Definição
Um polinômio na variável x é uma função que pode ser escrita na forma,
onde an, an-1 , …, a2, a1, a0 são constantes. Chamamos ao termo contendo a maior potência de x (ou seja, anxn) o termo principal, e chamamos um coeficiente principal. O grau do polinômio é o poder de x no termo principal. Já vimos polinómios de grau 0, 1 e 2 que eram as funções constante, linear e quadrática, respectivamente. Os polinômios de grau 3, 4 e 5 também têm nomes especiais: funções cúbica, quadrática e quíntica. Polinômios com grau n > 5 são apenas chamados de polinômios de n-ésimo grau. Os nomes das diferentes funções polinomiais estão resumidos na tabela abaixo.
| grau do polinômio | Nome da função |
| 0 | Função constante |
| 1 | Função linear |
| 2 | Função quadrática |
| 3 | Função cúbica |
| 4 | Função quadrática |
| 5 | Função quadrática |
| n (onde n > 5) | nth degree polynomial |
Alguns exemplos de polinómios incluem:
O Comportamento Limitante dos Polinómios
O comportamento limitante de uma função descreve o que acontece com a função como x → ±∞. O grau de um polinômio e o sinal de seu coeficiente principal ditam seu comportamento limitante. Em particular,
Estes resultados estão resumidos na tabela abaixo.
Você pode usar esta informação para determinar se um polinômio tem ou não um grau ímpar ou par e se o coeficiente principal é positivo ou negativo, simplesmente inspecionando seu gráfico.
Os seguintes gráficos de polinómios exemplificam cada um dos comportamentos delineados na tabela acima.
Raízes e pontos de viragem
O grau de um polinómio diz-lhe ainda mais sobre ele do que o comportamento limitador. Especificamente, um polinômio de n grau pode ter no máximo n raízes reais (x-intercepções ou zeros) contando multiplicidades. Por exemplo, suponha que estamos a olhar para um polinómio de 6º grau que tem 4 raízes distintas. Se duas das quatro raízes têm multiplicidade 2 e as outras 2 têm multiplicidade 1, sabemos que não há outras raízes porque contabilizámos as 6 raízes. Isto porque as raízes com uma multiplicidade de duas (também conhecidas como raízes duplas) são contadas como duas raízes.
Esteja ciente de que um polinômio de n-ésimo grau não precisa ter n-raízes reais – ele poderia ter menos porque tem raízes imaginárias. Note que um polinômio de grau ímpar deve ter pelo menos uma raiz real desde que a função se aproxima – ∞ em uma extremidade e + ∞ na outra; uma função contínua que muda de negativa para positiva deve intersectar o eixo x em algum lugar no meio. Além disso, um polinômio de n-ésimo grau pode ter no máximo n – 1 pontos de rotação. Um ponto de viragem é um ponto em que a função muda de crescente para decrescente ou de decrescente para crescente, como se vê na figura abaixo. Novamente, um polinômio de um n-ésimo grau não precisa ter n – 1 pontos de virada, ele poderia ter menos.
Nota de Cuidado
É importante perceber a diferença entre as funções pares e ímpares e polinómios de grau par e ímpar. Qualquer função, f(x), ou é uniforme se,
f(-x) = x,
para todos os x no domínio de f(x), ou ímpar se,
f(-x) = -x,
para todos os x no domínio de f(x), ou nem uniforme nem ímpar se nenhuma das afirmações acima for verdadeira.
Um polinômio de grau k, p(x), é dito ter grau par se k é um número par e grau ímpar se k é um número ímpar. Lembre-se que mesmo que p(x) tenha um grau par, não é necessariamente uma função par. Da mesma forma, se p(x) tem grau ímpar, não é necessariamente uma função ímpar.
Usamos também os termos par e ímpar para descrever as raízes dos polinómios. Especificamente, um polinômio p(x) tem raiz x = a de multiplicidade k (i.e. x = a é uma raiz repetida k vezes) se (x – a)k é um fator de p(x). Dizemos que x = a tem multiplicidade par se k é um número par e multiplicidade ímpar se k é um número ímpar.
Domínio e intervalo
Todos os polinómios têm o mesmo domínio que consiste em todos os números reais. O intervalo de polinómios de grau ímpar também consiste em todos os números reais. O intervalo de polinómios de grau par é um pouco mais complicado e não podemos afirmar explicitamente o intervalo de todos os polinómios de grau par. Se o coeficiente inicial for positivo, a função estender-se-á até + ∞; se o coeficiente inicial for negativo, estender-se-á até – ∞. Isto significa que mesmo os polinómios de grau uniforme com coeficiente de liderança positivo têm um alcance onde ymax denota o máximo global que a função atinge. Em geral, não é possível determinar analiticamente os máximos ou mínimos dos polinómios.
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Na próxima secção irá aprender a divisão polinomial, uma técnica utilizada para encontrar as raízes das funções polinomiais.
Divisão polinomial