Oppimistavoitteet
Tämän jakson lopussa osaat:
- Tunnistaa Carnot’n syklin.
- Laskemaan ydinreaktorin teoreettisen maksimihyötysuhteen.
- Erittelemään, miten dissipatiiviset prosessit vaikuttavat ideaaliseen Carnot’n moottoriin.
Kuva 1. Juomalintu (luotto: Arabesk.nl, Wikimedia Commons)
Juomalintuna tunnettu uutuuslelu (kuvassa 1) on esimerkki Carnot’n moottorista. Se sisältää vatsassaan metyleenikloridia (johon on sekoitettu väriainetta), joka kiehuu hyvin alhaisessa lämpötilassa – noin 100ºF . Käyttöä varten linnun pää kastellaan. Kun vesi haihtuu, neste siirtyy ylös päähän, jolloin linnusta tulee ylhäältä painava ja se sukeltaa eteenpäin takaisin veteen. Tämä jäähdyttää päässä olevan metyleenikloridin, ja se siirtyy takaisin vatsaan, jolloin linnusta tulee pohjapainoinen ja se kallistuu ylöspäin. Lukuun ottamatta hyvin pientä energiantuottoa – alkuperäistä pään kastumista – linnusta tulee eräänlainen ikiliikkuja.
Termodynamiikan toisesta laista tiedämme, että lämpövoimakone ei voi olla 100-prosenttisen tehokas, koska siinä on aina siirryttävä jonkin verran lämpöä Qc ympäristöön, jota usein kutsutaan hukkalämmöksi. Kuinka tehokas lämpövoimakone voi siis olla? Nuori ranskalainen insinööri Sadi Carnot (1796-1832) vastasi tähän kysymykseen teoreettisella tasolla vuonna 1824 tutkimuksessaan, joka koski teollisen vallankumouksen kannalta ratkaisevan tärkeää, tuolloin syntymässä olevaa lämpövoimakoneiden teknologiaa. Hän kehitti teoreettisen syklin, jota nykyään kutsutaan Carnot’n sykliksi ja joka on tehokkain mahdollinen syklinen prosessi. Termodynamiikan toinen laki voidaan muotoilla uudelleen Carnot’n syklin avulla, joten Carnot itse asiassa löysi tämän peruslain. Mitä tahansa lämpökonetta, joka käyttää Carnot’n sykliä, kutsutaan Carnot’n moottoriksi.
Carnot’n syklissä on ratkaisevaa – ja itse asiassa se määrittelee sen – että siinä käytetään vain palautuvia prosesseja. Irreversiibeleihin prosesseihin liittyy dissipatiivisia tekijöitä, kuten kitkaa ja turbulenssia. Tämä lisää lämmön siirtymistä Qc ympäristöön ja heikentää moottorin hyötysuhdetta. On siis ilmeistä, että reversiibelit prosessit ovat ylivoimaisia.
Carnot-moottori
Reversiibelien prosessien muodossa termodynamiikan toinen laki saa kolmannen muodon:
Kahden tietyn lämpötilan välillä toimivan Carnot-moottorin hyötysuhde on kaikista näiden kahden lämpötilan välillä toimivista lämpövoimakoneista suurin mahdollinen. Lisäksi kaikilla moottoreilla, jotka käyttävät vain reversiibeleitä prosesseja, on tämä sama suurin hyötysuhde, kun ne toimivat samojen annettujen lämpötilojen välillä.
Kuvassa 2 on esitetty Carnot’n syklin PV-kaavio. Sykli koostuu kahdesta isotermisestä ja kahdesta adiabaattisesta prosessista. Muistutetaan, että sekä isotermiset että adiabaattiset prosessit ovat periaatteessa palautuvia.
Carnot määritti myös täydellisen lämpövoimakoneen – eli Carnot’n moottorin – hyötysuhteen. On aina totta, että syklisen lämpövoimakoneen hyötysuhde saadaan seuraavasti:
\displaystyle{Eff}=\frac{Q_{\text{h}}-Q_{\text{c}}}{Q_{\text{h}}}=1-\frac{Q_{\text{h}}}{Q_{\text{c}}}{Q_{\text{h}}}\\\\\
Carnot havaitsi, että täydelliselle lämpövoimakoneelle, suhde \frac{Q_{\text{c}}}{Q_{\text{h}}}\\\ on yhtä suuri kuin lämpösäiliöiden absoluuttisten lämpötilojen suhde. Toisin sanoen \frac{Q_{\text{c}}}{Q_{\text{h}}}=\frac{T_{\text{c}}}{T_{\text{h}}}\\\ Carnot’n moottorille, joten maksimi- eli Carnot-hyötysuhde EffC saadaan
\displaystyle{Eff}_{\text{C}}=1-\frac{T_{\text{c}}}{T_{\text{h}}}\\\
jossa Th ja Tc ovat kelvineissä (tai jossakin muussa absoluuttisessa lämpötila-asteikossa). Mikään todellinen lämpövoimakone ei pysty yhtä hyvin kuin Carnot’n hyötysuhde – todellinen hyötysuhde, joka on noin 0,7 tästä maksimista, on yleensä paras saavutettavissa oleva hyötysuhde. Mutta ihanteellisella Carnot’n moottorilla, kuten edellä mainitulla juomalinnulla, vaikka se onkin kiehtova uutuus, on nollateho. Tämä tekee siitä epärealistisen mihinkään sovelluksiin.
