Il teorema dell’impossibilità di Arrow presenta una situazione terribile: nessuna procedura elettorale soddisfa l’insieme degli assiomi di Arrow, tranne una dittatura. Questo non significa che la democrazia sia difettosa e che una dittatura sia l’unica forma ragionevole di governo. Se gli assiomi di Arrow sono troppo severi e nessuna procedura elettorale soddisfa gli assiomi, allora o un insieme più piccolo di assiomi o un diverso insieme di criteri può permettere di confrontare le procedure elettorali – con l’obiettivo di trovare una procedura “migliore”. La definizione di “migliore” è relativa a quali proprietà sono desiderabili nella procedura. Sotto c’è una lista di criteri che alcuni hanno usato per valutare le procedure di elezione per arrivare alla loro conclusione su quale procedura sia la “migliore”.
Vincitore di Condorcet

Nel 1770, Jean Charles de Borda propose di usare il conteggio Borda per determinare l’ammissione all’Accademia Francese delle Scienze. Nel 1785, Marie-Jean-Antoine-Nicolas de Caritat Condorcet (il Marchese du Condorcet) sostenne che il conteggio Borda era difettoso perché non elegge necessariamente un candidato che sconfigge ogni altro candidato in un’elezione testa a testa. Condorcet considerò cosa sarebbe successo nelle elezioni tra tutte le coppie di candidati e generalizzò la regola della maggioranza in un modo diverso. Si consideri il seguente esempio in cui cinque elettori classificano i quattro candidati A, B, C e D.

Per i dati delle preferenze di cui sopra, in un’elezione testa a testa tra due candidati, uno deve ricevere più voti dell’altro a causa del numero dispari di elettori. Per esempio, D sconfigge A, perché tre elettori preferiscono D ad A (gli elettori le cui preferenze sono nelle colonne 2, 3 e 4 qui sopra) mentre solo due elettori preferiscono A a D (gli elettori le cui preferenze sono nelle colonne 1 e 5 qui sopra). Calcoli simili possono essere usati per mostrare che D sconfigge A, B e C in gare a coppie. Condorcet sosteneva che un candidato che sconfigge ogni altro candidato in elezioni testa a testa sotto la regola della maggioranza dovrebbe essere eletto. Un tale candidato è chiamato il “vincitore di Condorcet”. I dati delle elezioni testa a testa per l’esempio di cui sopra appaiono qui sotto.

Il conteggio Borda può non eleggere il vincitore di Condorcet
Condorcet considerava il conteggio Borda difettoso perché non avrebbe necessariamente eletto il vincitore di Condorcet. Il precedente esempio a cinque votanti (in cui le preferenze degli elettori sono per i candidati A, B, C e D) ne fornisce la prova. Il vettore di voto del conteggio Borda è scritto a sinistra delle preferenze.

Candidati A, B, C e D ricevono rispettivamente 10, 5, 6 e 9 punti. Quindi, A vince le elezioni secondo il conteggio Borda, in opposizione al vincitore Condorcet D.

Punti di A: 2*3 + 3*2 + 0*1 + 1*0 = 10 Punti di B: 1*3 + 1*2 + 0*1 + 3*0 = 5
Punti di C: 0*3 + 2*2 + 2*1 + 1*0 = 6 punti di D: 2*3 + 0*2 + 3*1 + 0*0 = 9

Purtroppo, un vincitore di Condorcet non esiste sempre. (Una procedura elettorale che elegge sempre il vincitore di Condorcet quando esiste, soddisfa il “criterio di Condorcet”. Molti matematici e teorici del voto hanno proposto procedure che soddisfano il criterio di Condorcet, compreso il matematico inglese Charles Dodgson. Anche se era un docente di matematica alla Christ Church, Cambridge University, Dodgson è meglio conosciuto con il suo pseudonimo, Lewis Carroll, l’autore di Alice’s Adventures in Wonderland.

