Il motore termico perfetto di Carnot: la seconda legge della termodinamica riadattata | Fisica

Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa sezione, sarai in grado di:

Identificare un ciclo di Carnot.
Calcolare la massima efficienza teorica di un reattore nucleare.
Spiegare come i processi dissipativi influenzano il motore di Carnot ideale.

Fotografia di un nuovo giocattolo conosciuto come l'uccello bevente. È composto da due bulbi di vetro collegati tra loro da un tubo di vetro. Il bulbo superiore ha la forma della testa di un uccello e il tubo sembra il suo collo. Il bulbo inferiore, che può essere paragonato all'addome, contiene cloruro di metilene che è stato colorato di rosso. La parte inferiore del collo è attaccata ad un perno, e davanti alla testa dell'uccello c'è un bicchiere d'acqua.

Figura 1. Un uccello che beve (credito: Arabesk.nl, Wikimedia Commons)

La novità giocattolo conosciuta come l’uccello che beve (vista in Figura 1) è un esempio del motore di Carnot. Contiene cloruro di metilene (mescolato con un colorante) nell’addome, che bolle ad una temperatura molto bassa, circa 100ºF. Per funzionare, si bagna la testa dell’uccello. Quando l’acqua evapora, il fluido sale nella testa, facendo sì che l’uccello diventi pesante e si immerga in avanti nell’acqua. Questo raffredda il cloruro di metilene nella testa, ed esso si sposta indietro nell’addome, facendo sì che l’uccello diventi pesante dal basso verso l’alto. Tranne che per un piccolissimo apporto di energia – l’originale bagnatura della testa – l’uccello diventa una specie di macchina a moto perpetuo.

Sappiamo dalla seconda legge della termodinamica che un motore termico non può essere efficiente al 100%, poiché ci deve sempre essere qualche trasferimento di calore Qc all’ambiente, che è spesso chiamato calore di scarto. Quanto può essere efficiente, allora, un motore termico? A questa domanda fu data una risposta a livello teorico nel 1824 da un giovane ingegnere francese, Sadi Carnot (1796-1832), nel suo studio dell’allora nascente tecnologia del motore termico, cruciale per la rivoluzione industriale. Egli ideò un ciclo teorico, ora chiamato ciclo di Carnot, che è il processo ciclico più efficiente possibile. La seconda legge della termodinamica può essere riformulata in termini di ciclo di Carnot, e quindi ciò che Carnot scoprì effettivamente fu questa legge fondamentale. Qualsiasi motore termico che impiega il ciclo di Carnot è chiamato un motore di Carnot.

Quello che è cruciale per il ciclo di Carnot – e, di fatto, lo definisce – è che vengono utilizzati solo processi reversibili. I processi irreversibili coinvolgono fattori dissipativi, come l’attrito e la turbolenza. Questo aumenta il trasferimento di calore Qc all’ambiente e riduce l’efficienza del motore. Ovviamente, quindi, i processi reversibili sono superiori.

Motore di Carnot

In termini di processi reversibili, la seconda legge della termodinamica ha una terza forma:

Un motore di Carnot che opera tra due date temperature ha la massima efficienza possibile di qualsiasi motore termico che opera tra queste due temperature. Inoltre, tutti i motori che impiegano solo processi reversibili hanno questa stessa efficienza massima quando operano tra le stesse temperature date.

La figura 2 mostra il diagramma PV per un ciclo di Carnot. Il ciclo comprende due processi isotermici e due adiabatici. Ricordiamo che entrambi i processi isotermici e adiabatici sono, in linea di principio, reversibili.

Carnot determinò anche l’efficienza di un motore termico perfetto, cioè un motore di Carnot. È sempre vero che l’efficienza di un motore termico ciclico è data da:

displaystyle{Eff}=\frac{ Q_{Q_{{{Testo{h}}-Q_{{Testo{c}}}{Q_{Testo{h}}=1-{frac{Q_{Testo{c}}}{Q_{Testo{h}}}=1-{frac{Q_{Testo{h}}}

