Ao formar qualquer malha esférica, o primeiro fato a notar é que sempre que duas esferas tocam uma linha reta pode ser traçada do centro de uma esfera para o centro da outra intersectando o ponto de contato. A distância entre os centros ao longo do trajecto mais curto, nomeadamente essa linha recta, será portanto r1 + r2 onde r1 é o raio da primeira esfera e r2 é o raio da segunda. Em empacotamento próximo todas as esferas partilham um raio comum, r. Portanto, dois centros teriam simplesmente uma distância 2r.
Malha hcp simplesEditar
Para formar um empacotamento hexagonal fechado de esferas A-B-A-B-…, os pontos de coordenadas da malha serão os centros das esferas. Suponha, o objetivo é preencher uma caixa com esferas de acordo com hcp. A caixa seria colocada no espaço de coordenadas x-y-z.
Primeiro formar uma fila de esferas. Os centros ficarão todos em linha reta. A sua coordenada x variará em 2r, uma vez que a distância entre cada centro das esferas que se tocam é de 2r. A coordenada y e a coordenada z serão as mesmas. Para simplificar, digamos que as bolas são a primeira linha e que as suas coordenadas y e z são simplesmente r, para que as suas superfícies repousem nos planos zero. As coordenadas dos centros da primeira linha serão parecidas com (2r, r, r), (4r, r, r), (6r ,r, r), (8r ,r, r), … .
Agora, formem a próxima linha de esferas. Novamente, os centros estarão todos em uma linha reta com diferenças de coordenadas x de 2r, mas haverá um deslocamento de distância r no sentido x para que o centro de cada esfera nesta linha se alinhe com a coordenada x de onde duas esferas se tocam na primeira linha. Isto permite que as esferas da nova linha deslizem para mais perto da primeira linha até que todas as esferas da nova linha se toquem em duas esferas da primeira linha. Como as novas esferas tocam duas esferas, os seus centros formam um triângulo equilátero com os centros desses dois vizinhos. Os comprimentos laterais são todos 2r, portanto a diferença de altura ou y-coordenação entre as linhas é √3r. Assim, esta linha terá coordenadas como esta:
( r , r + 3 r , r ) , ( 3 r , r + 3 r , r ) , ( 5 r , r + 3 r , r ) , ( 7 r , r + 3 r , r ) , … . Estilo de jogo Esquerda (r,r+Sqrt),Esquerda (3r,r+Sqrt),Direita (3r,r+Sqrt),Direita (5r,r+Sqrt),Esquerda (5r,r+Sqrt),Direita (3r,r+Sqrt),Pontos (7r,r+Sqrt),Direita (7r,r+Sqrt),Pontos (3)
A primeira esfera desta linha só toca uma esfera na linha original, mas a sua localização segue o mesmo padrão do resto da linha.
A próxima linha segue este padrão de deslocar a coordenada x por r e a coordenada y por √3. Adicione linhas até alcançar as bordas máximas x e y da caixa.
Num padrão de empilhamento A-B-A-B-…, os estranhos planos numerados das esferas terão exactamente as mesmas coordenadas, excepto para uma diferença de inclinação nas coordenadas z e os planos numerados pares das esferas partilharão as mesmas coordenadas x e y. Ambos os tipos de planos são formados usando o padrão mencionado acima, mas o ponto de partida para a primeira esfera da primeira linha será diferente.
Usando o plano descrito precisamente acima como plano #1, o plano A, coloque uma esfera em cima deste plano de modo que ela fique tocando três esferas no plano A. As três esferas já estão todas a tocar umas nas outras, formando um triângulo equilátero, e como todas tocam a nova esfera, os quatro centros formam um tetraedro regular. Todos os lados são iguais a 2r porque todos os lados são formados por duas esferas que se tocam. A altura da qual ou a diferença da coordenada z entre os dois “planos” é √6r2/3. Isto, combinado com os offsets nas coordenadas x e y dá os centros da primeira linha no plano B:
( r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 3 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 5 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 7 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , … . Estilo de jogo à esquerda (r,r+frac),à esquerda (3r,r+frac),r+frac (3qrt),r+frac (6qrt),r2 (3 direita),esquerda (3r,r+frac (3qrt),r+frac (3qrt),r+frac (3qrt),r+frac (3qrt),r+frac (6qrt),r2 (3 direita),\ esquerda (5r,r+frac),esquerda (7r,r+frac),r+frac (3qrt),r+frac (3qrt),r+frac (6qrt),direita),esquerda (7r,r+frac (3qrt),r+frac (3qrt),r+frac (3qrt),r+frac (6qrt),2qrt (3qrt),pontos .}
As coordenadas da segunda linha seguem o padrão descrito acima e são:
( 2 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 4 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 6 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 8 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , …. . Estilo de jogo à esquerda (2r,r+frac {4sqrt {3}r}{3},r+frac {6}r2}{3},r+frac {6}r2}{3}{3}{4r,r+frac {4}r}{3},r+frac {6}r2}{3}{3}{3}{3},r+frac {6}r2}{3}{3}{3}{3}{3}{3}{4}{4}r\ esquerda (6r,r+frac),esquerda (8r,r+frac),4r,r+frac (3),r+frac (3),r+frac (6qrt),r2 (3),direita),esquerda (8r,r+frac (4qrt),r+frac (3),r+frac (4qrt),r+frac (6qrt),2 (3),pontos .}
A diferença para o próximo plano, o plano A, é novamente √6r2/3 no sentido z e um deslocamento no x e y para combinar aquelas coordenadas x e y do primeiro plano A.
Em geral, as coordenadas dos centros das esferas podem ser escritas como:
2 6 3 k ] r {\an1}displaystyle {\an1}begin{\an1}2i+((j)+ k){\an1}bmod {\an1}){\an1}sqrt {\an1}frac {\an1}k{\an1}end{\an1}r}
