Spirale

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Spiralen werden nach der mathematischen Beziehung zwischen der Länge r des Radiusvektors und dem Vektorwinkel q, der mit der positiven x-Achse gebildet wird, klassifiziert. Zu den gebräuchlichsten gehören die Spirale des Archimedes, die logarithmische Spirale, die parabolische Spirale und die hyperbolische Spirale.

Die einfachste aller Spiralen wurde von dem antiken griechischen Mathematiker Archimedes von Syrakus (287-212 v. Chr.) entdeckt. Die Spirale des Archimedes entspricht der Gleichung r = a θ, wobei r und θ die Polarkoordinaten des Punktes darstellen, der bei gleichmäßiger Änderung der Länge des Radius a gezeichnet wird. In diesem Fall ist r proportional zu θ.

Die logarithmische oder gleichwinklige Spirale wurde erstmals von Rene Descartes (1596-1650) im Jahr 1638 vorgeschlagen. Ein anderer Mathematiker, Jakob Bernoulli (1654-1705), der wichtige Beiträge zur Wahrscheinlichkeitsrechnung leistete, hat ebenfalls wichtige Aspekte dieser Spirale beschrieben. Eine logarithmische Spirale ist durch die Gleichung r = ea θ definiert, wobei e die natürliche logarithmische Konstante, r und θ die Polarkoordinaten und a die Länge des sich ändernden Radius ist. Diese Spiralen ähneln einem Kreis, da sie ihre Radien in einem konstanten Winkel kreuzen. Im Gegensatz zu einem Kreis ist der Winkel, in dem die Punkte ihre Radien schneiden, jedoch kein rechter Winkel. Außerdem unterscheiden sich diese Spiralen von einem Kreis dadurch, dass die Länge der Radien zunimmt, während bei einem Kreis die Länge der Radien konstant ist. Beispiele für die logarithmische Spirale finden sich überall in der Natur. Die Schale eines Nautilus und die Samenmuster von Sonnenblumenkernen haben beide die Form einer logarithmischen Spirale.

Eine parabolische Spirale kann durch die mathematische Gleichung r2 = a2 θ dargestellt werden. Diese von Bonaventura Cavalieri (1598-1647) entdeckte Spirale erzeugt eine Kurve, die allgemein als Parabel bekannt ist. Eine andere Spirale, die hyperbolische Spirale, entspricht der Gleichung r = a/ θ.

Eine andere Art von Kurve, die einer Spirale ähnelt, ist eine Helix. Eine Helix ist wie eine Spirale eine Kurve, die durch Rotation um einen Punkt in immer größer werdendem Abstand entsteht. Im Gegensatz zu den zweidimensionalen ebenen Kurven einer Spirale ist eine Helix jedoch eine dreidimensionale Raumkurve, die auf der Oberfläche eines Zylinders liegt. Ihre Punkte sind so beschaffen, dass sie einen konstanten Winkel mit den Querschnitten des Zylinders bildet. Ein Beispiel für eine solche Kurve ist das Gewinde einer Schraube.

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