Quello che Carnot trovò fu che per un motore termico perfetto, il rapporto \frac{Q_{Testo{c}}}{Q_{Testo{h}} è uguale al rapporto delle temperature assolute dei serbatoi di calore. Cioè, \frac {Q_{Q_{text{c}}}{Q_{\text{h}}=\frac{T_{\text{c}}}{T_{\text{h}}} per un motore di Carnot, così che l’efficienza massima o di Carnot, EffC, è data da

displaystyle{Eff}_{{\testo{C}}=1-\frac{T_{\testo{c}}}{T_{\testo{h}}}

dove Th e Tc sono in kelvin (o qualsiasi altra scala di temperatura assoluta). Nessun motore termico reale può fare così bene come l’efficienza di Carnot – un’efficienza effettiva di circa 0,7 di questo massimo è di solito il meglio che si può ottenere. Ma il motore di Carnot ideale, come l’uccello da bere di cui sopra, pur essendo una novità affascinante, ha potenza zero. Questo lo rende irrealistico per qualsiasi applicazione.

L’interessante risultato di Carnot implica che il 100% di efficienza sarebbe possibile solo se Tc = 0 K-cioè solo se il serbatoio freddo fosse allo zero assoluto, una impossibilità pratica e teorica. Ma l’implicazione fisica è questa: l’unico modo per fare in modo che tutto il trasferimento di calore vada a fare lavoro è rimuovere tutta l’energia termica, e questo richiede un serbatoio freddo allo zero assoluto.

È anche evidente che le maggiori efficienze si ottengono quando il rapporto \frac{T_text{c}}{T_{text{h}} è il più piccolo possibile. Proprio come discusso per il ciclo Otto nella sezione precedente, questo significa che l’efficienza è massima per la più alta temperatura possibile del serbatoio caldo e la più bassa possibile del serbatoio freddo. (Questa configurazione aumenta l’area all’interno del circuito chiuso sul diagramma FV; inoltre, sembra ragionevole che maggiore è la differenza di temperatura, più facile è deviare il trasferimento di calore al lavoro). Le temperature effettive del serbatoio di un motore termico sono di solito legate al tipo di fonte di calore e alla temperatura dell’ambiente in cui avviene il trasferimento di calore. Consideriamo il seguente esempio.

La parte a della figura mostra un grafico della pressione P rispetto al volume V per un ciclo di Carnot. La pressione P è lungo l'asse Y e il volume V è lungo l'asse X. Il grafico mostra un ciclo completo A B C D. Il percorso inizia nel punto A, poi si muove dolcemente verso il basso fino al punto B lungo la direzione dell'asse X. Questo è segnato come un'isoterma alla temperatura T sub h. Poi la curva scende ulteriormente, lungo una curva diversa, dal punto B al punto C. Questo è segnato come espansione adiabatica. La curva sale dal punto C al punto D lungo la direzione opposta a quella di A B. Questa è anche un'isoterma ma alla temperatura T sub c. L'ultima parte della curva sale dal punto D di nuovo ad A lungo una direzione opposta a quella di B C. Questo è segnato come compressione adiabatica. Il percorso C D è più basso del percorso A B. Il calore Q sub h entra nel sistema, come mostrato da una freccia in grassetto sulla curva A B. Il calore Q sub c lascia il sistema come mostrato da una freccia in grassetto vicino a C D. La parte b del diagramma mostra un motore a combustione interna rappresentato come un cerchio. Il serbatoio caldo è una sezione rettangolare nella parte superiore del cerchio mostrato alla temperatura T sub h. Un serbatoio freddo è mostrato come una sezione rettangolare nella parte inferiore del cerchio alla temperatura T sub c. Il calore Q sub h entra nel motore termico come mostrato da una freccia in grassetto; il lavoro W è prodotto come uscita, mostrato per lasciare il sistema, e il calore rimanente Q sub c è restituito al serbatoio freddo, come mostrato da una freccia in grassetto verso di esso.

Figura 2. Diagramma PV per un ciclo di Carnot, impiegando solo processi isotermici e adiabatici reversibili. Il trasferimento di calore Qh avviene nella sostanza attiva durante il percorso isotermico AB, che avviene a temperatura costante Th. Il trasferimento di calore Qc avviene fuori dalla sostanza attiva durante il percorso isotermico CD, che avviene a temperatura costante Tc. Il lavoro netto prodotto W è uguale all’area all’interno del percorso ABCDA. Viene anche mostrato uno schema di un motore di Carnot che opera tra serbatoi caldi e freddi a temperature Th e Tc. Qualsiasi motore termico che utilizza processi reversibili e che funziona tra queste due temperature avrà la stessa efficienza massima del motore di Carnot.

