Das Arrowsche Unmöglichkeitstheorem stellt eine düstere Situation dar: Kein Wahlverfahren erfüllt Arrows Axiomensatz, außer einer Diktatur. Das bedeutet nicht, dass die Demokratie fehlerhaft ist und eine Diktatur die einzig vernünftige Regierungsform ist. Wenn Arrows Axiome zu streng sind und kein Wahlverfahren die Axiome erfüllt, dann kann entweder ein kleinerer Satz von Axiomen oder ein anderer Satz von Kriterien den Vergleich von Wahlverfahren ermöglichen – mit dem Ziel, ein „bestes“ Verfahren zu finden. Die Definition von „am besten“ hängt davon ab, welche Eigenschaften des Verfahrens wünschenswert sind. Nachstehend eine Liste von Kriterien, die einige zur Bewertung von Wahlverfahren herangezogen haben, um zu der Schlussfolgerung zu gelangen, welches Verfahren „das beste“ ist.
Condorcet Winner

Im Jahr 1770 schlug Jean Charles de Borda vor, die Borda-Zählung zur Bestimmung der Aufnahme in die französische Akademie der Wissenschaften zu verwenden. 1785 argumentierte Marie-Jean-Antoine-Nicolas de Caritat Condorcet (der Marquis du Condorcet), dass die Borda-Zählung fehlerhaft sei, da sie nicht notwendigerweise einen Kandidaten wähle, der alle anderen Kandidaten in einer Kopf-an-Kopf-Wahl besiege. Condorcet überlegte, was bei Wahlen zwischen allen Kandidatenpaaren passieren würde, und verallgemeinerte die Mehrheitsregel auf eine andere Art und Weise. Betrachten wir das folgende Beispiel, in dem fünf Wähler die vier Kandidaten A, B, C und D in eine Rangfolge bringen.

Für die oben genannten Präferenzdaten, Bei einer Kopf-an-Kopf-Wahl zwischen zwei Kandidaten muss einer aufgrund der ungeraden Zahl der Wähler mehr Stimmen erhalten als der andere. Zum Beispiel besiegt D A, weil drei Wähler D gegenüber A bevorzugen (die Wähler, deren Präferenzen in den Spalten 2, 3 und 4 oben stehen), während nur zwei Wähler A gegenüber D bevorzugen (die Wähler, deren Präferenzen in den Spalten 1 und 5 oben stehen). Ähnliche Berechnungen können verwendet werden, um zu zeigen, dass D A, B und C in paarweisen Wettbewerben besiegt. Condorcet vertrat die Ansicht, dass ein Kandidat gewählt werden sollte, der jeden anderen Kandidaten in Kopf-an-Kopf-Wahlen nach dem Mehrheitsprinzip besiegt. Ein solcher Kandidat wird als „Condorcet-Gewinner“ bezeichnet. Die Kopf-an-Kopf-Wahldaten für das obige Beispiel sind unten aufgeführt.

Die Borda-Auszählung kann nicht den Condorcet-Gewinner wählen
Condorcet hielt die Borda-Auszählung für fehlerhaft, weil sie nicht unbedingt den Condorcet-Gewinner wählen würde. Das obige Beispiel mit fünf Wählern (in dem die Präferenzen der Wähler für die Kandidaten A, B, C und D gelten) liefert den Beweis. Der Wahlvektor der Borda-Zählung ist links von den Präferenzen angegeben.

Kandidaten A, B, C und D erhalten 10, 5, 6 bzw. 9 Punkte. Daher gewinnt A die Wahl nach der Borda-Zählung, im Gegensatz zum Condorcet-Gewinner D.

Die Punkte von A: 2*3 + 3*2 + 0*1 + 1*0 = 10 B’s Punkte: 1*3 + 1*2 + 0*1 + 3*0 = 5
C’s Punkte: 0*3 + 2*2 + 2*1 + 1*0 = 6 D’s points: 2*3 + 0*2 + 3*1 + 0*0 = 9

Unglücklicherweise gibt es nicht immer einen Condorcet-Gewinner. (Siehe Kasten) Ein Wahlverfahren, das immer den Condorcet-Gewinner wählt, wenn es einen gibt, erfüllt das „Condorcet-Kriterium“. Viele Mathematiker und Wahltheoretiker haben Verfahren vorgeschlagen, die das Condorcet-Kriterium erfüllen, darunter der englische Mathematiker Charles Dodgson. Obwohl er ein mathematischer Dozent an der Christ Church, Cambridge University war, ist Dodgson besser unter seinem Pseudonym Lewis Carroll, dem Autor von Alice’s Adventures in Wonderland, bekannt.

