Learning Objectives
Am Ende dieses Abschnitts werden Sie in der Lage sein:
- Einen Carnot-Kreisprozess zu identifizieren.
- Berechnen Sie den maximalen theoretischen Wirkungsgrad eines Kernreaktors.
- Erläutern Sie, wie dissipative Prozesse den idealen Carnot-Motor beeinflussen.
Abbildung 1. Ein Trinkvogel (Quelle: Arabesk.nl, Wikimedia Commons)
Die als Trinkvogel bekannte Neuheit (siehe Abbildung 1) ist ein Beispiel für den Carnot’schen Motor. Er enthält Methylenchlorid (gemischt mit einem Farbstoff) im Bauch, das bei einer sehr niedrigen Temperatur – etwa 100ºF – siedet. Um ihn zu betreiben, wird der Kopf des Vogels nass gemacht. Wenn das Wasser verdampft, steigt die Flüssigkeit in den Kopf, wodurch der Vogel kopflastig wird und nach vorne in das Wasser zurücktaucht. Dadurch kühlt das Methylenchlorid im Kopf ab und fließt zurück in den Bauch, so dass der Vogel unten schwer wird und nach oben kippt. Abgesehen von einem sehr geringen Energieaufwand – dem ursprünglichen Benetzen des Kopfes – wird der Vogel zu einer Art Perpetuum Mobile.
Wir wissen aus dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik, dass eine Wärmekraftmaschine nicht zu 100 % effizient sein kann, da immer ein gewisser Anteil an Wärme Qc an die Umgebung abgegeben werden muss, der oft als Abwärme bezeichnet wird. Wie effizient kann also eine Wärmekraftmaschine sein? Diese Frage wurde 1824 von dem jungen französischen Ingenieur Sadi Carnot (1796-1832) in seiner Studie über die damals aufkommende und für die industrielle Revolution entscheidende Technologie der Wärmekraftmaschinen auf theoretischer Ebene beantwortet. Er entwickelte einen theoretischen Zyklus, der heute als Carnot-Zyklus bezeichnet wird und der den effizientesten zyklischen Prozess darstellt, der möglich ist. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik lässt sich in Bezug auf den Carnot-Zyklus neu formulieren, so dass Carnot dieses fundamentale Gesetz tatsächlich entdeckte. Jede Wärmekraftmaschine, die den Carnot-Zyklus verwendet, wird als Carnot-Motor bezeichnet.
Was für den Carnot-Zyklus entscheidend ist – und ihn in der Tat definiert – ist, dass nur reversible Prozesse verwendet werden. Irreversible Prozesse beinhalten dissipative Faktoren, wie Reibung und Turbulenzen. Dies erhöht die Wärmeübertragung Qc an die Umgebung und verringert den Wirkungsgrad des Motors. Es ist also offensichtlich, dass reversible Prozesse besser sind.
Carnot-Motor
In Bezug auf reversible Prozesse hat der zweite Hauptsatz der Thermodynamik eine dritte Form:
Ein Carnot-Motor, der zwischen zwei gegebenen Temperaturen arbeitet, hat den größtmöglichen Wirkungsgrad aller Wärmekraftmaschinen, die zwischen diesen beiden Temperaturen arbeiten. Außerdem haben alle Motoren, die nur mit reversiblen Prozessen arbeiten, denselben maximalen Wirkungsgrad, wenn sie zwischen denselben gegebenen Temperaturen arbeiten.
Abbildung 2 zeigt das PV-Diagramm für einen Carnot-Zyklus. Der Zyklus besteht aus zwei isothermen und zwei adiabatischen Prozessen. Es sei daran erinnert, dass sowohl isotherme als auch adiabatische Prozesse im Prinzip reversibel sind.
