Bei der Bildung eines beliebigen Kugelpackungsgitters ist zunächst zu beachten, dass immer dann, wenn sich zwei Kugeln berühren, eine gerade Linie vom Mittelpunkt der einen Kugel zum Mittelpunkt der anderen gezogen werden kann, die den Berührungspunkt schneidet. Der Abstand zwischen den Zentren entlang des kürzesten Weges, nämlich dieser Geraden, ist also r1 + r2, wobei r1 der Radius der ersten Kugel und r2 der Radius der zweiten ist. Beim Close-Packing haben alle Kugeln einen gemeinsamen Radius, r. Daher haben zwei Zentren einfach einen Abstand von 2r.

Simple hcp latticeEdit

Eine Animation der Erzeugung eines Close-Packing-Gitters. Hinweis: Wenn eine dritte Schicht (nicht gezeigt) direkt über der ersten Schicht liegt, wird das HCP-Gitter aufgebaut. Wenn die dritte Schicht über Löcher in der ersten Schicht gelegt wird, entsteht das FCC-Gitter.

Um eine A-B-A-B-… hexagonale dichte Packung von Kugeln zu bilden, sind die Koordinatenpunkte des Gitters die Zentren der Kugeln. Angenommen, das Ziel ist es, einen Kasten mit Kugeln gemäß hcp zu füllen. Der Kasten würde im x-y-z-Koordinatenraum platziert werden.

Bilden Sie zunächst eine Reihe von Kugeln. Die Mittelpunkte liegen alle auf einer Geraden. Ihre x-Koordinate wird um 2r variieren, da der Abstand zwischen den Zentren der sich berührenden Kugeln 2r beträgt. Die y-Koordinate und die z-Koordinate werden gleich sein. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass die Kugeln die erste Reihe bilden und dass ihre y- und z-Koordinaten einfach r sind, so dass ihre Oberflächen auf den Nullebenen liegen. Die Koordinaten der Mittelpunkte der ersten Reihe sehen dann so aus: (2r, r, r), (4r, r, r), (6r ,r, r), (8r ,r, r), … .

Bildet nun die nächste Reihe von Kugeln. Auch hier liegen die Mittelpunkte alle auf einer geraden Linie mit x-Koordinatendifferenzen von 2r, aber es gibt eine Verschiebung um den Abstand r in x-Richtung, so dass der Mittelpunkt jeder Kugel in dieser Reihe mit der x-Koordinate der Stelle übereinstimmt, an der sich zwei Kugeln der ersten Reihe berühren. Dadurch können die Kugeln der neuen Reihe näher an die erste Reihe heranrücken, bis alle Kugeln der neuen Reihe zwei Kugeln der ersten Reihe berühren. Da die neuen Kugeln zwei Kugeln berühren, bilden ihre Mittelpunkte ein gleichseitiges Dreieck mit den Mittelpunkten dieser beiden Nachbarn. Die Seitenlängen sind alle 2r, so dass der Höhen- oder y-Koordinatenunterschied zwischen den Reihen √3r beträgt. Diese Reihe hat also folgende Koordinaten:

( r , r + 3 r , r ) , ( 3 r , r + 3 r , r ) , ( 5 r , r + 3 r , r ) , ( 7 r , r + 3 r , r ) , … . {displaystyle \left(r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \ \left(3r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \ \ \left(5r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \ \left(7r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\dots .}

Die erste Kugel dieser Reihe berührt nur eine Kugel in der ursprünglichen Reihe, aber ihre Lage stimmt mit dem Rest der Reihe überein.

Die nächste Reihe folgt diesem Muster der Verschiebung der x-Koordinate um r und der y-Koordinate um √3. Fügen Sie weitere Reihen hinzu, bis Sie die x- und y-Maximalgrenzen des Kastens erreicht haben.

Bei einem A-B-A-B-… Stapelmuster haben die ungeradzahligen Kugelebenen genau die gleichen Koordinaten, mit Ausnahme einer Abweichung in den z-Koordinaten, und die geradzahligen Kugelebenen haben die gleichen x- und y-Koordinaten. Beide Arten von Ebenen werden nach dem oben erwähnten Muster gebildet, aber der Startpunkt für die erste Kugel der ersten Reihe ist ein anderer.

Verwendet man die Ebene, die oben genau als Ebene Nr. 1, die A-Ebene, beschrieben wurde, legt man eine Kugel auf diese Ebene, so dass sie drei Kugeln in der A-Ebene berührt. Die drei Kugeln berühren sich bereits alle und bilden ein gleichseitiges Dreieck, und da sie alle die neue Kugel berühren, bilden die vier Mittelpunkte ein regelmäßiges Tetraeder. Alle Seiten sind gleich 2r, da alle Seiten von zwei sich berührenden Kugeln gebildet werden. Die Höhe bzw. die Differenz der z-Koordinaten zwischen den beiden „Ebenen“ beträgt √6r2/3. Zusammen mit den Verschiebungen in den x- und y-Koordinaten ergeben sich so die Mittelpunkte der ersten Reihe in der B-Ebene:

( r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 3 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 5 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 7 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , … . {displaystyle \left(r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}}right),\ \left(3r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}}right),\ \left(5r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}right),\ \ \left(7r,r+{\frac {{\sqrt {3}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}right),\dots .}

Die Koordinaten der zweiten Zeile folgen dem oben beschriebenen Muster und lauten:

( 2 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 4 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 6 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 8 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , … . {displaystyle \left(2r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}}right),\ \left(4r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}}right),\ \left(6r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}right),\ \ \left(8r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}right),\dots .}

Der Unterschied zur nächsten Ebene, der A-Ebene, ist wiederum √6r2/3 in z-Richtung und eine Verschiebung in x und y, die den x- und y-Koordinaten der ersten A-Ebene entspricht.

Im Allgemeinen können die Koordinaten der Kugelzentren wie folgt geschrieben werden:

2 6 3 k ] r {\displaystyle {\begin{bmatrix}2i+((j\ +\ k){\bmod {2}})\\\{\sqrt {3}}\left\\{\frac {2{\sqrt {6}}{3}}k\end{bmatrix}}r}