UPDATE (14 maart 2019, 13:18 uur): Google heeft donderdag aangekondigd dat een van zijn medewerkers, Emma Haruka Iwao, bijna 9 biljoen nieuwe cijfers van pi had gevonden, waarmee een nieuw record is gevestigd. Mensen hebben het oneindige getal nu berekend tot 31.415.926.535.897 (snap je?) – ongeveer 31,4 biljoen – decimalen. Het is een Pi-Dag wonder!

Vorig publiceerden we een verhaal over het streven van mensen naar de oneindige reeks cijfers van pi. Om Pi-dag te vieren, en de extra 9 biljoen bekende cijfers, hebben we dat verhaal hieronder bijgewerkt.

Afhankelijk van je filosofische opvattingen over tijd en kalenders enzovoort, is het vandaag zo’n beetje de 4,5 miljardste Pi-dag die de aarde heeft meegemaakt. Maar die lange geschiedenis is niets vergeleken met de oneindigheid van pi zelf.

Een opfrisser voor degenen onder u die de wiskundelessen van groep 7 zijn vergeten1: Pi, of de Griekse letter , is een wiskundige constante die gelijk is aan de verhouding van de omtrek van een cirkel tot zijn diameter – C/d. Hij schuilt in elke cirkel, en is gelijk aan ongeveer 3,14. (Vandaar pi-dag, die plaatsvindt op 14 maart, ook wel 3/14 genoemd.)

Maar de eenvoud van de definitie logenstraft de status van pi als het meest fascinerende en best bestudeerde getal in de wereldgeschiedenis. Hoewel het vaak goed genoeg is om pi gelijk te stellen aan 3,14, gaat het getal in werkelijkheid eeuwig door, een schijnbaar willekeurige reeks cijfers die oneindig naar buiten loopt en geen waarneembaar patroon volgt – 3,14159265358979…. Dat komt omdat het een irrationeel getal is, wat betekent dat het niet kan worden weergegeven door een breuk van twee gehele getallen (hoewel benaderingen zoals 22/7 in de buurt kunnen komen).

Maar dat heeft de mensheid er niet van weerhouden om de oneindige berg cijfers van pi snel af te rukken. We zijn er al millennia mee bezig.

Mensen zijn al geïnteresseerd in het getal zo lang we wiskunde begrijpen. De oude Egyptenaren wisten, volgens een document dat toevallig ook ’s werelds oudste verzameling wiskundige puzzels is, dat pi ongeveer 3,1 was. Een millennium of zo later dook een schatting van pi op in de bijbel: Het Oude Testament, in 1 Koningen, lijkt te impliceren dat pi gelijk is aan 3: “En hij maakte een gesmolten zee, tien el van de ene rand tot de andere; zij was rond rondom … en een lijn van dertig el omsloot haar rondom.”

Archimedes, de grootste wiskundige uit de oudheid, kwam rond 250 v. Chr. tot 3,141. Archimedes benaderde zijn berekening van pi op geometrische wijze, door een cirkel te sandwichen tussen twee regelmatige veelhoeken met rechte randen. Het meten van veelhoeken was gemakkelijker dan het meten van cirkels, en Archimedes mat pi-achtige verhoudingen naarmate het aantal zijden van de veelhoeken toenam, totdat ze veel op cirkels leken.

Een betekenisvolle verbetering van Archimedes’ methode zou pas honderden jaren later komen. Met behulp van de nieuwe integratietechniek konden wiskundigen als Gottfried Leibniz, een van de grondleggers van de calculus, zulke elegante vergelijkingen voor pi bewijzen als:

>Begin{equation*}:pi{4}=1- pi{1}{3}+ pi{1}{5}- pi{1}{7}+ pi{1}{9}- pi{5907>

Het rechterlid blijft, net als pi, eeuwig doorgaan. Als je al die simpele breuken optelt en aftrekt en optelt en aftrekt, kom je steeds dichter bij de echte waarde van pi. Het probleem is dat je heel, heel langzaam dichterbij komt. Om maar 10 juiste cijfers van pi te krijgen, moet je ongeveer 5 miljard breuken bij elkaar optellen.

