Arrow’n mahdottomuusteoria esittää karun tilanteen: mikään vaalimenettely ei täytä Arrow’n aksioomien joukkoa, paitsi diktatuuri. Tämä ei tarkoita, että demokratia olisi virheellinen ja että diktatuuri olisi ainoa järkevä hallitusmuoto. Jos Arrow’n aksioomat ovat liian tiukkoja eikä mikään vaalimenettely täytä aksioomia, joko pienemmällä aksioomien joukolla tai erilaisilla kriteereillä voidaan vertailla vaalimenettelyjä – tavoitteena löytää ”paras” menettely. ”Paras” määritellään suhteessa siihen, mitä ominaisuuksia menettelyltä toivotaan. Alla on luettelo kriteereistä, joita jotkut ovat käyttäneet vaalimenettelyjen arvioinnissa päätyäkseen päätelmäänsä siitä, mikä menettely tai mitkä menettelyt ovat ”parhaita”.”
Condorcet-voittaja

Vuonna 1770 Jean Charles de Borda ehdotti, että Borda-lukua käytettäisiin päättämään Ranskan tiedeakatemiaan pääsystä. Vuonna 1785 Marie-Jean-Antoine-Nicolas de Caritat Condorcet (markiisi du Condorcet) väitti, että Bordan laskenta oli virheellinen, koska se ei välttämättä valitse ehdokasta, joka päihittää kaikki muut ehdokkaat suorassa vaalissa. Condorcet pohti, mitä tapahtuisi kaikkien ehdokasparien välisissä vaaleissa, ja yleisti enemmistösääntöä eri tavalla. Tarkastellaan seuraavaa esimerkkiä, jossa viisi äänestäjää asettaa neljä ehdokasta A, B, C ja D paremmuusjärjestykseen.

Yllä oleville preferenssitiedoille, kahden ehdokkaan välisessä vastakkainasettelussa toisen on saatava enemmän ääniä kuin toisen, koska äänestäjien määrä on pariton. Esimerkiksi D voittaa A:n, koska kolme äänestäjää pitää D:tä parempana kuin A:ta (ne äänestäjät, joiden preferenssit ovat sarakkeissa 2, 3 ja 4 yllä), kun taas vain kaksi äänestäjää pitää A:ta parempana kuin D:tä (ne äänestäjät, joiden preferenssit ovat sarakkeissa 1 ja 5 yllä). Samanlaisia laskutoimituksia voidaan käyttää osoittamaan, että D voittaa A:n, B:n ja C:n parikilpailuissa. Condorcet väitti, että enemmistösäännön mukaisissa vastakkainvaaleissa olisi valittava ehdokas, joka voittaa jokaisen toisen ehdokkaan. Tällaista ehdokasta kutsutaan ”Condorcet-voittajaksi”. Yllä olevan esimerkin head-to-head-vaalitiedot näkyvät alla.

Borda-laskenta ei välttämättä valitse Condorcet-voittajaa
Condorcet piti Borda-laskentaa virheellisenä, koska se ei välttämättä valitse Condorcet-voittajaa. Yllä oleva viiden äänestäjän esimerkki (jossa äänestäjien preferenssit ovat ehdokkaita A, B, C ja D) tarjoaa todisteen. Borda count -äänestysvektori on kirjoitettu preferenssien vasemmalle puolelle.

Kandidaatit A, B, C ja D saavat 10, 5, 6 ja 9 pistettä. Näin ollen A voittaa vaalit Bordan laskennan mukaan, toisin kuin Condorcet-voittaja D.

A:n pisteet: 2*3 + 3*2 + 0*1 + 1*0 = 10 B:n pisteet: 1*3 + 1*2 + 0*1 + 3*0 = 5
C:n pisteet: 0*3 + 2*2 + 2*1 + 1*0 = 6 D:n pistettä: 2*3 + 0*2 + 3*1 + 0*0 = 9

Valitettavasti Condorcet-voittajaa ei aina ole olemassa. (Katso laatikkomerkintä.) Vaalimenettely, joka valitsee aina Condorcet-voittajan, kun sellainen on olemassa, täyttää ”Condorcet-kriteerin”. Monet matemaatikot ja äänestysteoreetikot ovat ehdottaneet Condorcet-kriteerin täyttäviä menettelyjä, muun muassa englantilainen matemaatikko Charles Dodgson. Vaikka hän toimi matemaattisena luennoitsijana Christ Churchissa Cambridgen yliopistossa, Dodgson tunnetaan paremmin kirjailijanimellään Lewis Carroll, Liisan seikkailut ihmemaassa -kirjan kirjoittaja.