Esempio 1. Massima efficienza teorica per un reattore nucleare

Un reattore nucleare ha acqua pressurizzata a 300ºC. (Temperature più alte sono teoricamente possibili ma praticamente non lo sono, a causa delle limitazioni dei materiali usati nel reattore). Il trasferimento di calore da quest’acqua è un processo complesso (vedi Figura 3). Il vapore, prodotto nel generatore di vapore, è usato per azionare i generatori a turbina. Alla fine il vapore viene condensato in acqua a 27ºC e poi riscaldato di nuovo per ricominciare il ciclo. Calcola la massima efficienza teorica per un motore termico che funziona tra queste due temperature.

Il diagramma mostra uno schema di un reattore nucleare ad acqua pressurizzata e delle turbine a vapore che convertono il lavoro in energia elettrica. C'è un recipiente a pressione al centro, a forma di cupola alle estremità. Questo ha un nucleo nucleare al suo interno. Il nucleo è un piccolo quadrato al centro del reattore. Le barre di controllo sono mostrate come bastoncini di uguale lunghezza attaccati al nucleo. Il contenitore a pressione ha alcuni tubi di raffreddamento che lo attraversano e poi ritornano in una camera di vapore. Questi tubi di raffreddamento contengono un liquido refrigerante che trasporta il calore dal contenitore a pressione alla camera di vapore. Tutto questo sistema è racchiuso in un'altra struttura di contenimento a forma di cupola in acciaio. L'alimentazione dell'acqua alla camera del vapore e l'uscita del vapore sono visti uscire da questa camera. Questo vapore è ora mostrato per far funzionare due turbine a vapore, una ad alta pressione e un'altra a bassa pressione. Le turbine hanno una forma quasi triangolare e segmentata. La turbina a vapore a sua volta genera energia usando un generatore a turbina, che è attaccato al sistema di turbine. Le turbine sono di nuovo alloggiate in un'altra camera che riceve il vapore dalla camera del vapore e restituisce il vapore come acqua alla camera del vapore con dei tubi. Una torre di raffreddamento è mostrata vicino al sistema di turbine, che fornisce acqua fredda in tubi al sistema di turbine per raffreddare il vapore di nuovo in acqua.

Figura 3. Schema di un reattore nucleare ad acqua pressurizzata e delle turbine a vapore che convertono il lavoro in energia elettrica. Lo scambio di calore è usato per generare vapore, in parte per evitare la contaminazione dei generatori con la radioattività. Si usano due turbine perché questo è meno costoso che far funzionare un singolo generatore che produce la stessa quantità di energia elettrica. Il vapore viene condensato a liquido prima di essere restituito allo scambiatore di calore, per mantenere bassa la pressione del vapore in uscita e favorire il flusso di vapore attraverso le turbine (equivalente all’uso di un serbatoio freddo a bassa temperatura). La considerevole energia associata alla condensazione deve essere dissipata nell’ambiente locale; in questo esempio, viene usata una torre di raffreddamento in modo che non ci sia un trasferimento diretto di calore all’ambiente acquatico. (Si noti che l’acqua che va alla torre di raffreddamento non entra in contatto con il vapore che scorre sulle turbine.)

Strategia

Siccome le temperature sono date per i serbatoi caldi e freddi di questo motore termico, {Eff}_{{\testo{C}}=1-\frac{T_{\testo{c}}}{T_{\testo{h}}} può essere usato per calcolare il rendimento di Carnot (massimo teorico). Queste temperature devono prima essere convertite in kelvin.

Soluzione

Le temperature del serbatoio caldo e freddo sono date come 300ºC e 27.0ºC, rispettivamente. In kelvin, quindi, Th = 573 K e Tc = 300 K, in modo che l’efficienza massima è \displaystyle{Eff}_{{{\testo{C}}=1-\frac{T_{\testo{\testo{\testo{\testo{\testo{\testo{\testo{\tutto}}}.