Carnot bestimmte auch den Wirkungsgrad einer perfekten Wärmekraftmaschine, d. h. einer Carnot-Maschine. Es gilt immer, dass der Wirkungsgrad einer Kreislaufwärmekraftmaschine gegeben ist durch:
\displaystyle{Eff}=\frac{Q_{\text{h}}-Q_{\text{c}}}{Q_{\text{h}}}=1-\frac{Q_{\text{h}}}{Q_{\text{h}}\
Was Carnot herausfand, war, dass für eine perfekte Wärmekraftmaschine, das Verhältnis \frac{Q_{\text{c}}{Q_{\text{h}}\ gleich dem Verhältnis der absoluten Temperaturen der Wärmereservoirs ist. Das heißt, \frac{Q_{\text{c}}}{Q_{\text{h}}}=\frac{T_{\text{c}}{T_{\text{h}}}\ für einen Carnot-Motor, so dass der maximale oder Carnot-Wirkungsgrad EffC gegeben ist durch
\displaystyle{Eff}_{\text{C}}=1-\frac{T_{\text{c}}{T_{\text{h}}\
wobei Th und Tc in Kelvin (oder einer anderen absoluten Temperaturskala) angegeben sind.) Keine reale Wärmekraftmaschine kann den Carnot-Wirkungsgrad erreichen – ein tatsächlicher Wirkungsgrad von etwa 0,7 dieses Maximums ist normalerweise das Beste, was erreicht werden kann. Der ideale Carnot-Motor, wie der oben beschriebene Trinkvogel, ist zwar eine faszinierende Neuheit, hat aber keine Leistung. Das macht ihn für alle Anwendungen unrealistisch.
Carnots interessantes Ergebnis impliziert, dass ein Wirkungsgrad von 100 % nur möglich wäre, wenn Tc = 0 K wäre, d. h. nur, wenn das kalte Reservoir den absoluten Nullpunkt hätte, was praktisch und theoretisch unmöglich ist. Aber die physikalische Implikation ist folgende: Die einzige Möglichkeit, die gesamte Wärmeübertragung in Arbeit umzuwandeln, besteht darin, die gesamte thermische Energie zu entfernen, und dies erfordert ein kaltes Reservoir am absoluten Nullpunkt.
Es ist auch offensichtlich, dass die größten Wirkungsgrade erzielt werden, wenn das Verhältnis \frac{T_{\text{c}}{T_{\text{h}}\ so klein wie möglich ist. Genau wie beim Otto-Zyklus im vorigen Abschnitt bedeutet dies, dass der Wirkungsgrad bei einer möglichst hohen Temperatur des heißen Speichers und einer möglichst niedrigen Temperatur des kalten Speichers am größten ist. (Durch diese Anordnung vergrößert sich die Fläche innerhalb des geschlossenen Kreislaufs im PV-Diagramm; außerdem scheint es vernünftig, dass es umso einfacher ist, die Wärmeübertragung in Arbeit umzuwandeln, je größer der Temperaturunterschied ist). Die tatsächlichen Reservoirtemperaturen einer Wärmekraftmaschine hängen in der Regel von der Art der Wärmequelle und der Temperatur der Umgebung ab, in die die Wärmeübertragung erfolgt. Betrachten Sie das folgende Beispiel.
Abbildung 2. PV-Diagramm für einen Carnot-Kreislauf, bei dem nur reversible isotherme und adiabatische Prozesse ablaufen. Der Wärmeübergang Qh erfolgt in den Arbeitsstoff während des isothermen Weges AB, der bei konstanter Temperatur Th verläuft. Der Wärmeübergang Qc erfolgt aus dem Arbeitsstoff auf dem isothermen Weg CD, der bei konstanter Temperatur Tc verläuft. Die abgegebene Nettoarbeit W ist gleich der Fläche innerhalb des Weges ABCDA. Ebenfalls dargestellt ist das Schema einer Carnot-Maschine, die zwischen einem heißen und einem kalten Reservoir mit den Temperaturen Th und Tc arbeitet. Jede Wärmekraftmaschine mit reversiblen Prozessen, die zwischen diesen beiden Temperaturen arbeitet, hat den gleichen maximalen Wirkungsgrad wie die Carnot-Maschine.