Carnot’n mielenkiintoinen tulos merkitsee, että 100 prosentin hyötysuhde olisi mahdollinen vain, jos Tc = 0 K – toisin sanoen vain, jos kylmäsäiliö olisi absoluuttisessa nollapisteessä, mikä on käytännössä ja teoreettisesti mahdotonta. Aivan kuten edellisessä jaksossa käsiteltiin Otto-syklin osalta, tämä tarkoittaa, että hyötysuhde on suurin, kun kuuman säiliön lämpötila on mahdollisimman korkea ja kylmän säiliön lämpötila mahdollisimman alhainen. (Tämä asetelma kasvattaa suljetun silmukan sisäistä pinta-alaa PV-kaaviossa; lisäksi vaikuttaa järkevältä, että mitä suurempi lämpötilaero on, sitä helpompi on ohjata lämmönsiirto työhön). Lämpövoimakoneen todelliset säiliölämpötilat liittyvät yleensä lämmönlähteen tyyppiin ja sen ympäristön lämpötilaan, johon lämmönsiirto tapahtuu. Tarkastellaan seuraavaa esimerkkiä.
Kuvio 2. Lämpövoimakoneessa on lämpöä Q sub h, joka on esitetty lihavoidulla nuolella. PV-kaavio Carnot’n kierrosta, jossa käytetään vain reversiibeleitä isotermisiä ja adiabaattisia prosesseja. Lämmönsiirto Qh tapahtuu työaineeseen isotermisen polun AB aikana, joka tapahtuu vakiolämpötilassa Th. Lämmönsiirto Qc tapahtuu työaineesta ulos isotermisen polun CD aikana, joka tapahtuu vakiolämpötilassa Tc. Nettotyöteho W on yhtä suuri kuin polun ABCDA sisällä oleva pinta-ala. Kuvassa on myös kaaviokuva Carnot’n moottorista, joka toimii kuuman ja kylmän säiliön välillä lämpötiloissa Th ja Tc. Millä tahansa lämpövoimakoneella, joka käyttää reversiibeleitä prosesseja ja toimii näiden kahden lämpötilan välillä, on sama maksimihyötysuhde kuin Carnot-moottorilla.
Esimerkki 1. Ydinreaktorin teoreettinen maksimihyötysuhde
Ydinvoimareaktorissa on paineistettua vettä 300 ºC:n lämpötilassa (korkeammat lämpötilat ovat teoreettisesti mahdollisia, mutta käytännössä eivät reaktorissa käytettävien materiaalien rajoitusten vuoksi). Lämmönsiirto tästä vedestä on monimutkainen prosessi (ks. kuva 3). Höyrygeneraattorissa tuotettua höyryä käytetään turbiinigeneraattoreiden käyttämiseen. Lopulta höyry lauhdutetaan vedeksi, jonka lämpötila on 27 ºC, ja se kuumennetaan uudelleen kierron aloittamiseksi alusta. Laske näiden kahden lämpötilan välillä toimivan lämpövoimakoneen suurin teoreettinen hyötysuhde.
Kuva 3. Jäähdytystorni. Kaaviokuva painevesiydinreaktorista ja höyryturbiineista, jotka muuttavat työn sähköenergiaksi. Lämmönvaihtoa käytetään höyryn tuottamiseen osittain siksi, että vältetään generaattoreiden saastuminen radioaktiivisuudella. Käytetään kahta turbiinia, koska se on edullisempaa kuin käyttää yhtä generaattoria, joka tuottaa saman määrän sähköenergiaa. Höyry lauhdutetaan nesteeksi ennen sen palauttamista lämmönvaihtimeen, jotta poistohöyryn paine pysyy alhaisena ja höyryn virtaus turbiinien läpi helpottuu (vastaa alhaisemman lämpötilan kylmän säiliön käyttöä). Kondensaatioon liittyvä huomattava energia on haihdutettava paikalliseen ympäristöön; tässä esimerkissä käytetään jäähdytystornia, joten suoraa lämmönsiirtoa vesiympäristöön ei tapahdu. (Huomaa, että jäähdytystorniin menevä vesi ei joudu kosketuksiin turbiinien yli virtaavan höyryn kanssa.)
