l’Antiquité, est arrivé jusqu’à 3,141 vers 250 avant J.-C. Archimède a abordé son calcul de pi de manière géométrique, en prenant en sandwich un cercle entre deux polygones réguliers à bords droits. Mesurer des polygones était plus facile que de mesurer des cercles, et Archimède a mesuré des rapports semblables à pi à mesure que le nombre de côtés des polygones augmentait, jusqu’à ce qu’ils ressemblent étroitement à des cercles.

Une amélioration significative de la méthode d’Archimède ne viendrait pas avant des centaines d’années. En utilisant la nouvelle technique d’intégration, des mathématiciens comme Gottfried Leibniz, l’un des pères du calcul, pouvaient prouver des équations aussi élégantes pour pi que :

\begin{equation*}\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\ldots\end{equation*}

Le côté droit, tout comme pi, continue pour toujours. Si vous ajoutez et soustrayez et ajoutez et soustrayez toutes ces fractions simples, vous vous rapprocherez toujours plus de la vraie valeur de pi. Le problème est que vous progresserez très, très lentement. Pour obtenir seulement 10 chiffres corrects de pi, il faudrait ajouter environ 5 milliards de fractions ensemble.

Mais des formules plus efficaces ont été découvertes. Prenez celle-ci, de Leonhard Euler, probablement le plus grand mathématicien de tous les temps, au 18e siècle :

\begin{equation*}\frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\ldots\end{equation*}

Et Srinivasa Ramanujan, un génie autodidacte des mathématiques indien, a découvert l’équation ci-dessous, totalement surprenante et bizarre, au début des années 1900. Chaque terme supplémentaire de cette somme ajoute huit chiffres corrects à une estimation de pi:

\begin{equation*}\frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{9801}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(4k) !(1103+26390k)}{(k !)^4 396^{4k}}\end{equation*}

Comme pour la recherche de grands nombres premiers, les ordinateurs ont fait exploser cette recherche de chiffres pi hors de l’orbite terrestre et dans l’espace lointain à partir du milieu des années 1900. ENIAC, un des premiers ordinateurs électroniques et le seul ordinateur des États-Unis en 1949, a calculé pi à plus de 2 000 places, doublant presque le record.

A mesure que les ordinateurs devenaient plus rapides et que la mémoire devenait plus disponible, les chiffres de pi ont commencé à tomber comme des dominos, se précipitant sur la ligne infinie du nombre, incroyablement loin mais aussi jamais plus près de la fin. S’appuyant sur la formule de Ramanujan, les frères mathématiciens Gregory et David Chudnovsky ont calculé plus de 2 milliards de chiffres de pi au début des années 1990 à l’aide d’un superordinateur fait maison, installé dans un appartement exigu et étouffant de Manhattan. Ils doubleraient leur compte à 4 milliards de chiffres après quelques années.

Le record actuel est maintenant d’environ 31,4 trillions de chiffres – des milliers de fois plus que ce que le superordinateur maison des Chudnovsky a réussi. Ce chiffre a été calculé par un employé de Google pendant 121 jours à l’aide d’un programme disponible gratuitement appelé y-cruncher, puis vérifié au cours de 48 heures supplémentaires de séances de calcul. Le calcul a occupé à peu près autant d’espace de stockage que l’ensemble de la base de données numérique de la Bibliothèque du Congrès. Emma Haruka Iwao, la femme à l’origine du record, calcule pi sur des ordinateurs depuis qu’elle est enfant.

L’exploit de calcul d’Iwao a augmenté la connaissance collective de l’humanité des chiffres de pi d’environ 40 %. Le précédent record s’élevait à plus de 22 trillions de chiffres, élaborés après 105 jours de calcul sur un serveur Dell, utilisant également y-cruncher. Ce programme, qui utilise à la fois les formules de Ramanujan et de Chudnovsky, a été utilisé pour trouver un nombre record de chiffres non seulement de pi, mais aussi d’autres nombres irrationnels sans fin, notamment e, , et le nombre d’or.

Mais peut-être que 31 trillions de chiffres, c’est un peu exagéré. Le Jet Propulsion Laboratory de la NASA utilise seulement 15 chiffres de pi pour ses calculs de haute précision pour la navigation interplanétaire. Heck, Isaac Newton connaissait autant de chiffres il y a 350 ans. « Une valeur de à 40 chiffres serait plus que suffisante pour calculer la circonférence de la Voie lactée avec une erreur inférieure à la taille d’un proton », a écrit un groupe de chercheurs dans une histoire utile du nombre. Alors pourquoi aurions-nous jamais besoin de 31 trillions de chiffres ?

Sûr, nous avons appris un peu de théorie mathématique en creusant profondément sur pi : sur les transformées de Fourier rapides et que pi est probablement un nombre dit normal. Mais la réponse la plus satisfaisante me semble n’avoir rien à voir avec les mathématiques. Elle a peut-être à voir avec ce que le président John F. Kennedy a dit à propos de la mise en place d’un programme spatial. Nous faisons des choses comme ça « non pas parce qu’elles sont faciles, mais parce qu’elles sont difficiles ; parce que cet objectif servira à organiser et à mesurer le meilleur de nos énergies et de nos compétences. »

Mais il y a une différence majeure : La lune n’est pas infiniment loin ; nous pouvons réellement nous y rendre. Peut-être que cette célèbre citation sur les échecs est plus appropriée : « La vie n’est pas assez longue pour les échecs – mais c’est la faute de la vie, pas des échecs. »

Pi est trop long pour l’humanité. Mais c’est la faute de l’humanité, pas de Pi. Bonne fête de Pi.