Definition
Ein Polynom in der Variablen x ist eine Funktion, die in der Form geschrieben werden kann,
wobei an, an-1 , …, a2, a1, a0 Konstanten sind. Wir nennen den Term, der die höchste Potenz von x enthält (d.h. anxn), den führenden Term und an den führenden Koeffizienten. Der Grad des Polynoms ist die Potenz von x im führenden Term. Wir haben bereits Polynome vom Grad 0, 1 und 2 gesehen, die konstante, lineare bzw. quadratische Funktionen sind. Polynome des Grades 3, 4 und 5 haben auch besondere Namen: kubische, quartische und quintische Funktionen. Polynome mit Grad n > 5 werden einfach Polynome n-ten Grades genannt. Die Namen der verschiedenen Polynomfunktionen sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst.
| Grad des Polynoms | Name der Funktion |
| 0 | Konstante Funktion |
| 1 | Lineare Funktion |
| 2 | Quadratische Funktion |
| 3 | Kubische Funktion |
| 4 | Quartische Funktion |
| 5 | Quintische Funktion |
| n (wobei n > 5) | Polynom n-ten Grades |
Einige Beispiele für Polynome sind:
Das Grenzwertverhalten von Polynomen
Das Grenzwertverhalten einer Funktion beschreibt, was mit der Funktion passiert, wenn x → ±∞. Der Grad eines Polynoms und das Vorzeichen seines Leitkoeffizienten bestimmen sein Grenzverhalten.
Diese Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst.
Mit diesen Informationen kann man feststellen, ob ein Polynom ungeraden oder geraden Grades ist und ob der Leitkoeffizient positiv oder negativ ist, indem man einfach den Graphen betrachtet.
Die folgenden Graphen von Polynomen veranschaulichen jedes der in der obigen Tabelle dargestellten Verhaltensweisen.
Wurzeln und Wendepunkte
Der Grad eines Polynoms sagt sogar noch mehr über es aus als das Grenzverhalten. Insbesondere kann ein Polynom n-ten Grades höchstens n reelle Wurzeln (x-Schnittpunkte oder Nullstellen) haben, wenn man die Vielfachen zählt. Nehmen wir an, wir betrachten ein Polynom 6. Grades, das 4 verschiedene Wurzeln hat. Wenn zwei der vier Wurzeln die Vielfachheit 2 und die anderen zwei die Vielfachheit 1 haben, wissen wir, dass es keine weiteren Wurzeln gibt, da wir alle 6 Wurzeln berücksichtigt haben. Dies liegt daran, dass die Wurzeln mit einer Vielfachheit von zwei (auch bekannt als Doppelwurzeln) als zwei Wurzeln gezählt werden.
Beachte, dass ein Polynom n-ten Grades nicht unbedingt n reelle Wurzeln haben muss – es könnte weniger haben, weil es imaginäre Wurzeln hat. Beachte, dass ein Polynom ungeraden Grades mindestens eine reelle Wurzel haben muss, da sich die Funktion an einem Ende – ∞ und am anderen Ende + ∞ nähert; eine kontinuierliche Funktion, die von negativ zu positiv wechselt, muss die x-Achse irgendwo dazwischen schneiden. Darüber hinaus kann ein Polynom n-ten Grades höchstens n – 1 Wendepunkte haben. Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem die Funktion von steigend zu fallend oder von fallend zu steigend wechselt, wie in der folgenden Abbildung dargestellt. Auch hier gilt, dass ein Polynom n-ten Grades nicht n – 1 Wendepunkte haben muss, sondern auch weniger haben kann.
Vorsichtshinweis
Es ist wichtig, den Unterschied zwischen geraden und ungeraden Funktionen und Polynomen geraden und ungeraden Grades zu erkennen. Jede Funktion, f(x), ist entweder gerade, wenn,
f(-x) = x,
für alle x im Bereich von f(x), oder ungerade, wenn,
f(-x) = -x,
für alle x im Bereich von f(x), oder weder gerade noch ungerade, wenn keine der obigen Aussagen wahr sind.
Ein Polynom k-ten Grades, p(x), hat geraden Grad, wenn k eine gerade Zahl ist und ungeraden Grad, wenn k eine ungerade Zahl ist. Denken Sie daran, dass p(x), selbst wenn es geraden Grad hat, nicht unbedingt eine gerade Funktion ist. Ebenso ist p(x) nicht notwendigerweise eine ungerade Funktion, wenn es einen ungeraden Grad hat.
Wir verwenden die Begriffe gerade und ungerade auch, um Wurzeln von Polynomen zu beschreiben. Insbesondere hat ein Polynom p(x) die Wurzel x = a der Vielfachheit k (d.h. x = a ist eine k-mal wiederholte Wurzel), wenn (x – a)k ein Faktor von p(x) ist. Wir sagen, dass x = a gerade Vielfachheit hat, wenn k eine gerade Zahl ist, und ungerade Vielfachheit, wenn k eine ungerade Zahl ist.
Domäne und Bereich
Alle Polynome haben die gleiche Domäne, die aus allen reellen Zahlen besteht. Der Bereich von Polynomen ungeraden Grades besteht ebenfalls aus allen reellen Zahlen. Der Bereich der Polynome geraden Grades ist etwas komplizierter und wir können den Bereich aller Polynome geraden Grades nicht explizit angeben. Wenn der führende Koeffizient positiv ist, erstreckt sich die Funktion bis + ∞; wenn der führende Koeffizient negativ ist, erstreckt sie sich bis – ∞. Das bedeutet, dass Polynome geraden Grades mit positivem Leitkoeffizienten einen Bereich haben, in dem ymax das globale Maximum bezeichnet, das die Funktion erreicht. Im Allgemeinen ist es nicht möglich, die Maxima oder Minima von Polynomen analytisch zu bestimmen.
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Im nächsten Abschnitt lernen Sie die Polynomdivision kennen, eine Technik, mit der man die Wurzeln von Polynomfunktionen findet.
Polynomdivision