Arrow lehetetlenségi tétele szörnyű helyzetet mutat be: egyetlen választási eljárás sem elégíti ki Arrow axiómakészletét, kivéve a diktatúrát. Ez nem jelenti azt, hogy a demokrácia hibás, és hogy a diktatúra az egyetlen ésszerű kormányforma. Ha Arrow axiómái túl szigorúak, és egyetlen választási eljárás sem felel meg az axiómáknak, akkor vagy egy kisebb axiómakészlet, vagy egy másik kritériumrendszer lehetővé teheti a választási eljárások összehasonlítását – azzal a céllal, hogy megtaláljuk a “legjobb” eljárást. A “legjobb” meghatározása attól függ, hogy milyen tulajdonságok kívánatosak az eljárásban. Az alábbiakban felsoroljuk azokat a kritériumokat, amelyeket egyesek a választási eljárások értékelésére használtak, hogy arra a következtetésre jussanak, melyik eljárás(ok) a “legjobb”.”
Condorcet-győztes

1770-ben Jean Charles de Borda javasolta, hogy a Francia Tudományos Akadémiára való felvétel meghatározásához a Borda-féle számlálást használják. 1785-ben Marie-Jean-Antoine-Nicolas de Caritat Condorcet (Condorcet márki) azzal érvelt, hogy a Borda-féle számlálás hibás, mert nem feltétlenül azt a jelöltet választja meg, aki fej-fej mellett minden más jelöltet legyőz. Condorcet átgondolta, hogy mi történne az összes jelöltpár közötti választáson, és a többségi szabályt másképp általánosította. Tekintsük a következő példát, amelyben öt szavazó rangsorolja a négy jelöltet, A-t, B-t, C-t és D-t.

A fenti preferencia adatokhoz, két jelölt közötti fej-fej melletti választáson az egyiknek több szavazatot kell kapnia, mint a másiknak, mivel a szavazók száma páratlan. Például D legyőzi A-t, mert három szavazó jobban kedveli D-t, mint A-t (azok a szavazók, akiknek a preferenciái a fenti 2., 3. és 4. oszlopban vannak), míg csak két szavazó jobban kedveli A-t, mint D-t (azok a szavazók, akiknek a preferenciái a fenti 1. és 5. oszlopban vannak). Hasonló számításokkal kimutatható, hogy D legyőzi A-t, B-t és C-t páros versenyben. Condorcet amellett érvelt, hogy azt a jelöltet kell megválasztani, aki a többségi szabály szerinti fej-fej melletti választásokon minden más jelöltet legyőz. Az ilyen jelöltet “Condorcet-győztesnek” nevezik. A fenti példa fej-fej melletti választási adatai az alábbiakban jelennek meg.

A Borda számlálás nem feltétlenül választja meg a Condorcet-győztest
Condorcet hibásnak tartotta a Borda számlálást, mert az nem feltétlenül választja meg a Condorcet-győztest. A fenti öt szavazóból álló példa (amelyben a szavazók preferenciái az A, B, C és D jelöltekre vonatkoznak) ezt bizonyítja. A Borda-szavazás vektorát a preferenciák bal oldalára írjuk.

.

A jelöltek A, B, C és D 10, 5, 6 és 9 pontot kapnak. Ebből következően A nyeri a választást a Borda-féle számolás szerint, szemben a Condorcet-győztes D-vel.

A pontjai: 2*3 + 3*2 + 0*1 + 1*0 = 10 B pontjai: 0*3 + 2*2 + 2*1 + 1*0 = 6 D pont: 2*3 + 0*2 + 3*1 + 0*0 = 9

Egy Condorcet-győztes sajnos nem mindig létezik. (Lásd a keretes bejegyzést.) Egy olyan választási eljárás, amely mindig a Condorcet-győztest választja, ha létezik, kielégíti a “Condorcet-kritériumot”. Számos matematikus és szavazáselméleti szakember javasolt olyan eljárásokat, amelyek kielégítik a Condorcet-kritériumot, köztük Charles Dodgson angol matematikus. Bár a cambridge-i Christ Church Egyetem matematikaoktatója volt, Dodgson inkább írói álnevén, Lewis Carroll, az Alice kalandjai Csodaországban szerzőjeként ismert.

