Definitie

Een polynoom in de variabele x is een functie die kan worden geschreven in de vorm,

waar an, an-1 , …, a2, a1, a0 constanten zijn. We noemen de term die de hoogste macht van x bevat (dus anxn) de leidende term, en we noemen an de leidende coëfficiënt. De graad van de polynoom is de macht van x in de leidende term. We hebben al polynomen van graad 0, 1 en 2 gezien, die respectievelijk de constante, lineaire en kwadratische functies waren. Graad 3, 4, en 5 veeltermen hebben ook speciale namen: kubische, kwartische, en kwintische functies. Veeltermen met graad n > 5 worden gewoon veeltermen van de n-de graad genoemd. De namen van de verschillende polynoomfuncties zijn samengevat in de tabel hieronder.

Graad van de veelterm	Naam van de functie
0	Contstante functie
1	Lineaire functie
2	Quadratische functie
3	Kubische functie
4	Kwartische functie
5	Kwintische functie
n (waarbij n > 5)	n-de graad polynoom

Een aantal voorbeelden van polynomen zijn:

Het begrenzende gedrag van veeltermen

Het begrenzende gedrag van een functie beschrijft wat er met de functie gebeurt als x → ±∞. De graad van een polynoom en het teken van zijn voorloopcoëfficiënt bepalen het begrenzende gedrag. In het bijzonder

Deze resultaten zijn samengevat in de tabel hieronder.

U kunt deze informatie gebruiken om te bepalen of een veelterm een oneven of even graad heeft en of de leidende coëfficiënt positief of negatief is, eenvoudig door de grafiek te inspecteren.

De volgende grafieken van veeltermen zijn een voorbeeld van elk van de gedragingen die in de bovenstaande tabel zijn beschreven.

Wortels en keerpunten

De graad van een polynoom vertelt u nog meer dan het begrenzende gedrag. Meer bepaald, een polynoom van de n-de graad kan hoogstens n reële wortels (x-uiteinden of nulpunten) hebben, vermenigvuldigingsfactoren meegerekend. Bijvoorbeeld, stel dat we kijken naar een veelterm van de 6e graad die 4 verschillende wortels heeft. Als twee van de vier wortels multipliciteit 2 hebben en de andere 2 multipliciteit 1, dan weten we dat er geen andere wortels zijn omdat we met alle 6 de wortels rekening hebben gehouden. Dit komt omdat de wortels met een multipliciteit van twee (ook bekend als dubbele wortels) worden geteld als twee wortels.

Bedenk dat een polynoom van de n-de graad niet n echte wortels hoeft te hebben – het kunnen er minder zijn omdat het denkbeeldige wortels heeft. Merk op dat een veelterm van oneven graad ten minste één reele wortel moet hebben omdat de functie aan het ene uiteinde – ∞ benadert en aan het andere uiteinde + ∞; een continue functie die van negatief naar positief gaat moet de x-as ergens daartussen snijden. Bovendien kan een polynoom van de n-de graad hoogstens n – 1 keerpunten hebben. Een omslagpunt is een punt waarop de functie overgaat van toenemend naar afnemend of van afnemend naar toenemend, zoals te zien is in onderstaande figuur. Nogmaals, een polynoom van de n-de graad hoeft niet n – 1 keerpunten te hebben, het kunnen er minder zijn.

Note of Caution

Het is belangrijk om het verschil tussen even en oneven functies en even en oneven graad polynomen te beseffen. Elke functie, f(x), is even als,

f(-x) = x,

voor alle x in het domein van f(x), of oneven als,

f(-x) = -x,

voor alle x in het domein van f(x), of noch even noch oneven als geen van beide bovenstaande beweringen waar zijn.

Een polynoom van de k-de graad, p(x), heeft een even graad als k een even getal is en een oneven graad als k een oneven getal is. Bedenk dat zelfs als p(x) een even graad heeft, het niet noodzakelijk een even functie is. Evenzo, als p(x) oneven graad heeft, is het niet noodzakelijk een oneven functie.

We gebruiken de termen even en oneven ook om wortels van polynomen te beschrijven. Meer bepaald, een veelterm p(x) heeft wortel x = a van multipliciteit k (d.w.z. x = a is een wortel die k keer herhaald wordt) als (x – a)k een factor is van p(x). We zeggen dat x = a even multipliciteit heeft als k een even getal is en oneven multipliciteit als k een oneven getal is.

Domein en bereik

Alle polynomen hebben hetzelfde domein dat bestaat uit alle reële getallen. Het bereik van even graad veeltermen bestaat ook uit alle reële getallen. Het bereik van even graad veeltermen is iets ingewikkelder en we kunnen het bereik van alle even graad veeltermen niet expliciet noemen. Als de hoofdcoëfficiënt positief is, zal de functie zich uitstrekken tot + ∞; als de hoofdcoëfficiënt negatief is, zal de functie zich uitstrekken tot – ∞. Dit betekent dat polynomen van gelijke graad met positieve hoofdcoëfficiënt een bereik hebben waarbij ymax het globale maximum is dat de functie bereikt. In het algemeen is het niet mogelijk de maxima of minima van veeltermen analytisch te bepalen.

*****

In de volgende sectie leert u polynoom deling, een techniek die gebruikt wordt om de wortels van polynoom functies te vinden.

Polynoom deling