Facilità d’uso e facilità di comprensione
Una procedura elettorale dovrebbe essere facilmente utilizzabile in modo che gli elettori possano riflettere accuratamente le loro preferenze per i candidati. Inoltre, una procedura elettorale dovrebbe essere facilmente compresa dall’elettorato in modo che ci sia fiducia nei risultati elettorali. Se una procedura elettorale “migliore” è troppo complicata da usare o da capire, allora l’elettorato potrebbe non avere fiducia nei risultati elettorali, indipendentemente dal fatto che la matematica abbia o meno battezzato la procedura come “migliore”.

Per esempio, quando il numero di candidati aumenta, può essere poco pratico assumere che gli elettori possano ordinare tutti i candidati (vedi “Come votare”), come richiesto dalla maggior parte delle procedure elettorali. Il voto di approvazione è stato sostenuto in parte da Brams e Fishburn perché è facilmente comprensibile e richiede agli elettori di decidere solo di “approvare” o “disapprovare” i candidati. Altri hanno sostenuto che c’è troppa flessibilità nel voto per approvazione. Anche se due elettori possono classificare i candidati allo stesso modo, essi possono dividerli nelle due categorie di “approvare” e “disapprovare” in modo diverso, così che le preferenze di rango non sono sufficienti a determinare un risultato elettorale.

Meno manipolabile
L’obiettivo di una procedura elettorale è di determinare un risultato che rappresenti la volontà del popolo. Poiché gli elettori possono travisare le loro vere classifiche dei candidati e influenzare l’esito di un’elezione in modo da migliorare il risultato (come votare per un secondo candidato preferito quando la propria scelta principale è molto indietro nei sondaggi), una procedura elettorale “migliore” impedirebbe agli elettori di travisare le loro preferenze per ottenere un risultato migliore. Nella teoria del voto, questa proprietà è chiamata “a prova di strategia”. Cioè, una procedura elettorale è a prova di strategia se non è mai nell’interesse dell’elettore votare strategicamente e travisare le sue preferenze. Esiste una procedura a prova di strategia?

Scoperta simultanea!

Allan Gibbard e Mark Satterthwaite hanno dimostrato indipendentemente quello che è diventato noto come il Teorema Gibbard-Satterthwaite, che afferma che, a parte una dittatura, non esiste una procedura a prova di strategia per elezioni tra tre o più candidati. Gibbard ha pubblicato un articolo con il risultato nel 1973. Il contributo di Satterthwaite faceva parte della sua tesi di dottorato all’Università del Wisconsin. Anche se fatto indipendentemente e senza conoscenza del lavoro dell’altro, poiché il lavoro di Gibbard era stato accettato per la pubblicazione, Satterthwaite non fu in grado di pubblicare il risultato come appare nella sua tesi. Pubblicò una versione nel 1975, in cui legava il risultato al Teorema di Arrow.

Mark Satterthwaite
Vedi “Riferimenti e collegamenti” per i riferimenti bibliografici.

Purtroppo, in un risultato simile a quello di Arrow, Allan Gibbard e Mark Satterthwaite hanno dimostrato che l’unica procedura elettorale a prova di strategia per tre o più candidati è una dittatura! Il loro lavoro è stato fatto indipendentemente l’uno dall’altro negli anni ’70.

Poiché tutte le procedure elettorali non dittatoriali sono suscettibili di voto strategico, una prossima domanda è quella di determinare se esiste una procedura che minimizzi la probabilità che il voto strategico sia utile. Donald G. Saari, Università della California, Irvine, ha posto e risposto a questa domanda. Ha dimostrato che il conteggio Borda riduce al minimo la probabilità che il travisamento delle preferenze o il voto strategico possano essere usati per trarne vantaggio.

Una risposta definitiva?
Per un’elezione con tre o più candidati, non esiste una risposta definitiva su quale sia la procedura migliore. La risposta è relativa. Una procedura migliore può dipendere dal contesto (ad esempio, quanti candidati) e da quali proprietà sono considerate importanti per l’elezione. Una cosa è certa: non votate su quale procedura elettorale usare!