Beispiel 1. Maximaler theoretischer Wirkungsgrad für einen Kernreaktor
In einem Kernkraftreaktor wird Wasser mit einer Temperatur von 300 ºC unter Druck gesetzt. (Höhere Temperaturen sind theoretisch möglich, aber praktisch nicht, da die im Reaktor verwendeten Materialien begrenzt sind.) Die Wärmeübertragung von diesem Wasser ist ein komplexer Prozess (siehe Abbildung 3). Der im Dampferzeuger erzeugte Dampf wird zum Antrieb der Turbinengeneratoren verwendet. Schließlich wird der Dampf zu Wasser mit einer Temperatur von 27 ºC kondensiert und dann erneut erhitzt, um den Zyklus von vorne zu beginnen. Berechnen Sie den maximalen theoretischen Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine, die zwischen diesen beiden Temperaturen arbeitet.
Abbildung 3. Schematische Darstellung eines Druckwasserkernreaktors und der Dampfturbinen, die Arbeit in elektrische Energie umwandeln. Die Dampferzeugung erfolgt durch Wärmeaustausch, auch um eine Kontamination der Generatoren mit Radioaktivität zu vermeiden. Es werden zwei Turbinen eingesetzt, da dies kostengünstiger ist als der Betrieb eines einzelnen Generators, der die gleiche Menge an elektrischer Energie erzeugt. Der Dampf wird zu einer Flüssigkeit kondensiert, bevor er in den Wärmetauscher zurückgeführt wird, um den Austrittsdampfdruck niedrig zu halten und den Dampffluss durch die Turbinen zu unterstützen (gleichbedeutend mit der Verwendung eines kalten Reservoirs mit niedrigerer Temperatur). Die beträchtliche Energie, die mit der Kondensation verbunden ist, muss in die lokale Umgebung abgeleitet werden; in diesem Beispiel wird ein Kühlturm verwendet, so dass keine direkte Wärmeübertragung in die aquatische Umgebung stattfindet. (Man beachte, dass das Wasser, das zum Kühlturm geleitet wird, nicht mit dem Dampf in Berührung kommt, der über die Turbinen strömt.)
Strategie
Da die Temperaturen für das heiße und das kalte Reservoir dieser Wärmekraftmaschine angegeben sind, kann {Eff}_{\text{C}}=1-\frac{T_{\text{c}}}{T_{\text{h}}\ zur Berechnung des (maximalen theoretischen) Carnot-Wirkungsgrads verwendet werden. Diese Temperaturen müssen zunächst in Kelvin umgerechnet werden.
Lösung
Die Temperaturen des heißen und kalten Reservoirs werden mit 300ºC bzw. 27,0ºC angegeben. In Kelvin ist also Th = 573 K und Tc = 300 K, so dass der maximale Wirkungsgrad \displaystyle{Eff}_{\text{C}}=1-\frac{T_{\text{c}}{T_{\text{h}}\ beträgt.}
Also,
\begin{array}{lll}{Eff}_{\text{C}}&=&1-\frac{300\text{K}}{573\text{K}}\text{ }&=&0.476\text{, oder }47.6\%\end{array}\\
Diskussion
Der tatsächliche Wirkungsgrad eines typischen Kernkraftwerks liegt bei etwa 35%, etwas mehr als das 0,7-fache des maximal möglichen Wertes, ein Tribut an die hervorragende Technik. Mit Kohle, Erdöl und Erdgas befeuerte Kraftwerke haben einen höheren Wirkungsgrad (etwa 42 %), weil ihre Kessel höhere Temperaturen und Drücke erreichen können. Die Temperatur des Kältespeichers ist in jedem dieser Kraftwerke durch die örtlichen Gegebenheiten begrenzt. Abbildung 4 zeigt (a) das Äußere eines Kernkraftwerks und (b) das Äußere eines Kohlekraftwerks. Beide haben Kühltürme, in die das Wasser aus dem Kondensator in der Nähe der Spitze des Turms eintritt und nach unten gesprüht wird, wo es durch Verdunstung gekühlt wird.