Ein Wahlverfahren sollte einfach zu handhaben und leicht verständlich sein
, damit die Wähler ihre Präferenzen für die Kandidaten genau wiedergeben können. Außerdem sollte ein Wahlverfahren für die Wähler leicht verständlich sein, damit das Vertrauen in das Wahlergebnis gegeben ist. Wenn ein „bestes“ Wahlverfahren zu kompliziert zu benutzen oder zu verstehen ist, dann werden die Wähler dem Wahlergebnis möglicherweise nicht vertrauen, unabhängig davon, ob die Mathematik das Verfahren als „bestes“ getauft hat oder nicht.

Wenn beispielsweise die Zahl der Kandidaten zunimmt, kann es unpraktisch sein, davon auszugehen, dass die Wähler alle Kandidaten in eine Rangfolge bringen können (siehe „Wie man wählt“), wie es bei den meisten Wahlverfahren erforderlich ist. Brams und Fishburn befürworten das Zustimmungswahlverfahren, weil es leicht verständlich ist und die Wähler nur über die Zustimmung oder Ablehnung der Kandidaten entscheiden müssen. Andere haben argumentiert, dass das Zustimmungsvotum zu viel Flexibilität bietet. Selbst wenn zwei Wähler die Kandidaten gleich einstufen, können sie sie unterschiedlich in die beiden Kategorien „Zustimmung“ und „Ablehnung“ einteilen, so dass die Rangfolge der Präferenzen nicht ausreicht, um ein Wahlergebnis zu bestimmen.

Am wenigsten manipulierbar
Das Ziel eines Wahlverfahrens ist es, ein Ergebnis zu ermitteln, das den Willen des Volkes repräsentiert. Da die Wähler ihre wahre Einschätzung der Kandidaten falsch darstellen und den Wahlausgang in einer Weise beeinflussen können, die das Ergebnis verbessert (z. B. indem sie für einen zweitpräferierten Kandidaten stimmen, wenn ihre erste Wahl in den Umfragen weit abgeschlagen ist), würde ein „bestes“ Wahlverfahren verhindern, dass die Wähler ihre Präferenzen falsch darstellen, um ein besseres Ergebnis zu erzielen. In der Wahltheorie wird diese Eigenschaft als „strategiesicher“ bezeichnet. Das heißt, ein Wahlverfahren ist strategiesicher, wenn es nie im Interesse eines Wählers liegt, strategisch zu wählen und seine Präferenzen falsch darzustellen. Gibt es ein solches strategiesicheres Verfahren?

Gleichzeitige Entdeckung!

Allan Gibbard und Mark Satterthwaite haben unabhängig voneinander bewiesen, was als das Gibbard-Satterthwaite-Theorem bekannt geworden ist, das besagt, dass es – abgesehen von einer Diktatur – kein strategiesicheres Verfahren für Wahlen mit drei oder mehr Kandidaten gibt. Gibbard veröffentlichte 1973 einen Artikel mit diesem Ergebnis. Der Beitrag von Satterthwaite war Teil seiner Doktorarbeit an der Universität von Wisconsin. Obwohl sie unabhängig voneinander und ohne Kenntnis der Arbeit des anderen durchgeführt wurden, konnte Satterthwaite das Ergebnis in seiner Dissertation nicht veröffentlichen, da Gibbards Arbeit bereits zur Veröffentlichung angenommen worden war. Er veröffentlichte 1975 eine Version, in der er das Ergebnis mit dem Arrow’s Theorem verknüpfte.

Mark Satterthwaite
Siehe „Referenzen und Links“ für bibliographische Referenzen.

Unglücklicherweise zeigten Allan Gibbard und Mark Satterthwaite in einem Arrow-ähnlichen Ergebnis, dass das einzige strategiesichere Wahlverfahren für drei oder mehr Kandidaten eine Diktatur ist! Ihre Arbeiten wurden unabhängig voneinander in den 1970er Jahren durchgeführt.

Da alle Wahlverfahren, die keine Diktatur sind, anfällig für strategisches Wählen sind, ist die nächste Frage, ob es ein Verfahren gibt, das die Wahrscheinlichkeit, dass strategisches Wählen nützlich ist, minimiert. Donald G. Saari, University of California, Irvine, hat diese Frage gestellt und beantwortet. Er bewies, dass die Borda-Auszählung die Wahrscheinlichkeit minimiert, dass eine falsche Darstellung der Präferenzen oder eine strategische Stimmabgabe zum Vorteil genutzt werden kann.

Eine definitive Antwort?
Für eine Wahl mit drei oder mehr Kandidaten gibt es keine definitive Antwort auf die Frage, was das beste Verfahren ist. Die Antwort ist relativ. Das beste Verfahren kann vom Kontext abhängen (z. B. davon, wie viele Kandidaten es gibt) und davon, welche Eigenschaften für die Wahl als wichtig erachtet werden. Eines ist sicher: Stimmen Sie nicht darüber ab, welches Wahlverfahren zu verwenden ist!