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不可能性から可能性へ

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アローの不可能性定理は、アローの公理群を満たす選挙手続きは独裁政治を除いて存在しない、という悲惨な状況を提示しています。 これは、民主主義に欠陥があり、独裁が唯一の合理的な政府の形態であることを意味するものではありません。 もしアローの公理が厳しすぎて、どの選挙手続きも公理を満たさないのであれば、公理のセットを小さくするか、あるいは別の基準で、選挙手続きを比較することができるだろう–「最良の」手続きを見つけるという目的では。 最良」の定義は、その手続きにおいてどのような特性が望ましいかに関連している。 以下は、どの手順が「最善」であるかという結論を得るために、選挙手順を評価するために使用された基準のリストである。 1785年、マリー＝ジャン＝アントワーヌ＝ニコラ・ド・カリタ・コンドルセ（コンドルセ侯爵）は、ボルダ数には欠陥があり、真っ向勝負で他のすべての候補を破った候補が選ばれるとは限らない、と主張した。 コンドルセは、すべての候補者の組の間の選挙で何が起こるかを考え、別の方法で多数決を一般化した。 5人の有権者が4人の候補者A、B、C、Dに順位をつける次のような例を考えてみよう。

1
1
1
1
1
A
b
d
a
c
a
c
b
a
d
d
c
B
A
C
B

上記のプリファレンスデータの場合です。 2人の候補者の直接対決の場合、有権者数が奇数であるため、一方が他方より多くの票を獲得しなければならない。 例えば、DがAに勝つのは、AよりDを好む有権者が3人（上記2、3、4欄の有権者）、DよりAを好む有権者は2人（上記1、5欄の有権者）しかいないからである。 同様の計算により、二人一組の争いではDがA、B、Cに勝つことを示すことができる。 コンドルセは、多数決のもとでの直接選挙で他の候補者をそれぞれ打ち負かす候補者を選出すべきであると主張した。 このような候補者を “コンドルセ勝者 “と呼ぶ。 上記の例の頭脳戦の選挙データは以下の通りである。

＜7090>

b

となる。

d
a
–
d
–
d
c
3
2
–
3
2
–
3
2
–
—
—
—
—
—
—
–
a
b
–
a
c
–
b
c
4
1

。

–
1
4
–
2
3

The Borda Count May Not Elect Elect Condorcet Winner
コンドルセは、ボルダカウントが必ずしもコンドルセの勝者を選出するとは限らないので、欠陥があると考えたのである。 上記の5人の投票者の例（投票者の好みが候補者A、B、C、Dである）がその証拠である。 Bordaカウントの投票ベクトルは、選好の左側に書かれている。

b>
Borda
–
–
–
count
1
–
1
1
1
1
3
A
B
D
A
D
2
c
a
c
b
a
1
d
d
c
d
c
0
b
d
c
A
B
C

候補者 A． B、C、Dはそれぞれ10点、5点、6点、9点です。 したがって、ボルダ数では、コンドルセ当選者のDに対して、Aが当選する。

Aの点数。 2*3 + 3*2 + 0*1 + 1*0 = 10 Bの点数。 1*3 + 1*2 + 0*1 + 3*0 = 5
Cの点数。 0*3 + 2*2 + 2*1 + 1*0 = 6 Dの点数。 2*3 + 0*2 + 3*1 + 0*0 = 9

残念ながらコンドルセ勝者が常に存在するとは限りません。 (コンドルセ勝者が存在する場合に、常にその勝者を選ぶような選挙手続きは “コンドルセ基準 “を満たしている。 多くの数学者や投票理論家がコンドルセ基準を満たす手続きを提案しており、イギリスの数学者チャールズ・ドジスンもその一人である。 ドジソンはケンブリッジ大学クライストチャーチで数学の講師をしていたが、『不思議の国のアリス』の作者ルイス・キャロルのペンネームでよく知られている。

