De onmogelijkheidstheorie van Arrow laat een nijpende situatie zien: geen enkele verkiezingsprocedure voldoet aan de reeks axioma’s van Arrow, behalve een dictatuur. Dit betekent niet dat de democratie gebrekkig is en dat een dictatuur de enige redelijke regeringsvorm is. Als de axioma’s van Arrow te streng zijn en geen enkele verkiezingsprocedure aan de axioma’s voldoet, dan kunnen ofwel met een kleinere set axioma’s ofwel met een andere set criteria verkiezingsprocedures vergeleken worden – met als doel een “beste” procedure te vinden. De definitie van “beste” is relatief ten opzichte van de eigenschappen die wenselijk zijn in de procedure. Hieronder volgt een lijst van criteria die sommigen hebben gebruikt om verkiezingsprocedures te evalueren en zo tot hun conclusie te komen welke procedure(s) “de beste” is/zijn.”
Condorcet Winner

In 1770 stelde Jean Charles de Borda voor om de Borda-telling te gebruiken om de toelating tot de Franse Academie van Wetenschappen te bepalen. In 1785 betoogde Marie-Jean-Antoine-Nicolas de Caritat Condorcet (de Markies du Condorcet) dat de Borda-telling ondeugdelijk was omdat niet noodzakelijkerwijs een kandidaat werd gekozen die in een rechtstreekse verkiezing alle andere kandidaten versloeg. Condorcet overwoog wat er zou gebeuren bij verkiezingen tussen alle paren van kandidaten en veralgemeende de meerderheidsregel op een andere manier. Neem het volgende voorbeeld waarin vijf kiezers de vier kandidaten A, B, C, en D rangschikken.

Voor de bovenstaande voorkeursgegevens, bij een rechtstreekse verkiezing tussen twee kandidaten moet de ene meer stemmen krijgen dan de andere, omdat het aantal kiezers oneven is. Bijvoorbeeld, D verslaat A, omdat drie kiezers de voorkeur geven aan D boven A (de kiezers wier voorkeuren in de kolommen 2, 3, en 4 hierboven staan) terwijl slechts twee kiezers de voorkeur geven aan A boven D (de kiezers wier voorkeuren in de kolommen 1 en 5 hierboven staan). Vergelijkbare berekeningen kunnen worden gebruikt om aan te tonen dat D A, B, en C verslaat in paarsgewijze wedstrijden. Condorcet stelde dat een kandidaat die elke andere kandidaat verslaat in rechtstreekse verkiezingen onder de meerderheidsregel moet worden gekozen. Zo’n kandidaat wordt de “Condorcet winnaar” genoemd. De head-to-head verkiezingsgegevens voor het bovenstaande voorbeeld staan hieronder.

De Borda telling kan de Condorcet winnaar niet kiezen
Condorcet beschouwde de Borda telling als gebrekkig omdat het niet noodzakelijk de Condorcet winnaar zou kiezen. Het bovenstaande voorbeeld met vijf kiezers (waarin de voorkeur van de kiezers uitgaat naar de kandidaten A, B, C, en D) levert het bewijs. De Borda-telling stemvector staat links van de voorkeuren.

Kandidaten A, B, C, en D krijgen respectievelijk 10, 5, 6, en 9 punten. A wint dus de verkiezingen volgens de Borda-telling, in tegenstelling tot de Condorcet-winnaar D.

A’s punten: 2*3 + 3*2 + 0*1 + 1*0 = 10 B’s punten: 1*3 + 1*2 + 0*1 + 3*0 = 5
C’s punten: 0*3 + 2*2 + 2*1 + 1*0 = 6 D’s punten: 2*3 + 0*2 + 3*1 + 0*0 = 9

Een Condorcet-winnaar bestaat helaas niet altijd. (Een verkiezingsprocedure die altijd de Condorcet-winnaar kiest als die bestaat, voldoet aan het “Condorcet-criterium”. Veel wiskundigen en stemtheoretici hebben procedures voorgesteld die voldoen aan het Condorcet criterium, waaronder de Engelse wiskundige Charles Dodgson. Hoewel hij wiskundeleraar was aan Christ Church, Cambridge University, is Dodgson beter bekend onder zijn pseudoniem, Lewis Carroll, de auteur van Alice’s Adventures in Wonderland.