Così,

{begin{array}{lll}{Eff}_{{\testo{C}}&=&1-\frac{300\testo{ K}{573\testo{ K}}{&=&0.476{ testo, o 47.6{fine {array}

Discussione

L’efficienza effettiva di una tipica centrale nucleare è di circa il 35%, un po’ meglio di 0.7 volte il valore massimo possibile, un tributo all’ingegneria superiore. Le centrali elettriche alimentate a carbone, petrolio e gas naturale hanno un’efficienza reale maggiore (circa il 42%), perché le loro caldaie possono raggiungere temperature e pressioni più elevate. La temperatura del serbatoio freddo in una qualsiasi di queste centrali è limitata dall’ambiente locale. La figura 4 mostra (a) l’esterno di una centrale nucleare e (b) l’esterno di una centrale a carbone. Entrambi hanno torri di raffreddamento in cui l’acqua del condensatore entra nella torre vicino alla cima e viene spruzzata verso il basso, raffreddata dall’evaporazione.

La parte a mostra una fotografia di una centrale nucleare operativa in vista notturna. Ci sono strutture a forma di cupola che ospitano materiale radioattivo e si vede che i vapori provengono da due torri di raffreddamento. La parte b mostra una fotografia di una centrale elettrica a carbone. Sono mostrate diverse enormi torri di raffreddamento.

Figura 4. (a) Una centrale nucleare (credito: BlatantWorld.com) e (b) una centrale a carbone. Entrambe hanno torri di raffreddamento in cui l’acqua evapora nell’ambiente, rappresentando Qc. Il reattore nucleare, che fornisce Qh, è alloggiato all’interno degli edifici di contenimento a forma di cupola. (credit: Robert & Mihaela Vicol, publicphoto.org)

Siccome tutti i processi reali sono irreversibili, l’efficienza effettiva di un motore termico non potrà mai essere grande come quella di un motore di Carnot, come illustrato nella figura 5a. Anche con il miglior motore termico possibile, ci sono sempre processi dissipativi nelle apparecchiature periferiche, come i trasformatori elettrici o le trasmissioni delle automobili. Questi riducono ulteriormente l’efficienza complessiva convertendo parte del lavoro prodotto dal motore di nuovo in trasferimento di calore, come mostrato nella Figura 5b.

La parte a del diagramma mostra un motore a combustione rappresentato come un cerchio per confrontare l'efficienza dei motori reali e di Carnot. Il serbatoio caldo è una sezione rettangolare sopra il cerchio mostrato alla temperatura T sub h. Un serbatoio freddo è mostrato come una sezione rettangolare sotto il cerchio alla temperatura T sub c. Il calore Q sub h entra nel motore termico come mostrato da una freccia in grassetto. Per un motore reale una piccola parte di esso è mostrata essere espulsa come uscita dal motore mostrata come una freccia in grassetto che lascia il cerchio e per un motore di Carnot una parte più grande di esso è mostrata uscire come lavoro mostrato da una freccia tratteggiata che lascia il cerchio. Il calore rimanente è mostrato essere restituito al serbatoio freddo come mostrato dalla freccia in grassetto verso di esso per i motori reali e relativamente meno calore è dato dal motore di Carnot mostrato da una freccia tratteggiata. La parte b del diagramma mostra un motore a combustione interna rappresentato come un cerchio per studiare l'attrito e altri processi dissipativi nei meccanismi di uscita di un motore termico. Il serbatoio caldo è una sezione rettangolare sopra il cerchio mostrato alla temperatura T sub h. Un serbatoio freddo è mostrato come una sezione rettangolare sotto il cerchio alla temperatura T sub c. Il calore Q sub h entra nel motore termico come mostrato da una freccia in grassetto, il lavoro W è prodotto come output, mostrato in uscita dal sistema, e il calore rimanente Q sub c e Q sub f sono restituiti al serbatoio freddo come mostrato da frecce in grassetto verso di esso. Q sub f è il calore dovuto all'attrito. Il lavoro fatto contro l'attrito va come calore Q sub f al serbatoio freddo.

