PÄIVITYS (14.3.2019, 13:18): Google ilmoitti torstaina, että yksi sen työntekijöistä, Emma Haruka Iwao, oli löytänyt lähes 9 triljoonaa uutta piin numeroa, mikä on uusi ennätys. Ihmiset ovat nyt laskeneet loputtoman luvun 31 415 926 535 897 (tajuatko?) – noin 31,4 biljoonaan – desimaaliin asti. Se on pii-päivän ihme!

Julkaisimme aiemmin jutun siitä, miten ihmiset tavoittelevat pi:n ääretöntä numerosarjaa. Pi:n päivän ja 9 triljoonan tunnetun ylimääräisen numeron juhlistamiseksi olemme päivittäneet tuon jutun alla.

Riippuen filosofisista näkemyksistäsi ajasta, kalentereista ja niin edelleen, tänään on jotakuinkin 4,5 miljardia kertaa Pi:n päivä, jonka maapallo on nähnyt. Mutta tuo pitkä historia ei ole mitään verrattuna itse piin äärettömyyteen.

Virkistystä niille teistä, jotka ovat unohtaneet seiskaluokan matematiikan tunnit1: Pi eli kreikankielinen kirjain on matemaattinen vakio, joka on yhtä suuri kuin ympyrän kehän ja halkaisijan suhde – C/d. Se piilee jokaisessa ympyrässä, ja sen arvo on noin 3,14. (Tästä johtuu 14. maaliskuuta vietettävä pii-päivä eli 3/14.)

Mutta sen määritelmän yksinkertaisuus pettää piin aseman maailmanhistorian kiehtovimpana ja tutkituimpana lukuna. Vaikka usein riittää, että pi:n katsotaan olevan yhtä kuin 3,14, luku jatkuu todellisuudessa ikuisesti, näennäisen satunnaisena numerosarjana, joka kiertää äärettömästi ulospäin eikä noudata mitään havaittavaa kaavaa – 3.141515926535898979…. Tämä johtuu siitä, että se on irrationaaliluku, mikä tarkoittaa, että sitä ei voida esittää kahden kokonaisluvun murtoluvulla (vaikka likiarvot, kuten 22/7, pääsevätkin lähelle).

Mutta se ei ole estänyt ihmiskuntaa raivokkaasti pilkkomasta pi:n loputonta numerovuorta. Olemme tehneet sitä vuosituhansien ajan.

Ihmiset ovat olleet kiinnostuneita luvusta periaatteessa yhtä kauan kuin olemme ymmärtäneet matematiikkaa. Muinaiset egyptiläiset tiesivät erään asiakirjan mukaan, joka sattuu olemaan myös maailman vanhin kokoelma matemaattisia arvoituksia, että pii oli jotakuinkin 3,1. Noin vuosituhatta myöhemmin arvio piistä ilmestyi Raamattuun: Vanha testamentti, 1. Kuninkaiden kirja, näyttää antavan ymmärtää, että pi on yhtä suuri kuin 3: ”Ja hän teki sulan meren, kymmenen kyynärää yhdestä reunasta toiseen; se oli pyöreä ympäriinsä … ja kolmekymmentä kyynärää pitkä viiva kiersi sen ympäri.”

Arkhimedees, antiikin suurin matemaatikko, pääsi 3,141:een asti noin vuonna 250 eaa. Arkhimedees lähestyi piin laskemista geometrisesti asettamalla ympyrän kahden suorareunaisen säännöllisen monikulmion väliin. Monikulmioiden mittaaminen oli helpompaa kuin ympyröiden mittaaminen, ja Arkhimedes mittasi piitä muistuttavia suhdelukuja sitä mukaa, kun monikulmioiden sivujen lukumäärä kasvoi, kunnes ne muistuttivat läheisesti ympyröitä.

Merkittäviä parannuksia Arkhimedeksen menetelmään ei tulisi vielä satoihin vuosiin. Käyttämällä uutta integrointitekniikkaa matemaatikot, kuten Gottfried Leibniz, yksi laskutoimituksen isistä, pystyivät todistamaan piille sellaisia tyylikkäitä yhtälöitä kuin:

\begin{equation*}\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\ldots\end{equation*}

Oikea puoli jatkuu ikuisesti, aivan kuten piikin. Jos lisäät ja vähennät ja lisäät ja vähennät kaikki nuo yksinkertaiset murtoluvut, pääset yhä lähemmäs piin todellista arvoa. Ongelmana on, että se tapahtuu hyvin, hyvin hitaasti. Saadaksesi vain 10 oikeaa numeroa pi:stä sinun pitäisi laskea yhteen noin 5 miljardia murtolukua.

