Minden gömböt tartalmazó rács kialakításakor az első tény, amit észre kell venni, hogy amikor két gömb összeér, az egyik gömb középpontjából a másik középpontjába egy egyenes vonalat lehet húzni, amely az érintkezési pontot metszi. A középpontok közötti távolság a legrövidebb út mentén, azaz ezen egyenes mentén tehát r1 + r2 lesz, ahol r1 az első gömb sugara, r2 pedig a második gömb sugara. A szoros csomagolásban minden gömbnek közös sugara van, r. Ezért két középpont távolsága egyszerűen 2r.
Simple hcp latticeEdit
A gömbök A-B-A-B-B-… hexagonális szoros pakolásának kialakításához a rács koordinátapontjai a gömbök középpontjai lesznek. Tegyük fel, hogy a cél egy doboz gömbökkel való kitöltése a hcp szerint. A dobozt az x-y-z koordinátatérben helyeznénk el.
Először is alakítsunk ki egy gömbsort. A középpontok mindegyike egy egyenes vonalra fog esni. Az x-koordinátájuk 2r-rel fog változni, mivel az egyes középpontok közötti távolság a gömbök érintkeznek 2r. Az y-koordináta és a z-koordináta ugyanaz lesz. Az egyszerűség kedvéért mondjuk, hogy a gömbök az első sorban vannak, és y- és z-koordinátájuk egyszerűen r, így felületük a nullsíkon nyugszik. Az első sor középpontjainak koordinátái így néznek ki: (2r, r, r, r), (4r, r, r, r), (6r ,r, r), (8r ,r, r), … .
Most képezzük a következő gömbsorozatot. A középpontok ismét egy egyenes vonalra esnek, 2r x-koordináta különbséggel, de az x irányban r távolsággal eltolódnak, így ebben a sorban minden gömb középpontja egybeesik az első sorban lévő két gömb érintkezési pontjának x-koordinátájával. Ez lehetővé teszi, hogy az új sor gömbjei közelebb csússzanak az első sorhoz, amíg az új sor minden gömbje nem érinti az első sor két gömbjét. Mivel az új gömbök két gömböt érintenek, középpontjaik egyenlő oldalú háromszöget alkotnak a két szomszédos gömb középpontjával. Az oldalhosszúságok mindegyike 2r, így a sorok közötti magasság- vagy y-koordináta különbség √3r. Így ennek a sornak ilyen koordinátái lesznek:
( r , r + 3 r , r ) , ( 3 r , r + 3 r , r ) , ( 5 r , r + 3 r , r ) , ( 7 r , r + 3 r , r ) , … . {\displaystyle \left(r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \ \left(3r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \ \left(5r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \ \left(7r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\dots .}
Ez a sor első gömbje csak egy gömböt érint az eredeti sorban, de a helye követi a sor többi részének helyét.
A következő sor ezt a mintát követi, az x-koordinátát r-rel, az y-koordinátát pedig √3-mal eltolva. Addig adjunk hozzá sorokat, amíg el nem érjük a doboz x és y maximális határát.
Az A-B-A-B-B-… halmozási mintában a páratlan számú gömbsíkok pontosan ugyanazokkal a koordinátákkal rendelkeznek, kivéve a z-koordináták osztáskülönbségét, a páros számú gömbsíkok pedig ugyanazokkal az x- és y-koordinátákkal rendelkeznek. Mindkét típusú síkot a fent említett mintával alakítjuk ki, de az első sor első gömbjének kezdőhelye más lesz.
A fentebb pontosan leírt síkot, mint az 1. síkot, az A-síkot használva, helyezzünk egy gömböt ennek a síknak a tetejére úgy, hogy az az A-sík három gömbjét érintve fekszik. A három gömb már mind érintkezik egymással, egyenlő oldalú háromszöget alkotva, és mivel mindhárom érinti az új gömböt, a négy középpont egy szabályos tetraédert alkot. Minden oldala egyenlő 2r-rel, mert minden oldalát két gömb érintkezése alkotja. Amelynek magassága vagy a két “sík” közötti z-koordináta különbség √6r2/3. Ez az x- és y-koordináták eltolásával kombinálva adja a B-sík első sorának középpontjait:
( r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 3 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 5 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 7 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , … . {\displaystyle \left(r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}}\right),\ \ \left(3r,r+{\frac {{\sqrt {{\sqrt {3}r}r}{3}}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}}\right),\ \left(5r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}r}{3}}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}}\right),\ \ \left(7r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}r}{3}}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}}right),\dots .}
A második sor koordinátái a fent először leírt mintát követik, és a következők:
( 2 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 4 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 6 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 8 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , … . {\displaystyle \left(2r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}r}{3}}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}{3}}}\right),\ \ \left(4r,r+{\frac {4{\sqrt {3}r}r}{3}}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}}\right),\ \left(6r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}r}{3}}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}}\right),\ \ \left(8r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}r}{3}}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}}\right),\dots .}
A különbség a következő síkhoz, az A síkhoz képest ismét √6r2/3 a z irányban és egy eltolás az x és y irányban, hogy megfeleljen az első A sík ezen x és y koordinátáinak.
A gömbközéppontok koordinátái általában a következőképpen írhatók fel:
2 6 3 k ] r {\displaystyle {\begin{bmatrix}2i+((j\ +\ k){\bmod {2}})\\\{\sqrt {3}}\left\\\{\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}k\end{bmatrix}}r}r}
