等しい球体のクローズパッキング

球体パッキング格子を形成するとき、最初に気づくべき事実は、2つの球体が接触するといつでも、一方の球体の中心から接触点に交差する他方の球体の中心に直線を引くことができることである。したがって、その直線の最短経路に沿った中心間の距離は、r1 + r2（r1は最初の球の半径、r2は2番目の球の半径）となる。クローズパッキングでは、すべての球が共通の半径 r を共有しているので、2つの中心は単純に距離 2r を持つことになる。

Simple hcp latticeEdit

Close-packing lattice generationのアニメーション。注：3層目（図示せず）が1層目の上に直接ある場合、HCP格子が構築されます。

球の A-B-A-B-… 六角形のクローズパッキングを形成するには、格子の座標点は球の中心となります。例えば、hcpに従って箱の中に球を詰めることが目的だとします。箱はx-y-z座標空間上に置かれる。

まず球の列を作る。中心はすべて一直線上にある。接している球体の各中心間の距離は2rなので、そのx座標は2rだけ変化します。 y座標とz座標は同じである。簡単のために、球を1列目とし、そのy座標とz座標を単純にrとすると、その表面はゼロ平面上に乗っていることになる。最初の列の中心の座標は (2r, r, r), (4r, r, r), (6r ,r, r), (8r ,r, r), … .

さて、次の列の球を作る。ここでも中心はすべてx座標の差が2rの直線上にあるが、この列のすべての球の中心が最初の列で二つの球が接したところのx座標と一致するように、x方向に距離rのずれがある。これにより、新しい列の球体は、新しい列のすべての球体が最初の列の2つの球体に接するまで、最初の列に近づくようにスライドすることができます。新しい球体は2つの球体に接しているので、その中心はその2つの隣の球体の中心と正三角形を形成しています。辺の長さはすべて2rなので、列の間の高さまたはy座標の差は√3rです。したがって、この行の座標は次のようになります：

( r , r + 3 r , r ) , ( 3 r , r + 3 r , r ) , ( 5 r , r + 3 r , r ) , ( 7 r , r + 3 r , r ) , … …. {ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

$\left(r,r+{cssqrt {3}}r,rŏ), \left(3r,r+{cssqrt {3}}r,rŏ),\left(5r,r+{cssqrt {3}}r,rŏ), \dots .$

この列の最初の球は元の列の球に1つだけ接していますが、その位置は他の列と同じです。

次の列もこのパターンでx座標をrだけ、y座標を√3だけシフトしています。 3885>

A-B-A-B-…の積層パターンでは、球体の奇数面はz座標のピッチ差を除いてまったく同じ座標になり、球体の偶数面は同じx座標とy座標を共有することになります。どちらの面も上記のパターンで形成されますが、1列目の最初の球体のスタート位置が異なります。

上記の面番号1、A面として正確に記述した面を使用して、A面の3つの球体に接するようにこの面の上に球体を配置するのです。 3つの球体はすでにすべて接しており正三角形を形成しているが、新しい球体にすべて接しているので、4つの中心は正四面体を形成している。すべての辺は2つの球体が接して形成されているので、すべての辺は2rに等しい。その高さ、つまり2つの「面」のz座標の差は√6r2/3である。これとx,y座標のオフセットを組み合わせると、B平面上の最初の行の中心が得られます：

( r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 3 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 5 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 7 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ), … …. {ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ\ ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ。}

$୧left(r,r+{frac {{してやったり}{3}},r+{してやったり}{6}r2}{3}}right),┣┣(3r,r+{frac {/}r}{3}},r+{frac {/}r2}{3}}right)┣┣┣(6}r2}{3}}┣は$

2行目の座標は、最初に説明したパターンで、次のようになります：

( 2 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 4 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 6 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 8 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ・・・・・・。 {ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ\ ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ。}

$୧left(2r,r+{Copyright {4{Copyright {3}r}}},r+{Copyright {6}r2}}),\left(4r,r+{Copyright {4{Copyright {3}r}}},r+{Copyright {6}r2}}邸),\ ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ。$

次の平面であるA面との差は、再びz方向に√6r2/3、x、yは最初のA面のそれらのx、y座標に一致するようにシフトします。

一般に球心の座標は次のように書ける。

2 6 3 k ] r {displaystyle {begin{bmatrix}2i+((j + } k){}bmod {2})\{sqrt {3}}left {2{sqrt {6}}{3}}kend{bmatrix}}r}。

${displaystyle {}begin{bmatrix}2i+((j} + k){}bmod {2})\{sqrt {3}}left {2{sqrt {6}}}kend{bmatrix}r}$