Strategia
Koska tämän lämpövoimakoneen kuumalle ja kylmälle säiliölle on annettu lämpötilat, {Eff}_{\text{C}}=1-\frac{T_{\text{c}}}{T_{\text{h}}}\\\\\\\\\\\´ä voidaan käyttää Carnot’n hyötysuhteen (teoreettisen maksimihyötysuhteen) laskemiseksi. Nämä lämpötilat on ensin muunnettava kelvineiksi.
Liuos
Kuuman ja kylmän säiliön lämpötiloiksi annetaan 300ºC ja 27,0ºC. Kelvineissä siis Th = 573 K ja Tc = 300 K, joten maksimihyötysuhde on \displaystyle{Eff}_{\text{C}}=1-\frac{T_{\text{c}}}{T_{\text{h}}}\\\.
Tällöin,
\begin{array}{lll}{Eff}_{\text{C}}&=&=&1-\frac{300\text{ K}}{573\text{ K}}\\\text{ }&=&0.476\text{, tai }47.6\%\end{array}\\\
Keskustelu
Tyypillisen ydinvoimalan todellinen hyötysuhde on noin 35 %, mikä on hieman yli 0,7-kertainen suurimpaan mahdolliseen arvoon nähden, mikä on kunnianosoitus ylivertaiselle suunnittelulle. Kivihiilellä, öljyllä ja maakaasulla toimivien sähkövoimaloiden todelliset hyötysuhteet ovat suuremmat (noin 42 %), koska niiden kattilat voivat saavuttaa korkeampia lämpötiloja ja paineita. Paikallinen ympäristö rajoittaa kylmän säiliön lämpötilaa kaikissa näissä voimalaitoksissa. Kuvassa 4 on esitetty (a) ydinvoimalaitoksen ulkoasu ja (b) hiilivoimalaitoksen ulkoasu. Molemmissa on jäähdytystornit, joihin lauhduttimesta tuleva vesi tulee tornin huipun läheisyyteen ja suihkutetaan alaspäin, jolloin se jäähdytetään haihtumalla.
Kuva 4. (a) Ydinvoimalaa (luotto: BlatantWorld.com) ja (b) hiilivoimalaa. Molemmissa on jäähdytystornit, joissa vesi haihtuu ympäristöön, mikä edustaa Qc:tä. Ydinreaktori, joka tuottaa Qh:n, sijaitsee kupolimuotoisten suojarakennusten sisällä. (luotto: Robert & Mihaela Vicol, publicphoto.org)
Koska kaikki todelliset prosessit ovat irreversiibeleitä, lämpövoimakoneen todellinen hyötysuhde ei voi koskaan olla yhtä suuri kuin Carnot’n moottorin hyötysuhde, kuten kuvassa 5a on esitetty. Vaikka lämpövoimakone olisi paras mahdollinen, oheislaitteissa, kuten sähkömuuntajissa tai autojen vaihteistoissa, on aina häviäviä prosesseja. Nämä pienentävät kokonaishyötysuhdetta entisestään muuntamalla osan moottorin työtehosta takaisin lämmönsiirtoon, kuten kuvassa 5b on esitetty.
Kuva 5. Todelliset lämpövoimakoneet ovat tehottomampia kuin Carnot’n moottorit. (a) Todellisissa moottoreissa käytetään palautumattomia prosesseja, jolloin lämmönsiirto vähenee työksi. Yhtenäiset viivat kuvaavat todellista prosessia; katkoviivat kuvaavat sitä, mitä Carnot-moottori tekisi samojen kahden säiliön välillä. (b) Kitka ja muut dissipatiiviset prosessit lämpövoimakoneen ulostulomekanismeissa muuttavat osan sen tuottamasta työstä lämmönsiirroksi ympäristöön.
Jakson yhteenveto
- Carnot’n sykli on teoreettinen sykli, joka on tehokkain mahdollinen syklinen prosessi. Mikä tahansa Carnot’n sykliä käyttävä moottori, joka käyttää vain reversiibeleitä prosesseja (adiabaattisia ja isotermisiä), tunnetaan Carnot’n moottorina.