Figura 5. I veri motori termici sono meno efficienti dei motori di Carnot. (a) I motori reali usano processi irreversibili, riducendo il trasferimento di calore a lavoro. Le linee solide rappresentano il processo reale; le linee tratteggiate sono ciò che farebbe un motore di Carnot tra gli stessi due serbatoi. (b) L’attrito e altri processi dissipativi nei meccanismi di uscita di un motore termico convertono parte della sua produzione di lavoro in trasferimento di calore all’ambiente.

Sommario della sezione

Il ciclo di Carnot è un ciclo teorico che è il processo ciclico più efficiente possibile. Qualsiasi motore che utilizza il ciclo di Carnot, che utilizza solo processi reversibili (adiabatici e isotermici), è noto come un motore di Carnot.
Qualsiasi motore che utilizza il ciclo di Carnot gode della massima efficienza teorica.
Mentre i motori di Carnot sono motori ideali, in realtà, nessun motore raggiunge la massima efficienza teorica di Carnot, poiché i processi dissipativi, come l’attrito, hanno un ruolo. I cicli di Carnot senza perdita di calore possono essere possibili allo zero assoluto, ma questo non è mai stato visto in natura.

Domande concettuali

Pensate all’uccello che beve all’inizio di questa sezione (Figura 1). Sebbene l’uccello goda della massima efficienza teorica possibile, se lasciato a se stesso nel tempo, l’uccello smetterà di “bere”. Quali sono alcuni dei processi dissipativi che potrebbero far cessare il movimento dell’uccello?
Possono essere impiegati nei motori termici miglioramenti tecnici e dei materiali per ridurre il trasferimento di calore nell’ambiente? Possono eliminare completamente il trasferimento di calore nell’ambiente?
La seconda legge della termodinamica modifica il principio di conservazione dell’energia?

Problemi & Esercizi

1. Un certo motore a benzina ha un rendimento del 30,0%. Quale sarebbe la temperatura del serbatoio caldo per un motore di Carnot che ha questa efficienza, se funziona con una temperatura del serbatoio freddo di 200ºC?

2. Un reattore nucleare raffreddato a gas funziona tra le temperature del serbatoio caldo e freddo di 700ºC e 27,0ºC. (a) Qual è l’efficienza massima di un motore termico che opera tra queste temperature? (b) Trovare il rapporto tra questo rendimento e il rendimento di Carnot di un reattore nucleare standard (trovato nell’esempio 1).

3. (a) Qual è la temperatura del serbatoio caldo di un motore di Carnot che ha un rendimento del 42,0% e una temperatura del serbatoio freddo di 27,0ºC? (b) Quale deve essere la temperatura del serbatoio caldo per un vero motore termico che raggiunge lo 0,700 dell’efficienza massima, ma ha ancora un’efficienza del 42,0% (e un serbatoio freddo a 27,0ºC)? (c) La tua risposta implica limiti pratici all’efficienza dei motori a benzina per auto?

4. Le locomotive a vapore hanno un’efficienza del 17,0% e operano con una temperatura del vapore caldo di 425ºC. (a) Quale sarebbe la temperatura del serbatoio freddo se questo fosse un motore di Carnot? (b) Quale sarebbe la massima efficienza di questa locomotiva a vapore se la temperatura del suo serbatoio freddo fosse di 150ºC? Le macchine a vapore pratiche utilizzano vapore a 450ºC, che viene poi scaricato a 270ºC. (a) Qual è il rendimento massimo che può avere un tale motore termico? (b) Poiché il vapore a 270ºC è ancora abbastanza caldo, un secondo motore a vapore viene talvolta fatto funzionare utilizzando lo scarico del primo. Qual è l’efficienza massima del secondo motore se il suo scarico ha una temperatura di 150ºC? (c) Qual è l’efficienza complessiva dei due motori? (d) Mostrare che questo è lo stesso rendimento di un singolo motore di Carnot che funziona tra 450ºC e 150ºC.

6. Una centrale elettrica a carbone ha un rendimento del 38%. La temperatura del vapore in uscita dalla caldaia è di \testo{550}. Quale percentuale del rendimento massimo ottiene questa centrale? (Supponiamo che la temperatura dell’ambiente sia di \testo{20}{20}{basculine} .)

7. Sareste disposti a sostenere finanziariamente un inventore che sta commercializzando un dispositivo che sostiene di avere 25 kJ di trasferimento di calore a 600 K, ha un trasferimento di calore all’ambiente a 300 K, e fa 12 kJ di lavoro? Spiega la tua risposta.

