we gaan nu nadenken over een van mijn meest favoriete stellingen in de wiskunde en dat is de squeeze theorem en een van de redenen dat het een van mijn meest favoriete stellingen in de wiskunde is, is dat het woord squeeze erin voorkomt of dat je niet in veel wiskunde ziet opduiken maar het is en dit wordt vaak ook de sandwich stelling genoemd wat ook een toepasselijke naam is zoals we in een seconde zullen zien en omdat het de sandwich stelling kan worden genoemd laten we eerst eens denken aan een analogie om de intuïtie achter de squeeze of de sandwich stelling te begrijpen. Laten we zeggen dat er drie mensen zijn, laten we zeggen dat er Imran is. Imran, laten we zeggen dat er Diya is en laten we zeggen dat er Sal is en laten we zeggen dat Imran op een gegeven dag altijd het minste aantal calorieën heeft en Sal op een gegeven dag altijd het meeste aantal calorieën heeft dus op een gegeven dag op een gegeven dag kunnen we altijd zeggen dat de minstens evenveel eet als Imran en dan kunnen we zeggen dat Sal minstens evenveel eet als minstens evenveel dat gewoon om die woorden te herhalen als diya en zo kunnen we een kleine ongelijkheid hier op een bepaalde dag kunnen we schrijven dat in Ron’s calorieën in Ron’s calorieën op een bepaalde dag zullen kleiner zijn dan of gelijk aan D als calorieën D is calorieën op die dezelfde dag die zal kleiner zijn dan of gelijk aan Sal’s calorieën op die dezelfde dag Sal’s calorieën op die dezelfde dag nu laten we zeggen dat het dinsdag laten we zeggen op dinsdag je erachter komt dat M Ron Emraan at 1500 calorieën 1500 calorieën en op diezelfde dag Sal ook acht Sal ook acht 1500 calorieën dus op basis van deze hoeveel calorieën moet diya hebben gegeten die dag goed ze zou moeten ze eet altijd minstens zo veel Zimmer ons dus ze at 1500 calorieën of meer en maar ze altijd minder dan of gelijk aan het aantal calorieën dat Sal eet dus het moet minder dan of gelijk aan 1500 zijn. Er is maar één getal dat groter is dan of gelijk aan 1500 en kleiner is dan of gelijk aan 1500 en dat is 1500 calorieën dus ze moet 1500 calorieën gegeten hebben dit is gezond verstand dia moet 1500 calorieën gegeten hebben en de squeeze theorem is in wezen de wiskundige versie van dit voor functies en je zou dit zelfs kunnen zien als Emraan calorieën als een functie van de dag Sal’s calorieën als een functie van de dag en deze calorieën als een functie van de dag gaat altijd tussen deze dus nu laten we dit een beetje meer een wiskundige maken dus laat me dit opruimen zodat we wat ruimte hebben om wat wiskunde te doen dus laten we zeggen dat we dezelfde analogie hebben dus laten we zeggen dat we drie functies hebben laten we zeggen f van X over een bepaald interval is altijd kleiner dan of gelijk aan G van x over datzelfde interval die ook altijd kleiner is dan of gelijk aan H van x over datzelfde interval dus laat me dit grafisch weergeven dus laten we het grafisch weergeven precies hier dus dat is mijn y-as dit is mijn x-as dit is mijn x-as en ik zal gewoon een interval afbeelden op de x-as hierzo dus laten we zeggen dat H van X er zoiets uitziet als H van X er zoiets uitziet om het interessanter te maken whoops dit is x-as dus laten we zeggen dat H van X er ongeveer zo uitziet dus dat is mijn H van X laten we zeggen dat f van X er ongeveer zo uitziet misschien doet het wat interessante dingen en dan komt het binnen dan gaat het omhoog zoals dit dus f van X ziet er ongeveer zo uit en dan G van X voor elke x waarde ligt G van X altijd tussen deze twee dus G van X ligt altijd tussen dit en ik denk dat je ziet waar het knijpen gebeurt en waar de sandwich gebeurt dus dit lijkt op een als H van X en f van X buigzame stukjes brood zouden zijn G van X zou het vlees van het brood zijn dus het zou er ongeveer zo uitzien Laten we nu zeggen dat we weten dat dit analoog is zitten op een bepaalde dag Sal en Imran aten dezelfde hoeveelheid laten we zeggen voor een bepaalde x-waarde de limiet als F en H die x-waarde naderen ze naderen dezelfde limiet dus laten we sake deze x waarde hier laten we zeggen X waarde is C daar en laten we zeggen dat de limiet de limiet van f van X als X nadert tot C als X nadert tot C is gelijk aan is gelijk aan L is gelijk aan L en laten we zeggen dat de limiet als X nadert tot C van H van X van H van X is ook is gelijk aan L dus die als X nadert tot C H van X nadert tot L als X nadert tot C van beide zijden f van X nadert tot L dus deze limieten moeten gedefinieerd worden dat eigenlijk de functies niet gedefinieerd hoeven te worden bij X nadert C alleen over dit interval ze moeten gedefinieerd worden als we het naderen maar over dit interval moet dit waar zijn en als deze grenzen hier gedefinieerd zijn omdat we weten dat G van X altijd ingeklemd zit tussen deze twee functies daarom op die dag of dat voor die x waarde ik uit die voedsel-een eet analogie dit zegt ons dit zegt ons als dit alles waar is over dit interval dit zegt ons dat de limiet als X de limiet als X nadert C van G van X van G van X moet ook gelijk zijn aan L en nogmaals dit is gemeenschappelijk dus f van X nadert uit H van X nadert uit G van X is ingeklemd ertussen dus het moet ook het moet ook uit en je zou kunnen zeggen wel dit is gezond verstand waarom is dit nuttig wel zoals u zult zien is dit nuttig voor het vinden van de grenzen van sommige maffe functies als u een functie kunt vinden die altijd groter is dan het en een functie die altijd kleiner is dan en u kunt de limiet vinden als zij sommige naderen zie dat het dezelfde limiet is dan weet u dat die maffe functie ertussenin die zelfde limiet gaat naderen