O Teorema da Impossibilidade de Arrow apresenta uma situação terrível: nenhum procedimento eleitoral satisfaz os conjuntos de axiomas de Arrow, exceto por uma ditadura. Isto não significa que a democracia seja deficiente e que uma ditadura seja a única forma razoável de governo. Se os axiomas da Flecha são demasiado rigorosos e nenhum procedimento eleitoral satisfaz os axiomas, então ou um conjunto menor de axiomas ou um conjunto diferente de critérios pode permitir comparar os procedimentos eleitorais – com o objectivo de encontrar um procedimento “melhor”. A definição de “melhor” é relativa a quais propriedades são desejáveis no procedimento. Abaixo está uma lista de critérios que alguns têm usado para avaliar procedimentos eleitorais para chegar à sua conclusão sobre qual(is) procedimento(s) é(são) “melhor”
Condorcet Winner

Em 1770, Jean Charles de Borda propôs usar a contagem de Borda para determinar a admissão na Academia Francesa de Ciências. Em 1785, Marie-Jean-Antoine-Nicolas de Caritat Condorcet (o Marquês do Condorcet) argumentou que a contagem de Borda era incorrecta porque não elege necessariamente um candidato que derrota todos os outros candidatos numa eleição frente a frente. Condorcet considerou o que aconteceria nas eleições entre todos os pares de candidatos e a regra da maioria generalizada de uma maneira diferente. Considere o seguinte exemplo em que cinco eleitores classificam os quatro candidatos A, B, C, e D.

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Para os dados de preferência acima, Numa eleição frente a frente entre dois candidatos, um deve receber mais votos do que o outro devido ao número ímpar de eleitores. Por exemplo, D derrota A, porque três eleitores preferem D a A (aqueles eleitores cujas preferências estão nas colunas 2, 3 e 4 acima) enquanto apenas dois eleitores preferem A a D (aqueles eleitores cujas preferências estão nas colunas 1 e 5 acima). Cálculos semelhantes podem ser usados para mostrar que D derrota A, B, e C em concursos de pares. Condorcet argumentou que um candidato que derrota um ao outro nas eleições frente a frente sob a regra da maioria deveria ser eleito. Tal candidato é chamado de “vencedor do Condorcet”. Os dados da eleição frente a frente para o exemplo acima aparecem abaixo.

A contagem de Borda pode não eleger o vencedor do Condorcet
Condorcet considerou a contagem de Borda falha porque não necessariamente elegeria o vencedor do Condorcet. O exemplo acima (em que as preferências dos eleitores são para os candidatos A, B, C, e D) fornece prova. O vetor de votação da contagem de Borda é escrito à esquerda das preferências.

Candidatos A, B, C, e D recebem 10, 5, 6, e 9 pontos, respectivamente. Assim, A ganha a eleição sob a contagem de Borda, ao contrário do vencedor do Condorcet D.

pontos de A: 2*3 + 3*2 + 0*1 + 1*0 = 10 pontos de B: 1*3 + 1*2 + 0*1 + 3*0 = 5
C’s pontos: 0*3 + 2*2 + 2*1 + 1*0 = 6 pontos D’s: 2*3 + 0*2 + 3*1 + 0*0 = 9

Felizmente, nem sempre existe um Condorcet vencedor. (Veja o boxed entry.) Um procedimento de eleição que sempre elege o vencedor Condorcet quando existe satisfaz o critério “Condorcet”. Muitos matemáticos e teóricos da votação têm proposto procedimentos que satisfazem o critério Condorcet, incluindo o matemático inglês Charles Dodgson. Apesar de ter sido professor de matemática na Christ Church, Universidade de Cambridge, Dodgson é mais conhecido sob o seu pseudónimo, Lewis Carroll, o autor “Alice’s Adventures in Wonderland”.

Facilidade de uso e fácil compreensão
Um procedimento eleitoral deve ser facilmente usado para que os eleitores possam refletir com precisão suas preferências pelos candidatos. Além disso, um procedimento de eleição deve ser facilmente compreendido pelo eleitorado para que haja confiança nos resultados da eleição. Se um procedimento de eleição “melhor” é muito complicado de usar ou entender, então o eleitorado pode não confiar nos resultados da eleição, independentemente de a matemática ter batizado o procedimento como “melhor” ou não.

Por exemplo, à medida que o número de candidatos aumenta, pode ser impraticável assumir que os eleitores podem ordenar todos os candidatos (ver “Como votar”), como exigido com a maioria dos procedimentos eleitorais. A votação para aprovação foi parcialmente apoiada por Brams e Fishburn porque é facilmente compreendida e requer que os eleitores apenas decidam “aprovar” ou “desaprovar” os candidatos. Outros argumentaram que há demasiada flexibilidade na votação de aprovação. Mesmo que dois eleitores possam ordenar candidatos da mesma maneira, eles podem dividi-los nas duas categorias de “aprovar” e “desaprovar” diferentemente, de modo que as preferências de ordem de classificação não são suficientes para determinar um resultado eleitoral.

Menos Manipulável
O objetivo de um procedimento eleitoral é determinar um resultado que represente a vontade do povo. Como os eleitores podem deturpar sua verdadeira classificação dos candidatos e afetar o resultado de uma eleição de forma a melhorar o resultado (tal como votar em um segundo candidato preferido quando a escolha de um deles está muito atrás nas pesquisas), um procedimento eleitoral “melhor” evitaria que os eleitores deturpassem suas preferências para alcançar um resultado melhor. Na teoria da votação, essa propriedade é chamada de “à prova de estratégia”. Ou seja, um procedimento eleitoral é à prova de estratégia se nunca é do melhor interesse do eleitor votar estrategicamente e deturpa as suas preferências. Existe tal procedimento à prova de estratégia?

Descoberta Simultânea!

Allan Gibbard e Mark Satterthwaite provaram independentemente o que ficou conhecido como o Teorema de Gibbard-Satterthwaite, que afirma que, além de uma ditadura, não existe um procedimento à prova de estratégia para eleições entre três ou mais candidatos. Gibbard publicou um artigo com o resultado em 1973. A contribuição de Satterthwaite foi parte de sua tese de doutorado na Universidade de Wisconsin. Embora feito independentemente e sem conhecimento do trabalho um do outro, porque o trabalho de Gibbard tinha sido aceite para publicação, Satterthwaite não foi capaz de publicar o resultado tal como aparece na sua tese. Ele publicou uma versão em 1975, na qual vinculou o resultado ao Teorema de Arrow.

Mark Satterthwaite
Ver “Referências e Links” para referências bibliográficas.

Felizmente, em um resultado parecido com o Arrow, Allan Gibbard e Mark Satterthwaite mostraram que o único procedimento eleitoral à prova de estratégia para três ou mais candidatos é uma ditadura! O trabalho deles foi feito independentemente um do outro nos anos 70.

Como todos os procedimentos eleitorais sem ditadura são susceptíveis de votação estratégica, uma próxima questão é determinar se existe um procedimento que minimize a probabilidade de a votação estratégica ser útil. Donald G. Saari, Universidade da Califórnia, Irvine, perguntou e respondeu a esta pergunta. Ele provou que a contagem Borda minimiza a probabilidade de que a deturpação das preferências ou votação estratégica possa ser usada em benefício.

A Resposta Definitiva?
Para uma eleição com três ou mais candidatos, não há uma resposta definitiva para qual é o melhor procedimento. A resposta é relativa. Um melhor procedimento pode depender do contexto (por exemplo, quantos candidatos) e quais propriedades são consideradas importantes para a eleição. Uma coisa é certa: não vote em qual procedimento de eleição usar!