Maar er werden efficiëntere formules ontdekt. Neem deze, van Leonhard Euler, waarschijnlijk de grootste wiskundige ooit, in de 18e eeuw:

Begin{equation*}+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\ldots{equation*}

En Srinivasa Ramanujan, een autodidactisch wiskundig genie uit India, ontdekte de onderstaande totaal verrassende en bizarre vergelijking in het begin van 1900. Elke extra term in deze som voegt acht juiste cijfers toe aan een schatting van pi:

begin{equation*}\frac{1}{pi}=\frac{2}}{9801}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}

Zoals bij het zoeken naar grote priemgetallen, hebben computers vanaf halverwege de vorige eeuw deze pi-cijfer-zoektocht uit de baan om de aarde en in de ruimte geblazen. ENIAC, een vroege elektronische computer en de enige computer in de VS in 1949, berekende pi tot meer dan 2000 plaatsen, bijna een verdubbeling van het record.

Toen computers sneller werden en geheugen meer beschikbaar kwam, begonnen de cijfers van pi als dominostenen te vallen, racend langs de oneindige lijn van het getal, onmogelijk ver maar ook nooit dichter bij het einde. Voortbouwend op de formule van Ramanujan berekenden de wiskundige broers Gregory en David Chudnovsky begin jaren ’90 meer dan 2 miljard cijfers van pi met behulp van een zelfgemaakte supercomputer in een benauwd en broeierig appartement in Manhattan. Na een paar jaar verdubbelden ze hun aantal tot 4 miljard cijfers.

Het huidige record staat nu op ongeveer 31,4 biljoen cijfers – duizenden malen meer dan de zelfgebouwde supercomputer van de Chudnovsky’s voor elkaar kreeg. Het werd berekend door een Google-werknemer gedurende 121 dagen met behulp van een vrij beschikbaar programma genaamd y-cruncher en geverifieerd met nog eens 48 uur van number-crunching sessies. De berekening nam ongeveer evenveel opslagruimte in beslag als de volledige digitale database van de Library of Congress. Emma Haruka Iwao, de vrouw achter het record, berekent pi op computers sinds ze een kind was.

Iwao’s rekenprestatie verhoogde de collectieve kennis van de mensheid over de cijfers van pi met ongeveer 40 procent. Het vorige record stond op meer dan 22 triljoen cijfers, uitgewerkt na 105 dagen rekenen op een Dell server, ook met behulp van y-cruncher. Dat programma, dat zowel de Ramanujan als de Chudnovsky formules gebruikt, is gebruikt om recordaantallen cijfers te vinden van niet alleen pi, maar ook van andere oneindige, irrationele getallen, waaronder e, , en de gulden snede.

Maar misschien is 31 biljoen cijfers wel een beetje overdreven. NASA’s Jet Propulsion Laboratorium gebruikt slechts 15 cijfers van pi voor zijn hoogst nauwkeurige berekeningen voor interplanetaire navigatie. Heck, Isaac Newton wist 350 jaar geleden al zoveel cijfers. “Een waarde van tot 40 cijfers zou meer dan genoeg zijn om de omtrek van het Melkwegstelsel te berekenen met een fout kleiner dan de grootte van een proton,” schreef een groep onderzoekers in een nuttige geschiedenis van het getal. Dus waarom zouden we ooit 31 triljoen cijfers nodig hebben?

Zeker, we hebben een beetje wiskundetheorie geleerd terwijl we diep graven in pi: over snelle Fourier transformaties en dat pi waarschijnlijk een zogenaamd normaal getal is. Maar het meer bevredigende antwoord lijkt mij niets met wiskunde te maken te hebben. Misschien heeft het te maken met wat president John F. Kennedy zei over het bouwen van een ruimteprogramma. We doen dit soort dingen “niet omdat ze gemakkelijk zijn, maar omdat ze moeilijk zijn; omdat dat doel zal dienen om het beste van onze energie en vaardigheden te organiseren en te meten.”

Maar er is één groot verschil: De maan is niet oneindig ver weg; we kunnen er daadwerkelijk komen. Misschien is dit beroemde citaat over schaken toepasselijker: “Het leven is niet lang genoeg voor schaken – maar dat is de schuld van het leven, niet van het schaken.”

Pi is te lang voor de mensheid. Maar dat is de schuld van de mensheid, niet van pi. Gelukkige pi-dag.