- Mikä tahansa moottori, joka käyttää Carnot’n sykliä, nauttii suurinta teoreettista hyötysuhdetta.
- Kun Carnot’n moottorit ovat ideaalisia moottoreita, todellisuudessa yksikään moottori ei saavuta Carnot’n teoreettista maksimihyötysuhdetta, koska dissipatiivisilla prosesseilla, kuten kitkalla, on merkitystä. Carnot’n syklit ilman lämpöhäviöitä voivat olla mahdollisia absoluuttisessa nollapisteessä, mutta sellaista ei ole koskaan nähty luonnossa.
Käsitteellisiä kysymyksiä
- Ajattele tämän kappaleen alussa olevaa juomalintua (kuva 1). Vaikka lintu nauttii teoreettisesti suurinta mahdollista tehokkuutta, jos se jätetään ajan mittaan oman onnensa nojaan, lintu lakkaa ”juomasta”. Mitkä ovat joitakin dissipatiivisia prosesseja, jotka saattaisivat aiheuttaa linnun liikkeen loppumisen?
- Voidaanko lämpövoimakoneissa käyttää parempaa tekniikkaa ja materiaaleja lämmön siirtymisen vähentämiseksi ympäristöön? Voidaanko niillä poistaa lämmön siirtyminen ympäristöön kokonaan?
- Muuttaako termodynamiikan toinen laki energian säilymisperiaatetta?
Problematiikka & Tehtäviä
1. Erään bensiinimoottorin hyötysuhde on 30,0 %. Mikä olisi tämän hyötysuhteen omaavan Carnot’n moottorin kuuman säiliön lämpötila, jos se toimii kylmän säiliön lämpötilan ollessa 200ºC?
2. Kaasujäähdytteinen ydinreaktori toimii kuuman ja kylmän säiliön lämpötilojen 700ºC ja 27,0ºC välillä. (a) Mikä on näiden lämpötilojen välillä toimivan lämpövoimakoneen suurin hyötysuhde? (b) Etsi tämän hyötysuhteen suhde tavanomaisen ydinreaktorin Carnot-hyötysuhteeseen (löydetty esimerkissä 1).
3. (a) Mikä on sellaisen Carnot-moottorin kuuman säiliön lämpötila, jonka hyötysuhde on 42,0 % ja kylmän säiliön lämpötila 27,0ºC? (b) Mikä kuuman säiliön lämpötilan on oltava todellisessa lämpövoimakoneessa, joka saavuttaa 0,700 maksimihyötysuhteesta, mutta jonka hyötysuhde on silti 42,0 % (ja jonka kylmä säiliö on 27,0ºC)? (c) Merkitseekö vastauksesi käytännön rajoja autojen bensiinimoottoreiden hyötysuhteelle?
4. Höyryvetureiden hyötysuhde on 17,0 % ja ne toimivat 425ºC:n kuumalla höyryn lämpötilalla. (a) Mikä olisi kylmän säiliön lämpötila, jos kyseessä olisi Carnot’n moottori? (b) Mikä olisi tämän höyryveturin suurin hyötysuhde, jos sen kylmän säiliön lämpötila olisi 150ºC?
5. Käytännön höyrykoneissa käytetään 450 ºC:n höyryä, joka myöhemmin poistuu 270 ºC:n lämpötilassa. (a) Mikä on suurin hyötysuhde, joka tällaisella lämpökoneella voi olla? (b) Koska 270ºC:n höyry on vielä melko kuumaa, toista höyrykonetta käytetään joskus ensimmäisen höyrykoneen pakokaasulla. Mikä on toisen moottorin suurin hyötysuhde, jos sen pakokaasun lämpötila on 150ºC? (c) Mikä on näiden kahden moottorin kokonaishyötysuhde? (d) Osoita, että tämä on sama hyötysuhde kuin yhdellä Carnot’n moottorilla, joka toimii 450ºC:n ja 150ºC:n välillä.
6. Hiilellä toimivan sähkövoimalaitoksen hyötysuhde on 38 %. Kattilasta lähtevän höyryn lämpötila on \text{550}\text{³”a} \text{³”a}. Kuinka monta prosenttia maksimihyötysuhteesta tämä voimala saa? (Oletetaan, että ympäristön lämpötila on \text{20}\text{\textordmasculine }\text{C} .)
7. Olisitko valmis tukemaan taloudellisesti keksijää, joka markkinoi laitetta, jonka hän väittää luovuttavan 25 kJ lämpöä 600 K:n lämpötilassa, luovuttavan lämpöä ympäristöön 300 K:n lämpötilassa ja tekevän 12 kJ työtä? Selitä vastauksesi.