Abbildung 4. (a) Ein Kernkraftwerk (Credit: BlatantWorld.com) und (b) ein Kohlekraftwerk. Beide haben Kühltürme, in denen Wasser in die Umwelt verdampft, was Qc entspricht. Der Kernreaktor, der Qh liefert, befindet sich in den kuppelförmigen Containment-Gebäuden. (credit: Robert & Mihaela Vicol, publicphoto.org)
Da alle realen Prozesse irreversibel sind, kann der tatsächliche Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine nie so groß sein wie der einer Carnot-Maschine, wie in Abbildung 5a dargestellt. Selbst bei der bestmöglichen Wärmekraftmaschine gibt es immer dissipative Prozesse in peripheren Geräten, wie z. B. in elektrischen Transformatoren oder Fahrzeuggetrieben. Diese verringern den Gesamtwirkungsgrad weiter, indem sie einen Teil der Arbeitsleistung des Motors wieder in Wärmeübertragung umwandeln, wie in Abbildung 5b dargestellt.
Abbildung 5. Echte Wärmekraftmaschinen sind weniger effizient als Carnot-Motoren. (a) Echte Motoren arbeiten mit irreversiblen Prozessen, bei denen die Wärmeübertragung in Arbeit umgewandelt wird. Die durchgezogenen Linien stellen den tatsächlichen Prozess dar; die gestrichelten Linien zeigen, was ein Carnot-Motor zwischen denselben beiden Reservoirs tun würde. (b) Reibung und andere dissipative Prozesse in den Ausgangsmechanismen einer Wärmekraftmaschine wandeln einen Teil ihrer Arbeitsleistung in Wärmeübertragung an die Umgebung um.
Zusammenfassung des Abschnitts
- Der Carnot-Zyklus ist ein theoretischer Zyklus, der der effizienteste mögliche zyklische Prozess ist. Jeder Motor, der den Carnot-Zyklus verwendet, bei dem nur reversible Prozesse (adiabatische und isotherme) ablaufen, wird als Carnot-Motor bezeichnet.
- Jeder Motor, der den Carnot-Zyklus verwendet, hat den höchsten theoretischen Wirkungsgrad.
- Während Carnot-Motoren ideale Motoren sind, erreicht in der Realität kein Motor den theoretischen maximalen Wirkungsgrad von Carnot, da dissipative Prozesse wie Reibung eine Rolle spielen. Carnot-Zyklen ohne Wärmeverlust sind vielleicht am absoluten Nullpunkt möglich, aber das wurde in der Natur noch nie beobachtet.
Konzeptuelle Fragen
- Denken Sie an den trinkenden Vogel am Anfang dieses Abschnitts (Abbildung 1). Obwohl der Vogel die theoretisch höchstmögliche Effizienz genießt, wird er mit der Zeit aufhören zu „trinken“, wenn er sich selbst überlassen wird. Welche dissipativen Prozesse könnten dazu führen, dass die Bewegung des Vogels aufhört?
- Können verbesserte Technik und Materialien in Wärmekraftmaschinen eingesetzt werden, um die Wärmeübertragung in die Umwelt zu verringern? Können sie die Wärmeabgabe an die Umwelt ganz verhindern?
- Verändert der zweite Hauptsatz der Thermodynamik den Energieerhaltungssatz?
Problemstellungen &Übungen
1. Ein bestimmter Ottomotor hat einen Wirkungsgrad von 30,0%. Wie hoch wäre die Temperatur des heißen Behälters für einen Carnot-Motor mit diesem Wirkungsgrad, wenn er mit einer kalten Behältertemperatur von 200 ºC arbeitet?