8. Risultati irragionevoli (a) Supponi di voler progettare un motore a vapore che abbia il trasferimento di calore all’ambiente a 270ºC e abbia un’efficienza di Carnot di 0,800. Quale temperatura del vapore caldo dovete usare? (b) Cosa c’è di irragionevole nella temperatura? (c) Quale premessa è irragionevole?

9. Risultati irragionevoli Calcolare la temperatura del serbatoio freddo di un motore a vapore che usa vapore caldo a 450ºC e ha un’efficienza di Carnot di 0,700. (b) Cosa c’è di irragionevole nella temperatura? (c) Quale premessa è irragionevole?

Glossario

Ciclo di Carnot: un processo ciclico che utilizza solo processi reversibili, i processi adiabatici e isotermici

Motore di Carnot: un motore termico che utilizza un ciclo di Carnot

Efficienza di Carnot: il massimo rendimento teorico per un motore termico

Soluzioni selezionate di problemi & Esercizi

1. 403ºC

3. (a) 244ºC; (b) 477ºC; (c)Sì, poiché i motori delle automobili non possono scaldarsi troppo senza surriscaldarsi, la loro efficienza è limitata.

5. (a) {\mathit{\text{Eff}}}_{\text{1}}=1-\frac{{T}_{\text{c,1}}}{{T}_{\text{h,1}}}=1-\frac{\text{543 K}}{\text{723 K}}=0\text{.}\text{249}\text{ or }\text{24}\text{.b) {3418>(b) {mathit{{text{Eff}}}_{2}=1-{frac{{text{423 K}}{{text{543 K}}=0{text{.}text{221}{ o {text{22}{text{.}}1\%\\

(c) {\mathit{\text{Eff}}}_{1}=1-\frac{{T}_{\text{c,1}}}{{T}_{\text{h,1}}}\Rightarrow{T}_{\text{c,1}}={T}_{\text{h,1}}\left(1,-,{\mathit{\text{eff}}}_{1}\right)\text{similarly, }{T}_{\text{c,2}}={T}_{\text{h,2}}\left(1-{\mathit{\text{Eff}}}_{2}\right)\\

using Th,2 = Tc,1 in above equation gives

\begin{array}{l}{T}_{\text{c,2}}={T}_{\text{h,1}}\left(1-{Eff}_{1}\right)\left(1-{Eff}_{2}\right)\equiv{T}_{\text{h,1}}\left(1-{Eff}_{\text{overall}}\right)\\\therefore\left(1-{Eff}_{\text{overall}}\right)=\left(1-{\mathit{\text{Eff}}}_{1}\right)\left(1-{Eff}_{2}\right)\\{Eff}_{\text{overall}}=1-\left(1-0.249\destra)\sinistra(1-0.221\destra)=41.5%\fine{array}

(d) {\text{Eff}}_{{text{overall}}=1-{frac{text{423 K}}{{text{723 K}}=0{text{415} o{text{41}{text{5}%\frac}

7. Il trasferimento di calore al serbatoio freddo è {Q}_{testo{c}}={Q}_{testo{h}}-W={testo{25}{testo{kJ}-{testo{12}{testo{kJ}={testo{13}{testo{kJ}, so the efficiency is \mathit{Eff}=1-\frac{{Q}_{\text{c}}}{{Q}_{\text{h}}}=1-\frac{\text{13}\text{kJ}}{\text{25}\text{kJ}}=0\text{.48. The Carnot efficiency is {\mathit{\text{Eff}}}_{\text{C}}=1-\frac{{T}_{\text{c}}}{{T}_{\text{h}}}=1-\frac{\text{300}\text{K}}{\text{600}\text{K}}=0\text{.}\text{50}\\. L’efficienza effettiva è il 96% dell’efficienza di Carnot, che è molto più alta del migliore mai raggiunto di circa il 70%, quindi il suo schema è probabilmente fraudolento.

9. (a) -56,3ºC (b) La temperatura è troppo fredda per la potenza di un motore a vapore (l’ambiente locale). È sotto il punto di congelamento dell’acqua. (c) L’efficienza presunta è troppo alta.

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