8. Kohtuuttomat tulokset (a) Oletetaan, että haluat suunnitella höyrykoneen, jonka lämmönsiirto ympäristöön tapahtuu 270ºC:ssa ja jonka Carnot-hyötysuhde on 0,800. Mitä kuuman höyryn lämpötilaa sinun on käytettävä? (b) Mikä lämpötilassa on kohtuutonta? (c) Mikä lähtökohta on kohtuuton?
9. Kohtuuttomat tulokset Laske kylmän säiliön lämpötila höyrykoneelle, joka käyttää 450 ºC:n kuumaa höyryä ja jonka Carnot-hyötysuhde on 0,700. (b) Mikä lämpötilassa on kohtuutonta? (c) Mikä lähtökohta on kohtuuton?
Sanasto
Carnot’n sykli: syklinen prosessi, jossa käytetään vain reversiibeleitä prosesseja, adiabaattisia ja isotermisiä prosesseja
Carnot’n moottori: lämpövoimakone, joka käyttää Carnot’n sykliä
Carnot’n hyötysuhde: lämpövoimakoneen teoreettinen maksimihyötysuhde
Valittuja ongelmanratkaisutehtäviä & Tehtäviä
1. 403ºC
3. (a) 244ºC; (b) 477ºC; (c)Kyllä, koska autojen moottorit eivät voi kuumentua liikaa ylikuumenematta, niiden hyötysuhde on rajallinen.
5. (a) {\mathit{\text{Eff}}}_{\text{1}}=1-\frac{{T}_{\text{c,1}}}{{T}_{\text{h,1}}}=1-\frac{\text{543 K}}{\text{723 K}}=0\text{.}\text{249}\text{ or }\text{24}\text{.}9\%%\\
(b) {\mathit{\text{Eff}}}_{2}=1-\frac{\text{423 K}}{\text{543 K}}=0\text{.}\text{221}\text{ tai }\text{22}\text{.}1\%\\
(c) {\mathit{\text{Eff}}}_{1}=1-\frac{{T}_{\text{c,1}}}{{T}_{\text{h,1}}}\Rightarrow{T}_{\text{c,1}}={T}_{\text{h,1}}\left(1,-,{\mathit{\text{eff}}}_{1}\right)\text{similarly, }{T}_{\text{c,2}}={T}_{\text{h,2}}\left(1-{\mathit{\text{Eff}}}_{2}\right)\\
using Th,2 = Tc,1 in above equation gives
\begin{array}{l}{T}_{\text{c,2}}={T}_{\text{h,1}}\left(1-{Eff}_{1}\right)\left(1-{Eff}_{2}\right)\equiv{T}_{\text{h,1}}\left(1-{Eff}_{\text{overall}}\right)\\\therefore\left(1-{Eff}_{\text{overall}}\right)=\left(1-{\mathit{\text{Eff}}}_{1}\right)\left(1-{Eff}_{2}\right)\\{Eff}_{\text{overall}}=1-\left(1-0.249\right)\left(1-0.221\right)=41.5\%\end{array}\\\
(d) {\text{Eff}}_{\text{overall}}=1-\frac{\text{423 K}}{\text{723 K}}=0\text{.}\text{.}\text{415}\text{ tai {\text{41}\text{.}.}5\\\\%\\\\\
7. Lämmönsiirto kylmään säiliöön on {Q}_{\text{c}}={Q}_{\text{h}}-W=\text{25}\text{kJ}-\text{12}\text{kJ}=\text{13}\text{kJ}\\\, so the efficiency is \mathit{Eff}=1-\frac{{Q}_{\text{c}}}{{Q}_{\text{h}}}=1-\frac{\text{13}\text{kJ}}{\text{25}\text{kJ}}=0\text{.}\text{48}\\\. The Carnot efficiency is {\mathit{\text{Eff}}}_{\text{C}}=1-\frac{{T}_{\text{c}}}{{T}_{\text{h}}}=1-\frac{\text{300}\text{K}}{\text{600}\text{K}}=0\text{.}\text{50}\\. Todellinen hyötysuhde on 96 % Carnot’n hyötysuhteesta, mikä on paljon korkeampi kuin paras koskaan saavutettu noin 70 %, joten hänen järjestelmänsä on todennäköisesti vilpillinen.
9. (a) -56,3ºC (b) Lämpötila on liian kylmä höyrykoneen teholle (paikallinen ympäristö). Se on alle veden jäätymispisteen. (c) Oletettu hyötysuhde on liian korkea.