2. Ein gasgekühlter Kernreaktor arbeitet zwischen heißen und kalten Behältertemperaturen von 700 ºC und 27,0 ºC. (a) Wie hoch ist der maximale Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine, die zwischen diesen Temperaturen arbeitet? (b) Bestimmen Sie das Verhältnis zwischen diesem Wirkungsgrad und dem Carnot-Wirkungsgrad eines Standard-Kernreaktors (siehe Beispiel 1).
3. (a) Wie hoch ist die Temperatur des heißen Reservoirs eines Carnot-Motors, der einen Wirkungsgrad von 42,0 % und eine Temperatur des kalten Reservoirs von 27,0 ºC hat? (b) Wie hoch muss die Temperatur des heißen Reservoirs bei einer realen Wärmekraftmaschine sein, die 0,700 des maximalen Wirkungsgrades erreicht, aber immer noch einen Wirkungsgrad von 42,0 % hat (und ein kaltes Reservoir von 27,0 ºC)? (c) Zeigt Ihre Antwort praktische Grenzen für den Wirkungsgrad von Autobenzinmotoren auf?
4. Dampflokomotiven haben einen Wirkungsgrad von 17,0% und arbeiten mit einer Heißdampftemperatur von 425ºC. (a) Wie hoch wäre die Temperatur des kalten Vorratsbehälters, wenn es sich um eine Carnot-Maschine handeln würde? (b) Wie hoch wäre der maximale Wirkungsgrad dieser Dampfmaschine, wenn die Temperatur des Kaltwasserspeichers 150 ºC betragen würde?
5. In einer praktischen Dampfmaschine wird 450 ºC heißer Dampf verwendet, der später bei 270 ºC abgeleitet wird. (a) Welchen maximalen Wirkungsgrad kann eine solche Wärmekraftmaschine haben? (b) Da Dampf mit 270 ºC immer noch recht heiß ist, wird manchmal eine zweite Dampfmaschine mit dem Abgas der ersten betrieben. Wie hoch ist der maximale Wirkungsgrad der zweiten Maschine, wenn deren Abgas eine Temperatur von 150 ºC hat? (c) Wie hoch ist der Gesamtwirkungsgrad der beiden Maschinen? (d) Zeigen Sie, dass dies derselbe Wirkungsgrad ist wie bei einem einzelnen Carnot-Motor, der zwischen 450 ºC und 150 ºC arbeitet.
6. Ein kohlebefeuertes Elektrizitätskraftwerk hat einen Wirkungsgrad von 38 %. Die Temperatur des Dampfes, der den Kessel verlässt, beträgt 450 ºC. Welchen Prozentsatz des maximalen Wirkungsgrads erreicht dieses Kraftwerk? (Gehen Sie davon aus, dass die Umgebungstemperatur \text{20}\text{\textordmasculine }\text{C} ist.)
7. Wären Sie bereit, eine Erfinderin finanziell zu unterstützen, die ein Gerät auf den Markt bringt, von dem sie behauptet, dass es 25 kJ Wärmeübertragung bei 600 K hat, Wärmeübertragung an die Umgebung bei 300 K hat und 12 kJ Arbeit leistet? Erläutern Sie Ihre Antwort.
8. Unvernünftige Ergebnisse (a) Angenommen, Sie wollen eine Dampfmaschine konstruieren, die bei 270 ºC Wärme an die Umgebung abgibt und einen Carnot-Wirkungsgrad von 0,800 hat. Welche Temperatur des Heißdampfes müssen Sie verwenden? (b) Was ist an der Temperatur unvernünftig? (c) Welche Prämisse ist unvernünftig?
9. Unvernünftige Ergebnisse Berechnen Sie die Temperatur des kalten Vorratsbehälters einer Dampfmaschine, die mit Heißdampf von 450 ºC betrieben wird und einen Carnot-Wirkungsgrad von 0,700 hat. (b) Was ist an der Temperatur unvernünftig? (c) Welche Prämisse ist unvernünftig?
