Quando si forma un qualsiasi reticolo di sfere, il primo fatto da notare è che ogni volta che due sfere si toccano si può tracciare una linea retta dal centro di una sfera al centro dell’altra intersecando il punto di contatto. La distanza tra i centri lungo il percorso più breve cioè quella linea retta sarà quindi r1 + r2 dove r1 è il raggio della prima sfera e r2 è il raggio della seconda. In close packing tutte le sfere condividono un raggio comune, r. Quindi due centri avrebbero semplicemente una distanza 2r.
Simple hcp latticeEdit
Per formare un imballaggio esagonale ravvicinato di sfere A-B-A-B-…, i punti di coordinate del reticolo saranno i centri delle sfere. Supponiamo che l’obiettivo sia quello di riempire una scatola di sfere secondo hcp. La scatola verrebbe posta sullo spazio di coordinate x-y-z.
Prima di tutto formate una fila di sfere. I centri si troveranno tutti su una linea retta. La loro coordinata x varierà di 2r poiché la distanza tra ogni centro delle sfere che si toccano è 2r. La coordinata y e la coordinata z saranno le stesse. Per semplicità, diciamo che le sfere sono la prima fila e che le loro coordinate y e z sono semplicemente r, in modo che le loro superfici riposino sui piani zero. Le coordinate dei centri della prima fila saranno come (2r, r, r), (4r, r, r), (6r ,r, r), (8r ,r, r), … .
Ora, forma la prossima fila di sfere. Di nuovo, i centri si troveranno tutti su una linea retta con differenze di coordinate x di 2r, ma ci sarà uno spostamento di distanza r nella direzione x in modo che il centro di ogni sfera in questa fila si allinei con la coordinata x di dove due sfere si toccano nella prima fila. Questo permette alle sfere della nuova fila di scivolare più vicino alla prima fila finché tutte le sfere della nuova fila toccano due sfere della prima fila. Poiché le nuove sfere toccano due sfere, i loro centri formano un triangolo equilatero con i centri di questi due vicini. Le lunghezze dei lati sono tutte 2r, quindi l’altezza o la differenza di coordinate y tra le file è √3r. Quindi, questa riga avrà coordinate come questa:
( r , r + 3 r , r ) , ( 3 r , r + 3 r , r ) , ( 5 r , r + 3 r , r ) , ( 7 r , r + 3 r , r ) , … . {\displaystyle \sinistra(r,r+{sqrt {3}r,r\destra),\sinistra(3r,r+{sqrt {3}r,r\destra),\sinistra(5r,r+{sqrt {3}r,r\destra),\sinistra(7r,r+{sqrt {3}r,r\destra),\punti .}
La prima sfera di questa fila tocca solo una sfera della fila originale, ma la sua posizione segue quella del resto della fila.
La fila successiva segue questo schema di spostare la coordinata x di r e la coordinata y di √3. Aggiungete righe fino a raggiungere i bordi massimi x e y della scatola.
In uno schema di impilamento A-B-A-B-…, i piani dispari di sfere avranno esattamente le stesse coordinate tranne una differenza di passo nelle coordinate z e i piani pari di sfere condivideranno le stesse coordinate x e y. Entrambi i tipi di piani sono formati usando lo schema menzionato sopra, ma il posto di partenza per la prima sfera della prima fila sarà diverso.
Utilizzando il piano descritto esattamente sopra come piano #1, il piano A, metti una sfera in cima a questo piano in modo che si trovi a toccare tre sfere nel piano A. Le tre sfere si toccano già tutte, formando un triangolo equilatero, e poiché tutte toccano la nuova sfera, i quattro centri formano un tetraedro regolare. Tutti i lati sono uguali a 2r perché tutti i lati sono formati da due sfere che si toccano. La cui altezza o la differenza di coordinate z tra i due “piani” è √6r2/3. Questo, combinato con gli sfasamenti nelle coordinate x e y dà i centri della prima fila nel piano B:
( r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 3 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 5 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 7 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , … . {\displaystyle \sinistra(r,r+{\frac {\sqrt {3}r}{3},r+{\frac {\sqrt {6}r2}{3}}destra),\sinistra(3r,r+{\frac {\sqrt {3}r},r+{\frac {\sqrt {6}r2}{3}destra),\sinistra(5r,r+{{frac {{sqrt {3}r}{3},r+{frac {{sqrt {6}r2}{3}}destra),\sinistra(7r,r+{frac {{sqrt {3}r}{3},r+{frac {{sqrt {6}r2}{3}}destra),\punti .}
Le coordinate della seconda riga seguono lo schema descritto prima e sono:
( 2 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 4 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 6 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 8 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , … . {\displaystyle \sinistra(2r,r+{\frac {4{\sqrt {3}r}{3},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}destra),\sinistra(4r,r+{\frac {4{\sqrt {3}r},r+{\frac {\sqrt {6}r2}{3}destra),\sinistra(6r,r+{{frac {4{sqrt {3}r}{3},r+{frac {{sqrt {6}r2}{3}}destra),\sinistra(8r,r+{frac {4{sqrt {3}r}{3},r+{frac {{sqrt {6}r2}{3}destra),\punti .}
La differenza con il piano successivo, il piano A, è di nuovo √6r2/3 in direzione z e uno spostamento in x e y per corrispondere alle coordinate x e y del primo piano A.
In generale, le coordinate dei centri delle sfere possono essere scritte come:
2 6 3 k ] r {displaystyle {begin{bmatrix}2i+((j + k){bmod {2}){sqrt {3}{sinistra}{frac {2{sqrt {6}}{3}k{end{bmatrix}}r}
