Kun muodostetaan mitä tahansa pallopakkausristikkoa, on ensimmäiseksi huomattava, että aina kun kaksi palloa koskettaa toisiaan, toisen pallon keskipisteestä toisen pallon keskipisteeseen voidaan vetää suora viiva, joka leikkaa kosketuspisteen. Keskipisteiden välinen etäisyys lyhintä reittiä eli tätä suoraa pitkin on siis r1 + r2, jossa r1 on ensimmäisen pallon säde ja r2 toisen pallon säde. Tiiviissä pakkauksessa kaikilla palloilla on yhteinen säde r. Näin ollen kahden keskipisteen etäisyys olisi yksinkertaisesti 2r.

Simple hcp latticeEdit

Animaatio tiiviin pakkauksen ristikon muodostamisesta. Huomautus: Jos kolmas kerros (ei kuvassa) on suoraan ensimmäisen kerroksen päällä, muodostetaan HCP-ristikko. Jos kolmas kerros asetetaan ensimmäisessä kerroksessa olevien reikien päälle, syntyy FCC-ristikko.

Jos halutaan muodostaa pallojen A-B-A-B-… kuusikulmainen tiivispakkaus, ristikon koordinaattipisteet ovat pallojen keskipisteet. Oletetaan, että tavoitteena on täyttää laatikko palloilla hcp:n mukaisesti. Laatikko sijoitettaisiin x-y-z-koordinaattiavaruuteen.

Aluksi muodostetaan rivi palloja. Keskipisteet ovat kaikki suoralla linjalla. Niiden x-koordinaatti vaihtelee 2r:llä, koska etäisyys kunkin keskipisteen välillä pallot koskettavat on 2r. Y-koordinaatti ja z-koordinaatti ovat samat. Yksinkertaisuuden vuoksi sanotaan, että pallot ovat ensimmäinen rivi ja että niiden y- ja z-koordinaatit ovat yksinkertaisesti r, joten niiden pinnat lepäävät nollatasossa. Ensimmäisen rivin keskipisteiden koordinaatit näyttävät seuraavilta: (2r, r, r), (4r, r, r), (6r ,r, r), (8r ,r, r), … .

Muodostetaan nyt seuraava päärivi. Jälleen kaikkien keskipisteet sijaitsevat suoralla linjalla, jonka x-koordinaattien erot ovat 2r, mutta x-suunnassa tapahtuu etäisyyden r siirtymä niin, että tämän rivin jokaisen pallon keskipiste on samassa linjassa sen x-koordinaatin kanssa, jossa kaksi palloa koskettaa ensimmäisen rivin palloja. Näin uuden rivin pallot liukuvat lähemmäs ensimmäistä riviä, kunnes kaikki uuden rivin pallot koskettavat kahta ensimmäisen rivin palloa. Koska uudet pallot koskettavat kahta palloa, niiden keskipisteet muodostavat tasasivuisen kolmion näiden kahden naapurin keskipisteiden kanssa. Kaikkien sivujen pituudet ovat 2r, joten rivien välinen korkeus- tai y-koordinaattien ero on √3r. Näin ollen tämän rivin koordinaatit ovat seuraavat:

( r , r + 3 r , r ) , ( 3 r , r + 3 r , r ) , ( 5 r , r + 3 r , r ) , ( 7 r , r + 3 r , r ) , … . {\displaystyle \left(r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \ \left(3r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \ \left(5r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \ \left(7r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\dots .}

Tämän rivin ensimmäinen pallo koskettaa vain yhtä alkuperäisen rivin palloa, mutta sen sijainti noudattaa samaa kaavaa kuin muillakin riveillä.

Seuraava rivi noudattaa tätä kaavaa siirtämällä x-koordinaattia r:llä ja y-koordinaattia √3:lla. Lisää rivejä, kunnes saavutetaan laatikon x- ja y-maksimirajat.

A-B-A-B-… pinoamismallissa parittomilla pallotasoilla on täsmälleen samat koordinaatit lukuun ottamatta z-koordinaattien korkeuseroa ja parillisilla pallotasoilla on samat x- ja y-koordinaatit. Molemmat tasotyypit muodostetaan edellä mainitulla kuviolla, mutta ensimmäisen rivin ensimmäisen pallon aloituspaikka on erilainen.

Käyttäen tasoa, joka on kuvattu juuri edellä tasoksi #1, A-tasoksi, aseta pallo tämän tason päälle niin, että se koskettaa kolmea palloa A-tasossa. Nämä kolme palloa koskettavat jo kaikki toisiaan muodostaen tasasivuisen kolmion, ja koska ne kaikki koskettavat uutta palloa, niiden neljä keskipistettä muodostavat säännöllisen tetraedrin. Kaikki sivut ovat yhtä suuret kuin 2r, koska kaikki sivut muodostuvat kahden pallon kosketuksesta. Joiden korkeus eli kahden ”tason” välinen z-koordinaattien ero on √6r2/3. Tämä yhdistettynä x- ja y-koordinaattien siirtymiin antaa B-tason ensimmäisen rivin keskipisteet:

( r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 3 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 5 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 7 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , … . {\displaystyle \left(r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}{3}}\right),\ \ \left(3r,r+{\frac {{\sqrt {{\sqrt {3}r}r}{3}}},r+{\frac {{\sqrt {6 {\sqrt {3}r2}{3}}{3}}\right),\ \left(5r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}{3}}{oikea),\ \ \left(7r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}r}{3}}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}{3}} \oikea),\dots .}

Kakkosrivin koordinaatit noudattavat edellä ensin kuvattua kaavaa ja ovat:

( 2 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 4 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 6 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 8 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , … . {\displaystyle \left(2r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}{3}}\right),\ \ \left(4r,r+{\frac {4{\sqrt {3}r}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}{3}\right),\ \left(6r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}{3}}{oikea),\ \ \left(8r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}{3}}}{oikea),\dots .}

Ero seuraavaan tasoon, A-tasoon, on jälleen √6r2/3 z-suunnassa ja siirto x:ssä ja y:ssä vastaamaan näitä ensimmäisen A-tason x- ja y-koordinaatteja.

Yleisesti pallon keskipisteiden koordinaatit voidaan kirjoittaa seuraavasti:

2 6 3 k ] r {\displaystyle {\begin{bmatrix}2i+((j\ +\ k){\bmod {2}})\\\{\sqrt {3}}}\left\\\\{\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}k\end{bmatrix}}r}r}