Glossar
Carnot-Zyklus: ein zyklischer Prozess, der nur reversible Prozesse, die adiabatischen und isothermen Prozesse, verwendet
Carnot-Motor: eine Wärmekraftmaschine, die einen Carnot-Zyklus verwendet
Carnot-Wirkungsgrad: der maximale theoretische Wirkungsgrad für eine Wärmekraftmaschine
Ausgewählte Lösungen zu Problemen & Übungen
1. 403ºC
3. (a) 244ºC; (b) 477ºC; (c)Ja, da Automotoren nicht zu heiß werden können, ohne zu überhitzen, ist ihr Wirkungsgrad begrenzt.
5. (a) {\mathit{\text{Eff}}}_{\text{1}}=1-\frac{{T}_{\text{c,1}}}{{T}_{\text{h,1}}}=1-\frac{\text{543 K}}{\text{723 K}}=0\text{.}\text{249}\text{ or }\text{24}\text{.}9\%\\
(b) {\mathit{\text{Eff}}}_{2}=1-\frac{\text{423 K}}{\text{543 K}}=0\text{.}\text{221}\text{ oder }\text{22}\text{.}1\%\\
(c) {\mathit{\text{Eff}}}_{1}=1-\frac{{T}_{\text{c,1}}}{{T}_{\text{h,1}}}\Rightarrow{T}_{\text{c,1}}={T}_{\text{h,1}}\left(1,-,{\mathit{\text{eff}}}_{1}\right)\text{similarly, }{T}_{\text{c,2}}={T}_{\text{h,2}}\left(1-{\mathit{\text{Eff}}}_{2}\right)\\
using Th,2 = Tc,1 in above equation gives
\begin{array}{l}{T}_{\text{c,2}}={T}_{\text{h,1}}\left(1-{Eff}_{1}\right)\left(1-{Eff}_{2}\right)\equiv{T}_{\text{h,1}}\left(1-{Eff}_{\text{overall}}\right)\\\therefore\left(1-{Eff}_{\text{overall}}\right)=\left(1-{\mathit{\text{Eff}}}_{1}\right)\left(1-{Eff}_{2}\right)\\{Eff}_{\text{overall}}=1-\left(1-0.249\rechts)\links(1-0.221\rechts)=41.5\%\end{array}\
(d) {\text{Eff}}_{\text{overall}}=1-\frac{\text{423 K}}{\text{723 K}}=0\text{.}\text{415}\text{ oder }\text{41}\text{.}5\\%\
7. Der Wärmeübergang zum kalten Reservoir ist {Q}_{\text{c}}={Q}_{\text{h}}-W=\text{25}\text{kJ}-\text{12}\text{kJ}=\text{13}\text{kJ}\\, so the efficiency is \mathit{Eff}=1-\frac{{Q}_{\text{c}}}{{Q}_{\text{h}}}=1-\frac{\text{13}\text{kJ}}{\text{25}\text{kJ}}=0\text{.}\text{48}\\. The Carnot efficiency is {\mathit{\text{Eff}}}_{\text{C}}=1-\frac{{T}_{\text{c}}}{{T}_{\text{h}}}=1-\frac{\text{300}\text{K}}{\text{600}\text{K}}=0\text{.}\text{50}\\. Der tatsächliche Wirkungsgrad beträgt 96% des Carnot-Wirkungsgrads, was viel höher ist als der beste jemals erreichte Wert von etwa 70%, so dass ihr Schema wahrscheinlich betrügerisch ist.
9. (a) -56,3ºC (b) Die Temperatur ist zu kalt für die Leistung einer Dampfmaschine (die örtliche Umgebung). Sie liegt unter dem Gefrierpunkt von Wasser. (c) Der angenommene Wirkungsgrad ist zu hoch.