Gebruiksgemak en gemakkelijk te begrijpen
Een verkiezingsprocedure moet gemakkelijk te gebruiken zijn, zodat de kiezers hun voorkeuren voor de kandidaten nauwkeurig kunnen weergeven. Verder moet een verkiezingsprocedure gemakkelijk te begrijpen zijn door het electoraat, zodat er vertrouwen is in de verkiezingsuitslag. Als een “beste” verkiezingsprocedure te ingewikkeld is om te gebruiken of te begrijpen, dan zullen de kiezers geen vertrouwen hebben in de verkiezingsuitkomsten, ongeacht of de wiskunde de procedure als “beste” heeft gedoopt of niet.

Bijvoorbeeld, als het aantal kandidaten toeneemt, kan het onpraktisch zijn om aan te nemen dat kiezers alle kandidaten kunnen rangschikken (zie “Hoe te stemmen”), zoals vereist bij de meeste verkiezingsprocedures. Goedkeuringsstemmen werd gedeeltelijk gesteund door Brams en Fishburn omdat het gemakkelijk te begrijpen is en de kiezers enkel moeten beslissen om kandidaten “goed te keuren” of “af te keuren”. Anderen hebben betoogd dat het goedkeuringsstelsel te flexibel is. Ook al kunnen twee kiezers kandidaten op dezelfde manier rangschikken, zij kunnen ze verschillend indelen in de twee categorieën van “goedkeuren” en “afkeuren”, zodat rangordevoorkeuren niet volstaan om een verkiezingsuitslag te bepalen.

Minst manipuleerbaar
Het doel van een verkiezingsprocedure is een uitkomst te bepalen die de wil van het volk weergeeft. Omdat kiezers hun ware rangorde van de kandidaten verkeerd kunnen voorstellen en de uitkomst van een verkiezing zo kunnen beïnvloeden dat het resultaat beter is (zoals stemmen op een kandidaat van de op een na hoogste voorkeur wanneer iemands topkeuze ver achter ligt in de peilingen), zou een “beste” verkiezingsprocedure voorkomen dat kiezers hun voorkeuren verkeerd voorstellen om een beter resultaat te bereiken. In de stemtheorie wordt deze eigenschap “strategiebestendig” genoemd. Dat wil zeggen, een verkiezingsprocedure is strategiebestendig als het nooit in het belang van een kiezer is om strategisch te stemmen en zijn voorkeuren verkeerd weer te geven. Bestaat er zo’n strategiebestendige procedure?

Simultaneous Discovery!

Allan Gibbard en Mark Satterthwaite hebben onafhankelijk van elkaar bewezen wat bekend is geworden als de Gibbard-Satterthwaite Stelling, die stelt dat, anders dan een dictatuur, er geen strategiebestendige procedure is voor verkiezingen tussen drie of meer kandidaten. Gibbard publiceerde een artikel met het resultaat in 1973. Satterthwaite’s bijdrage maakte deel uit van zijn doctoraalscriptie aan de Universiteit van Wisconsin. Hoewel onafhankelijk gedaan en zonder kennis van elkaars werk, kon Satterthwaite het resultaat niet publiceren zoals het in zijn proefschrift stond, omdat Gibbard’s werk voor publicatie was geaccepteerd. Hij publiceerde een versie in 1975, waarin hij het resultaat verbond met de Stelling van Arrow.

Mark Satterthwaite
Zie “Referenties en links” voor bibliografische verwijzingen.

In een Arrow-achtig resultaat toonden Allan Gibbard en Mark Satterthwaite helaas aan dat de enige strategiebestendige verkiezingsprocedure voor drie of meer kandidaten een dictatuur is! Hun werk werd onafhankelijk van elkaar gedaan in de jaren 1970.

Omdat alle niet-dictatoriale verkiezingsprocedures vatbaar zijn voor strategisch stemmen, is een volgende vraag om te bepalen of er een procedure is die de kans minimaliseert dat strategisch stemmen nuttig is. Donald G. Saari, Universiteit van Californië, Irvine, heeft deze vraag gesteld en beantwoord. Hij bewees dat de Borda-telling de kans minimaliseert dat een verkeerde voorstelling van de voorkeuren of strategisch stemmen in het voordeel kan werken.

Een definitief antwoord?
Voor een verkiezing met drie of meer kandidaten is er geen definitief antwoord op de vraag wat de beste procedure is. Het antwoord is relatief. Een beste procedure kan afhangen van de context (b.v. het aantal kandidaten) en van de eigenschappen die voor de verkiezing van belang worden geacht. Eén ding is zeker: stem niet over welke verkiezingsprocedure je moet gebruiken!