Le spirali sono classificate dalla relazione matematica tra la lunghezza r del vettore raggio, e l’angolo del vettore q, che è fatto con l’asse x positivo. Alcune delle più comuni includono la spirale di Archimede, la spirale logaritmica, la spirale parabolica e la spirale iperbolica.
La più semplice di tutte le spirali fu scoperta dall’antico matematico greco Archimede di Siracusa (287-212 a.C.). La spirale di Archimede è conforme all’equazione r = a θ, dove r e θ rappresentano le coordinate polari del punto tracciato al variare uniforme della lunghezza del raggio a. In questo caso, r è proporzionale a θ.
La spirale logaritmica, o equiangolare, fu suggerita per la prima volta da Rene Descartes (1596-1650) nel 1638. Un altro matematico, Jakob Bernoulli (1654-1705), che ha dato importanti contributi al tema della probabilità, è anche accreditato con la descrizione di aspetti significativi di questa spirale. Una spirale logaritmica è definita dall’equazione r = ea θ, dove e è la costante logaritmica naturale, r e θ rappresentano le coordinate polari, e a è la lunghezza del raggio che cambia. Queste spirali sono simili a un cerchio perché incrociano i loro raggi con un angolo costante. Tuttavia, a differenza di un cerchio, l’angolo in cui i suoi punti attraversano i raggi non è un angolo retto. Inoltre, queste spirali sono diverse da un cerchio in quanto la lunghezza dei raggi aumenta, mentre in un cerchio, la lunghezza del raggio è costante. Esempi di spirale logaritmica si trovano in tutta la natura. Il guscio di un Nautilus e i modelli di semi di girasole hanno entrambi la forma di una spirale logaritmica.
Una spirale parabolica può essere rappresentata dall’equazione matematica r2 = a2 θ. Questa spirale scoperta da Bonaventura Cavalieri (1598-1647) crea una curva comunemente nota come parabola. Un’altra spirale, la spirale iperbolica, è conforme all’equazione r = a/ θ.
Un altro tipo di curva simile a una spirale è un’elica. Un’elica è come una spirale in quanto è una curva fatta ruotando intorno ad un punto ad una distanza sempre maggiore. Tuttavia, a differenza delle curve bidimensionali piane di una spirale, un’elica è una curva spaziale tridimensionale che si trova sulla superficie di un cilindro. I suoi punti sono tali che fa un angolo costante con le sezioni trasversali del cilindro. Un esempio di questa curva è la filettatura di un bullone.