Vamos a pensar ahora en uno de mis teoremas favoritos de las matemáticas y es el teorema de la compresión y una de las razones por las que es uno de mis teoremas favoritos de las matemáticas es que tiene la palabra «compresión» o que no se ve que aparezca en muchas matemáticas pero es y a menudo se le llama el teorema del sándwich, que también es un nombre apropiado, como veremos en un segundo, y ya que puede ser llamado el teorema del sándwich, pensemos primero en una analogía para entender la intuición detrás del teorema del sándwich. Imran digamos que hay diya y digamos que hay Sal y digamos que Imran en un día cualquiera siempre tiene la menor cantidad de calorías y Sal en un día cualquiera siempre tiene la mayor cantidad de calorías así que en un día cualquiera siempre podemos decir que el come al menos tanto al menos tanto tanto como Imran y entonces podemos decir que Sal come al por lo menos tanto que sólo para repetir esas palabras como diya y así podríamos establecer una pequeña desigualdad aquí en un día determinado podríamos escribir que en las calorías de Ron en las calorías de Ron en un día determinado va a ser menor o igual a D como calorías D es calorías en ese mismo día que va a ser menor o igual a las calorías de Sal en ese mismo día las calorías de Sal en ese Digamos que es martes, digamos que el martes descubrimos que M Ron Emraan comió 1500 calorías 1500 calorías y ese mismo día Sal también ocho Sal también ocho 1500 calorías, así que basándonos en esto, ¿cuántas calorías debe haber comido Diya ese día? siempre tiene menos que el número de calorías que come Sal, así que debe ser menor o igual a 1500. Bueno, sólo hay un número que es mayor o igual a 1500 y menor o igual a 1500 y es 1500 calorías, así que debe haber comido 1500 calorías, esto es de sentido común. y se puede ver esto como las calorías de Emraan en función del día, las calorías de Sal en función del día, y estas calorías en función del día siempre van a estar en el medio, así que ahora vamos a hacer esto un poco más matemático. así que digamos que tenemos la misma analogía, digamos que tenemos tres funciones, digamos que f de X en algún intervalo es siempre menor o igual a G de x en ese mismo intervalo, que también es siempre menor o igual a H de x en ese mismo intervalo.este es mi eje x este es mi eje x y voy a representar algún intervalo en el eje x justo aquí así que digamos que H de X se ve algo como H de X se ve algo así para hacerlo más interesante whoops este es el eje x-digamos que H de X se parece a esto, así que esa es mi H de X digamos que f de X se parece a esto, tal vez hace algunas cosas interesantes y luego entra y sube así, así que f de X se parece a esto y luego G de X para cualquier valor de x, G de X siempre está entre estos dos, así que G de X siempre está entre esto y creo que ves dónde está ocurriendo la compresión y dónde está ocurriendo el sándwich. el sándwich está sucediendo así que esto se parece a un si H de X y f de X eran piezas de pan dobladas G de X sería la carne del pan por lo que se vería algo como esto ahora digamos que sabemos que esto es análogo sentado en un día en particular Sal y Imran comieron la misma cantidad digamos que para un valor x particular el límite como F y H se acercan a ese valor x se acercan al mismo límite así que vamos a sake este valor de x aquí digamos que el valor de X es C allí mismo y digamos que el límite el límite de f de X a medida que X se acerca a C a medida que X se acerca a C es igual a es igual a L y digamos que el límite a medida que X se acerca a C de H de X de H de X es también es igual a L así que esos a medida que X se acerca a C H de X se acerca a L a medida que X se acerca a C de ambos lados f de X se acerca a L así que estos límites tienen que estar definidos, en realidad las funciones no tienen que estar definidas cuando X se acerca a C, sino que tienen que estar definidas a medida que nos acercamos a él, pero a lo largo de este intervalo esto tiene que ser cierto, y si estos límites de aquí están definidos, porque sabemos que G de X está siempre entre estas dos funciones, por lo tanto ese día o ese valor de x debería salir de esa analogía de la comida.Esto nos dice que si todo esto es cierto en este intervalo, esto nos dice que el límite a medida que X se acerca a C de G de X de G de X también debe ser igual a L y, una vez más, esto es común, por lo tanto, f de X se está acercando a H de X se está acercando a G de X, por lo que también tiene que ser, también tiene que estar acercándose a L y se podría decir Bueno, esto es de sentido común, ¿por qué es útil? Bueno, como verás, esto es útil para encontrar los límites de algunas funciones extravagantes, si puedes encontrar una función que siempre es mayor que ella y una función que siempre es menor que ella, y puedes encontrar el límite a medida que se acercan, y ves que es el mismo límite, entonces sabes que esa función extravagante en el medio se va a acercar al mismo límite.