Mutta tehokkaampia kaavoja löydettiin. Otetaan esimerkiksi tämä, jonka on laatinut Leonhard Euler, luultavasti kaikkien aikojen suurin matemaatikko, 1700-luvulla:

\begin{equation*}\frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\ldots\end{equation*}

Ja intialainen itseoppinut matemaattinen nero Srinivasa Ramanujan löysi alla olevan täysin yllättävän ja omituisen yhtälön 1900-luvun alussa. Jokainen lisätermi tässä summassa lisää kahdeksan oikeaa numeroa piin arvioon:

\begin{equation*}\frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{9801}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}\end{yhtälö*}

Samoin kuin suurten alkulukujen etsinnässä, tietokoneet räjäyttivät tämän pi-numeron etsinnän pois Maan kiertoradalta ja syvälle avaruuteen 1900-luvun puolivälistä alkaen. ENIAC, varhainen elektroninen tietokone ja ainoa tietokone Yhdysvalloissa vuonna 1949, laski pi:n yli 2 000 paikkaan, mikä lähes kaksinkertaisti ennätyksen.

Kun tietokoneet nopeutuivat ja muistia tuli enemmän saataville, pi:n numerot alkoivat pudota kuin dominopalikat, juosten kilpaa alaspäin luvun ääretöntä linjaa, mahdottoman kauas, muttei myöskään koskaan lähemmäs loppua. Ramanujanin kaavan pohjalta matemaattiset veljekset Gregory ja David Chudnovsky laskivat 1990-luvun alussa yli kaksi miljardia pii-luvun numeroa kotitekoisella supertietokoneella, joka sijaitsi ahtaassa ja helteisessä Manhattanin asunnossa. Muutaman vuoden kuluttua he kaksinkertaistivat lukunsa 4 miljardiin numeroon.

Nykyinen ennätys on nyt noin 31,4 triljoonaa numeroa – tuhansia kertoja enemmän kuin Chudnovskyjen kotitekoinen supertietokone sai aikaan. Googlen työntekijä laski sen 121 päivän aikana vapaasti saatavilla olevalla y-cruncher-nimisellä ohjelmalla ja tarkisti sen vielä 48 tunnin numeronmurskaussessioilla. Laskelma vei suunnilleen yhtä paljon tallennustilaa kuin kongressin kirjaston koko digitaalinen tietokanta. Emma Haruka Iwao, nainen ennätyksen takana, on laskenut piitä tietokoneilla lapsesta asti.

Iwaon laskuteko lisäsi ihmiskunnan kollektiivista tietämystä piin luvuista noin 40 prosentilla. Aiempi ennätys oli yli 22 triljoonaa numeroa, joka oli laskettu 105 päivän laskutoimituksen jälkeen Dellin palvelimella, myös y-cruncheria käyttäen. Kyseistä ohjelmaa, joka käyttää sekä Ramanujanin että Chudnovskyn kaavoja, on käytetty löytämään ennätysmäärä numeroita paitsi piille myös muille loputtomille irrationaaliluvuille, kuten e:lle, , ja kultaiselle leikkaukselle.

Mutta ehkäpä 31 triljoonaa numeroa on vain hieman liikaa. NASA:n Jet Propulsion Laboratory käyttää vain 15:tä pi:n numeroa tarkimpiin laskelmiinsa planeettojen välisessä navigoinnissa. Hitto, Isaac Newton tiesi jo 350 vuotta sitten yhtä monta numeroa. ”Arvo 40 numeron tarkkuudella olisi enemmän kuin riittävä Linnunradan galaksin kehän laskemiseen protonin kokoista virhettä pienemmällä virheellä”, kirjoitti tutkijaryhmä numeron hyödyllisessä historiassaan. Miksi siis tarvitsisimme 31 triljoonaa numeroa?

Totta kai olemme oppineet hieman matematiikan teoriaa kaivellessamme syvälle piiin: nopeista Fourier-muunnoksista ja siitä, että pii on luultavasti niin sanottu normaali luku. Mutta tyydyttävämpi vastaus näyttää minusta siltä, ettei sillä ole mitään tekemistä matematiikan kanssa. Ehkä se liittyy siihen, mitä presidentti John F. Kennedy sanoi avaruusohjelman rakentamisesta. Teemme tällaisia asioita ”emme siksi, että ne ovat helppoja, vaan siksi, että ne ovat vaikeita; siksi, että tämä tavoite palvelee parhaiden energiamme ja taitojemme organisoimista ja mittaamista.”

Mutta on yksi merkittävä ero: Kuu ei ole äärettömän kaukana, vaan voimme todella päästä sinne. Ehkä tämä kuuluisa sitaatti shakista on osuvampi: ”Elämä ei ole tarpeeksi pitkä shakille – mutta se on elämän vika, ei shakin.”

Pi on liian pitkä ihmiskunnalle. Mutta se on ihmiskunnan vika, ei pi:n. Hyvää pii-päivää.