Bij de vorming van een rooster van bollen is het eerste feit dat wanneer twee bollen elkaar raken een rechte lijn getrokken kan worden van het middelpunt van de ene bol naar het middelpunt van de andere bol die het raakpunt snijdt. De afstand tussen de middelpunten langs het kortste pad van die rechte lijn zal dus r1 + r2 zijn, waarbij r1 de straal van de eerste bol is en r2 de straal van de tweede. In close packing hebben alle bollen een gemeenschappelijke straal, r. Daarom zouden twee middelpunten eenvoudigweg een afstand 2r.
Simple hcp latticeEdit
Om een A-B-A-B-… zeshoekige dichte verpakking van bollen te vormen, zullen de coördinaatpunten van het raster de middelpunten van de bollen zijn. Stel, het doel is om een doos te vullen met bollen volgens hcp. De doos zou worden geplaatst op de x-y-z coördinatenruimte.
Vorm eerst een rij bollen. De middelpunten zullen allen op een rechte lijn liggen. Hun x-coördinaat zal met 2r variëren omdat de afstand tussen elk middelpunt van de bollen die elkaar raken 2r is. De y-coördinaat en de z-coördinaat zullen gelijk zijn. Voor het gemak zeggen we dat de bollen de eerste rij vormen en dat hun y- en z-coördinaten eenvoudig r zijn, zodat hun oppervlakten op de nul-vlakken rusten. De coördinaten van de middelpunten van de eerste rij zien er dan uit als (2r, r, r), (4r, r, r), (6r ,r, r), (8r ,r, r), … .
Nu vormen we de volgende rij bollen. Ook nu liggen alle middelpunten op een rechte lijn met x-coördinaatverschillen van 2r, maar er is een verschuiving van afstand r in de x-richting, zodat het middelpunt van elke bol in deze rij op één lijn ligt met de x-coördinaat van het raakpunt van twee bollen in de eerste rij. Hierdoor schuiven de bollen van de nieuwe rij dichter naar de eerste rij toe totdat alle bollen van de nieuwe rij twee bollen van de eerste rij raken. Omdat de nieuwe bollen twee bollen raken, vormen hun middelpunten een gelijkzijdige driehoek met de middelpunten van die twee buren. De zijden zijn alle 2r, dus het hoogte- of y-coördinaatverschil tussen de rijen is √3r. Deze rij zal dus de volgende coördinaten hebben:
( r , r + 3 r , r ) , ( 3 r , r + 3 r , r ) , ( 5 r , r + 3 r , r ) , ( 7 r , r + 3 r , r ) , … . {\left(r,r+{\sqrt {3}}r,rrechts),\left(3r,r+{\sqrt {3}}r,rrechts),\left(5r,r+{\sqrt {3}r,rrechts),\left(7r,r+{\sqrt {3}}r,rrechts),\left(7r,r+{\left {3}r,rrechts),\dots .}
De eerste bol van deze rij raakt slechts één bol van de oorspronkelijke rij, maar de plaats ervan volgt de rest van de rij.
De volgende rij volgt dit patroon van verschuiving van de x-coördinaat met r en de y-coördinaat met √3. Voeg rijen toe tot de x- en y-maximumgrenzen van de doos zijn bereikt.
In een A-B-A-B-… stapelpatroon zullen de oneven genummerde vlakken van bollen precies dezelfde coördinaten hebben op een steekverschil in de z-coördinaten na, en de even genummerde vlakken van bollen zullen dezelfde x- en y-coördinaten hebben. Beide soorten vlakken worden gevormd volgens het hierboven genoemde patroon, maar de startplaats voor de eerste bol van de eerste rij zal anders zijn.
Gebruik makend van het vlak dat hierboven precies beschreven is als vlak #1, het A-vlak, plaats je een bol bovenop dit vlak, zodat het ligt rakend aan drie bollen in het A-vlak. De drie bollen raken elkaar al en vormen een gelijkzijdige driehoek, en omdat ze allemaal de nieuwe bol raken, vormen de vier middelpunten een regelmatig tetraëder. Alle zijden zijn gelijk aan 2r omdat alle zijden gevormd worden door twee elkaar rakende bollen. De hoogte waarvan of het z-coördinaatverschil tussen de twee “vlakken” is √6r2/3. Dit, gecombineerd met de offsets in de x- en y-coördinaten geeft de middelpunten van de eerste rij in het B-vlak:
( r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 3 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 5 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 7 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , … . {\left(r,r+{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\sqrt {6}}r2}{3}} rechts),\left(3r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}} rechts),\left(5r,r+{\sqrt {3}}{3}},r+{\sqrt {6}}r2}{3}}right),\left(7r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {6}}r2}{3}}right),\dots .}
De coördinaten van de tweede rij volgen het hierboven beschreven patroon en zijn:
( 2 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 4 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 6 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 8 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , … . {\left(2r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}}rechts),\left(4r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}rechts),\left(6r,r+{\frac {4{\sqrt {3}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}right),\left(8r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}right),\dots .}
Het verschil met het volgende vlak, het A-vlak, is weer √6r2/3 in de z-richting en een verschuiving in de x- en y-richting om overeen te komen met die x- en y-coördinaten van het eerste A-vlak.
In het algemeen kunnen de coördinaten van de middelpunten van de bol geschreven worden als:
2 6 3 k ] r {{\begin{bmatrix}2i+((j\ + k){\bmod {2}})\{\sqrt {3}} links}{\frac {2{\sqrt {6}}{3}}k einde{bmatrix}}r}