Egyszerű használat és könnyű megértés
Egy választási eljárásnak könnyen használhatónak kell lennie, hogy a választók pontosan tükrözni tudják a jelöltekkel kapcsolatos preferenciáikat. Továbbá, egy választási eljárásnak könnyen érthetőnek kell lennie a választópolgárok számára, hogy a választási eredményekbe vetett bizalom megmaradjon. Ha egy “legjobb” választási eljárás túl bonyolult a használatához vagy megértéséhez, akkor a választópolgárok nem bízhatnak a választási eredményekben, függetlenül attól, hogy a matematika “legjobbnak” keresztelte-e el az eljárást vagy sem.

Például a jelöltek számának növekedésével lehetetlen feltételezni, hogy a választók képesek rangsorolni az összes jelöltet (lásd “Hogyan szavazzunk”), ahogyan azt a legtöbb választási eljárás megköveteli. A jóváhagyásos szavazást részben azért támogatta Brams és Fishburn, mert könnyen érthető, és a választóknak csak a jelöltek “jóváhagyásáról” vagy “elutasításáról” kell dönteniük. Mások azzal érveltek, hogy a jóváhagyó szavazás túlságosan rugalmas. Még ha két választópolgár ugyanúgy is rangsorolja a jelölteket, másképp oszthatják be őket a “helyeslem” és a “nem helyeslem” kategóriába, így a rangsorbeli preferenciák nem elegendőek a választási eredmény meghatározásához.

Legkevésbé manipulálható
A választási eljárás célja egy olyan eredmény meghatározása, amely a nép akaratát képviseli. Mivel a választók meghamisíthatják a jelöltekkel kapcsolatos valódi rangsorukat, és a választás kimenetelét úgy befolyásolhatják, hogy javítsák az eredményt (például a második legkedveltebb jelöltre szavaznak, amikor az első számú jelöltjük messze lemarad a felmérésekben), a “legjobb” választási eljárás megakadályozná, hogy a választók meghamisítsák a preferenciáikat, hogy jobb eredményt érjenek el. A szavazáselméletben ezt a tulajdonságot “stratégiabiztosnak” nevezik. Vagyis egy választási eljárás akkor stratégiailag biztonságos, ha a választónak soha nem áll érdekében, hogy stratégiailag szavazzon, és a preferenciáit félremagyarázza. Létezik-e ilyen stratégiabiztos eljárás?

Simultán felfedezés!

Allan Gibbard és Mark Satterthwaite egymástól függetlenül bebizonyították a Gibbard-Satterthwaite-tétel néven ismertté vált tételt, amely szerint a diktatúrán kívül nincs stratégiabiztos eljárás három vagy több jelölt közötti választásra. Gibbard 1973-ban publikált egy cikket az eredményről. Satterthwaite hozzájárulása a Wisconsini Egyetemen írt doktori disszertációjának része volt. Bár egymástól függetlenül és egymás munkájának ismerete nélkül végezték, mivel Gibbard munkáját már elfogadták publikálásra, Satterthwaite nem tehette közzé az eredményt úgy, ahogy az a disszertációjában szerepel. Ő 1975-ben publikált egy változatot, amelyben az eredményt Arrow tételéhez kötötte.

Mark Satterthwaite
A bibliográfiai hivatkozásokért lásd a “Hivatkozások és hivatkozások” című részt.

Egy Arrow-szerű eredményben Allan Gibbard és Mark Satterthwaite sajnos kimutatta, hogy három vagy több jelölt esetén az egyetlen stratégiailag biztonságos választási eljárás a diktatúra! Munkájukat egymástól függetlenül végezték az 1970-es években.

Mivel minden nem diktatúrás választási eljárás hajlamos a stratégiai szavazásra, a következő kérdés az, hogy van-e olyan eljárás, amely minimalizálja a stratégiai szavazás hasznosságának valószínűségét. Donald G. Saari, University of California, Irvine, feltette és megválaszolta ezt a kérdést. Bebizonyította, hogy a Borda-féle számlálás minimalizálja annak a valószínűségét, hogy a preferenciák félrevezetése vagy a stratégiai szavazás hasznot hozhat.

Egy végleges válasz?
A három vagy több jelöltet tartalmazó választások esetében nincs végleges válasz arra, hogy mi a legjobb eljárás. A válasz relatív. A legjobb eljárás függhet a kontextustól (pl. hány jelölt) és attól, hogy milyen tulajdonságokat tartanak fontosnak a választás szempontjából. Egy biztos: ne szavazzunk arról, hogy milyen választási eljárást alkalmazzunk!