Diese drei Gesetze, so einfach sie auch sind, bilden einen Großteil der Grundlage der Wahrscheinlichkeitstheorie. Richtig angewandt, können sie uns viel Einsicht in die Funktionsweise der Natur und der alltäglichen Welt geben.
– Leonard Mlodinow

Dieses Zitat stammt aus dem Buch von Leonard Mlodinow, The Drunkard’s Walk: How Randomness Rules Our Lives. Das Buch enthält so unterschiedliche Beispiele wie Politik, Weinbewertungen und Schulnoten, um zu zeigen, wie ein falsches Verständnis von Wahrscheinlichkeit dazu führt, dass Menschen zufällige Ereignisse falsch interpretieren. Die drei Wahrscheinlichkeitsgesetze von Mlodinow lauten wie folgt:

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Ereignisse gleichzeitig eintreten, kann niemals größer sein als die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Ereignis einzeln eintritt.
2. Wenn zwei mögliche Ereignisse, A und B, unabhängig sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl A als auch B eintreten, gleich dem Produkt ihrer individuellen Wahrscheinlichkeiten.
3. Wenn ein Ereignis eine Reihe verschiedener und unterschiedlicher möglicher Ergebnisse haben kann, A, B, C usw., dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass entweder A oder B eintritt, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten von A und B, und die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse (A, B, C usw.) ist 1 (d. h. 100 %).

Wenn wir die Wahrscheinlichkeit nicht verstehen, fallen wir dem Konjunktionstrugschluss zum Opfer. Wie ich bereits geschrieben habe,

hören wir vielleicht verschiedene Gerüchte, dass das Firmenbudget bald gekürzt wird und dass der leitende Angestellte unserer Abteilung erwägt, das Unternehmen zu verlassen. Wir schätzen jedes dieser Ereignisse für sich genommen als unwahrscheinlich ein – vielleicht eine 33%ige Chance auf Budgetkürzungen (dem Unternehmen geht es gut) und eine 25%ige Chance, dass die Führungskraft geht (sie ist seit mehr als 10 Jahren hier). Aber wenn wir beide Gerüchte hören, ist unsere Intuition, dass beide Ereignisse eintreten werden, ziemlich hoch – vielleicht 50 % oder mehr. Infolgedessen verbringen wir mehr Zeit als nötig damit, uns Gedanken über die Finanzierung unseres Projekts zu machen, und aktualisieren vielleicht sogar unseren Lebenslauf.

Angenommen, die Führungskraft verlässt das Unternehmen nicht wegen der Budgetkürzungen (d. h. die Ereignisse sind unabhängig voneinander), dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten, 0,33*0,25 oder nur etwa 8 % – also überhaupt nicht wahrscheinlich. Selbst wenn die Ereignisse zusammenhängen, kann nach Gesetz 1 die Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten, nicht mehr als 33 % betragen.

The Drunkard’s Walk liefert ein weiteres Beispiel, das auf leeren Flugsitzen beruht und das ich modifiziert habe, um die Aussage zu verstärken. Stellen Sie sich vor, eine Fluggesellschaft hat nur noch einen Sitzplatz auf einem Flug und zwei Passagiere sind noch nicht erschienen (sie haben den Flug überbucht). Erfahrungsgemäß geht die Fluggesellschaft davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Passagier, der einen Sitzplatz bucht, rechtzeitig erscheint, bei 75 % liegt. Mathematisch gesehen ist die Überbuchung sinnvoll, wenn das Ziel darin besteht, das Flugzeug zu füllen: Die Wahrscheinlichkeit, dass keiner der beiden Fluggäste erscheint und das Flugzeug mit einem leeren Sitzplatz fliegt, ist sehr gering: 0,25 * 0,25 sind 6 %. Andererseits ist es vom Standpunkt der Kundenerfahrung aus gesehen riskant: Es besteht eine Wahrscheinlichkeit von 0,75 * 0,75 = 56 %, dass beide auftauchen und sie sich mit einem unzufriedenen Kunden auseinandersetzen müssen. Aus Gesetz 3 ergibt sich, dass die Wahrscheinlichkeit, dass alles perfekt läuft und eine (und nur eine) Person auftaucht, weniger als 38 % beträgt (1 – 0,56 – 0,06). Das sind keine großartigen Chancen, und doch machen die Fluggesellschaften das ständig.

Natürlich setzt das oben Gesagte voraus, dass die Passagiere unabhängig sind. Wenn sie zusammen reisen, ist die Situation noch schlechter. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Personen auftauchen, liegt bei 75 %, und die Wahrscheinlichkeit, dass keiner von ihnen auftaucht, bei 25 %. Es besteht buchstäblich keine Chance, dass genau eine Person auftaucht – die Situation, mit der die Fluggesellschaft rechnet. Eine Kombination aus dem Ignorieren von Kundenerfahrungen und dem Nichtverstehen von Wahrscheinlichkeiten könnte erklären, warum es in letzter Zeit so viele unglückliche Zwischenfälle bei Fluggesellschaften gab.

Ja, mir ist klar, dass dieser Beitrag mehr Mathematik enthielt, als Sie es vielleicht von mir gewohnt sind. Das Gleiche gilt für das Buch. Aber darum geht es ja: Wir alle brauchen ein besseres Verständnis der Wahrscheinlichkeit, wenn wir unserer Umgebung einen Sinn geben wollen.

Oder wie Mlodinow schreibt: „Wahrscheinlichkeit ist der Leitfaden des Lebens.“