Condorcet Cycle
次の例は、コンドルセ勝者が存在しない「コンドルセサイクル」の最も単純な例である。 候補者A、B、Cを以下のように順位付けした3人の投票者がいるとする。

では

1
1
a
c
b
B
A
C
C
B
A

in head-u…AとBの一騎打ちの選挙。 多数決の場合、3票のうち2票を獲得したAが勝利する。 BとCの直接対決では、Bが2対1の差で勝つ。 最終的に、Aは同じ2対1の結果でCに勝利する。

a
b
–
b
c
–
a
2
–
1
—
2
1
—
2
1

これは、対のコンテストでは、コンドルセサイクルとして知られています。 AがBを倒し、CがAを倒し、それがAを倒す。

Ease of Use and Easily Understand
選挙手続きは、有権者が自分の好みを候補者に正確に反映できるように、簡単に使えるものでなければならない。 さらに、選挙手続きは、選挙結果に対する信頼が得られるように、有権者が容易に理解できるものであるべきである。 もし「最良の」選挙手続きが、使うにも理解するにも複雑すぎるなら、数学がその手続きを「最良」と洗礼したかどうかにかかわらず、選挙民は選挙結果を信用しないかもしれない。

例えば、候補者の数が増えるにつれ、ほとんどの選挙手続きで要求されるように、有権者がすべての候補者を順位付けできると仮定することは現実的ではないかもしれない（「投票の方法」参照）。 承認投票がBramsとFishburnによって支持されているのは、候補者を「承認」するか「不承認」するかを決めるだけでよく、理解しやすいという理由もある。 また、承認投票には自由度が高すぎるという意見もある。 1974>

Least Manipulable
選挙手続きの目的は、民意を反映した結果を決定することである。 有権者は候補者の本当の順位を偽って、選挙結果を良くするように影響を与えることができるので（例えば、自分の第一候補が世論調査で大きく遅れているときに、第二候補に投票する）、「最良の」選挙手続きは有権者が自分の好みを偽って良い結果を得ることを防ぐことができる。 投票理論では、このような性質を “strategyproof “と呼んでいる。 つまり、有権者が戦略的に投票して自分の選好を誤魔化すことが決してないのであれば、選挙手続きは戦略的であると言えるのである。 そのような戦略性のない手続きはあるのだろうか？

同時発見！

Allan Gibbard と Mark Satterthwaite は、後に Gibbard-Satterthwaite Theorem として知られる、「独裁政治以外では、3人以上の候補者による選挙に戦略性のない手続きは存在しない」ということを独自に証明している。 ギバードは1973年にこの結果を論文で発表している。 サタースウェイトの貢献は、ウィスコンシン大学での博士論文の一部であった。 しかし、Gibbardの論文が受理されていたため、Satterthwaiteは博士論文の結果をそのまま発表することができなかった。 彼は、1975年にこの結果をアローの定理と結びつけたものを発表している。


Mark Satterthwaite
参考文献は「参考文献とリンク」を参照。

アローのような結果で、アラン・ギバードとマーク・サタースウェイトは、3人以上の候補者のための唯一の戦略的に安全な選挙手続きは独裁制であることを示した! 彼らの研究は1970年代に互いに独立して行われた。

すべての非独裁的な選挙手続きは戦略的投票の影響を受けやすいので、次の問題は戦略的投票が役に立つ可能性を最小化する手続きがあるかどうかを決定することである。 カリフォルニア大学アーバイン校のドナルド・G・サーリ（Donald G. Saari）はこの問いに答えました。 彼は、ボルダカウントが、嗜好の誤魔化しや戦略的投票が有益に使われる可能性を最小にすることを証明した。

決定的な答え？
3人以上の候補者がいる選挙では、何が最良の手続きであるかという明確な答えがない。 その答えは相対的なものです。 最良の手順は、文脈 (たとえば、候補者の数) や、選挙でどの特性が重要であるとみなされるかに依存します。 確かなことは、どの選挙手続きを使うかについて投票してはいけないということです！

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