Käyttökelpoisuus ja helppo ymmärrettävyys
Valintamenettelyn tulisi olla helppokäyttöinen, jotta äänestäjät pystyvät ilmaisemaan tarkasti mieltymyksensä ehdokkaista. Lisäksi vaalimenettelyn tulisi olla helposti äänestäjien ymmärrettävissä, jotta vaalitulokseen luotetaan. Jos ”paras” vaalimenettely on liian monimutkainen käyttää tai ymmärtää, äänestäjät eivät välttämättä luota vaalituloksiin riippumatta siitä, onko matematiikka ristinyt menettelyn ”parhaaksi” vai ei.

Esimerkiksi ehdokkaiden määrän kasvaessa voi olla epäkäytännöllistä olettaa, että äänestäjät osaavat asettaa kaikki ehdokkaat paremmuusjärjestykseen (ks. ”Miten äänestetään”), kuten useimpien vaalimenettelyjen yhteydessä edellytetään. Brams ja Fishburn ovat osittain kannattaneet hyväksymisäänestystä, koska se on helposti ymmärrettävissä ja vaatii äänestäjiä vain päättämään ehdokkaiden ”hyväksymisestä” tai ”hylkäämisestä”. Toiset ovat väittäneet, että hyväksymisäänestyksessä on liikaa joustavuutta. Vaikka kaksi äänestäjää voi asettaa ehdokkaat samaan paremmuusjärjestykseen, he voivat jakaa ehdokkaat kahteen kategoriaan ”hyväksyn” ja ”en hyväksy” eri tavalla, joten paremmuusjärjestyksen mukaiset mieltymykset eivät riitä määrittämään vaalitulosta.

Vähiten manipuloitavissa
Vaalimenettelyn tavoitteena on määrittää tulos, joka edustaa kansan tahtoa. Koska äänestäjät voivat vääristellä todellista sijoitustaan ehdokkaista ja vaikuttaa vaalitulokseen siten, että tulos paranee (esimerkiksi äänestämällä toiseksi mieluisinta ehdokasta, kun oma ykkösehdokas on kaukana jäljessä gallupeissa), ”paras” vaalimenettely estäisi äänestäjiä vääristelemästä preferenssejään paremman tuloksen saavuttamiseksi. Äänestysteoriassa tätä ominaisuutta kutsutaan ”strategiakestävyydeksi”. Toisin sanoen vaalimenettely on strategisesti varma, jos äänestäjän edun mukaista ei ole koskaan äänestää strategisesti ja vääristellä mieltymyksiään. Onko olemassa tällaista strategisesti varmaa menettelyä?

Simultaaninen löytö!

Allan Gibbard ja Mark Satterthwaite todistivat toisistaan riippumatta sen, mikä on tullut tunnetuksi Gibbardin ja Satterthwaiten teoreemana, jonka mukaan diktatuuria lukuun ottamatta ei ole olemassa strategisesti varmaa menettelyä kolmen tai useamman ehdokkaan välisille vaaleille. Gibbard julkaisi tuloksen sisältävän artikkelin vuonna 1973. Satterthwaiten osuus oli osa hänen väitöskirjaansa Wisconsinin yliopistossa. Vaikka he tekivät työnsä itsenäisesti ja tietämättä toistensa töistä, Satterthwaite ei voinut julkaista tulosta sellaisena kuin se on hänen väitöskirjassaan, koska Gibbardin työ oli hyväksytty julkaistavaksi. Hän julkaisi vuonna 1975 version, jossa hän sitoi tuloksen Arrow’n teoreemaan.

Mark Satterthwaite
Bibliografiset viitteet löytyvät kohdasta ”Viitteet ja linkit”.

Epäonnekseen Allan Gibbard ja Mark Satterthwaite osoittivat Arrow’n kaltaisessa tuloksessa, että ainoa strategisesti varma vaalimenettely kolmelle tai useammalle ehdokkaalle on diktatuuri! Heidän työnsä tehtiin toisistaan riippumatta 1970-luvulla.

Koska kaikki diktatuuriin kuulumattomat vaalimenettelyt ovat alttiita strategiselle äänestämiselle, seuraava kysymys on selvittää, onko olemassa menettelyä, joka minimoi strategisen äänestämisen hyödyllisyyden todennäköisyyden. Donald G. Saari, Kalifornian yliopisto, Irvine, esitti tämän kysymyksen ja vastasi siihen. Hän osoitti, että Bordan laskenta minimoi todennäköisyyden, että mieltymysten vääristelyä tai strategista äänestämistä voidaan käyttää hyödyksi.

Viimeinen vastaus?
Vaaleissa, joissa on kolme tai useampia ehdokkaita, ei ole olemassa lopullista vastausta siihen, mikä on paras menettely. Vastaus on suhteellinen. Paras menettely voi riippua asiayhteydestä (esim. siitä, kuinka monta ehdokasta on) ja siitä, mitä ominaisuuksia vaalien kannalta pidetään tärkeinä. Yksi asia on varma: älä äänestä siitä, mitä vaalimenettelyä käytetään!