Când se formează orice rețea de împachetare a sferelor, primul fapt care trebuie observat este că, ori de câte ori două sfere se ating, se poate trasa o linie dreaptă de la centrul unei sfere la centrul celeilalte, care intersectează punctul de contact. Distanța dintre centre de-a lungul celui mai scurt traseu, și anume acea linie dreaptă, va fi, prin urmare, r1 + r2, unde r1 este raza primei sfere și r2 este raza celei de-a doua. În cazul împachetării apropiate, toate sferele au o rază comună, r. Prin urmare, două centre vor avea pur și simplu o distanță 2r.

Rețea hcp simplăEdit

O animație de generare a unei rețele cu împachetare apropiată. Notă: Dacă un al treilea strat (care nu este prezentat) se află direct peste primul strat, atunci se construiește rețeaua HCP. Dacă al treilea strat este plasat peste găurile din primul strat, atunci este creată rețeaua FCC.

Pentru a forma o împachetare apropiată hexagonală A-B-A-A-B-… a sferelor, punctele de coordonate ale rețelei vor fi centrele sferelor. Să presupunem că scopul este de a umple o cutie cu sfere conform hcp. Cutia va fi plasată în spațiul de coordonate x-y-z.

Prima dată formați un rând de sfere. Centrele se vor afla toate pe o linie dreaptă. Coordonata lor x va varia cu 2r, deoarece distanța dintre fiecare centru al sferelor se ating este 2r. Coordonata y și coordonata z vor fi aceleași. Pentru simplificare, să spunem că sferele reprezintă primul rând și că coordonatele lor y și z sunt pur și simplu r, astfel încât suprafețele lor se sprijină pe planele zero. Coordonatele centrelor primului rând vor arăta ca (2r, r, r, r), (4r, r, r, r), (6r ,r, r, r), (8r ,r, r, r), … .

Acum, formați următorul rând de sfere. Din nou, centrele se vor afla toate pe o linie dreaptă cu diferențe de coordonate x de 2r, dar va exista o deplasare a distanței r în direcția x, astfel încât centrul fiecărei sfere din acest rând să se alinieze cu coordonata x a locului în care se ating două sfere din primul rând. Acest lucru permite sferelor din noul rând să alunece mai aproape de primul rând până când toate sferele din noul rând se ating de două sfere din primul rând. Deoarece noile sfere ating două sfere, centrele lor formează un triunghi echilateral cu centrele celor două sfere vecine. Lungimile laturilor sunt toate 2r, astfel încât diferența de înălțime sau de coordonate y dintre rânduri este √3r. Astfel, acest rând va avea coordonate ca acestea:

( r , r + 3 r , r ) , ( 3 r , r + 3 r , r ) , ( 5 r , r + 3 r , r ) , ( 7 r , r + 3 r , r ) , … . {\displaystyle \left(r,r+{\sqrt {3}}r,r\dreapta),\ \left(3r,r+{\sqrt {3}}r,r\dreapta),\ \left(5r,r+{\sqrt {3}}r,r\dreapta),\ \left(7r,r+{\sqrt {3}}r,r\dreapta),\dots .}

Prima sferă din acest rând atinge doar o singură sferă din rândul original, dar locația sa se potrivește cu restul rândului.

Rândul următor urmează acest model de deplasare a coordonatei x cu r și a coordonatei y cu √3. Adăugați rânduri până când ajungeți la limitele maxime x și y ale cutiei.

Într-un model de stivuire A-B-A-B-B-…, planurile cu număr impar de sfere vor avea exact aceleași coordonate, cu excepția unei diferențe de pas în coordonatele z, iar planurile cu număr par de sfere vor avea aceleași coordonate x și y. Ambele tipuri de planuri se formează folosind modelul menționat mai sus, dar locul de plecare pentru prima sferă din primul rând va fi diferit.

Utilizând planul descris mai sus tocmai ca fiind planul nr. 1, planul A, așezați o sferă deasupra acestui plan astfel încât să se afle în contact cu trei sfere din planul A. Cele trei sfere se ating deja toate între ele, formând un triunghi echilateral, și, întrucât toate ating noua sferă, cele patru centre formează un tetraedru regulat. Toate laturile sunt egale cu 2r, deoarece toate laturile sunt formate de două sfere care se ating. A cărui înălțime sau diferența de coordonate z dintre cele două „planuri” este √6r2/3. Aceasta, combinată cu decalajele în coordonatele x și y, dă centrele primului rând în planul B:

( r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 3 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 5 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 7 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , … . {\displaystyle \left(r,r+{\frac {{sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{sqrt {6}}r2}{3}}\dreapta),\ \left(3r,r+{\frac {{sqrt {3}}r}{3}}},r+{\frac {{sqrt {6}}r2}{3}}\dreapta),\ \left(5r,r+{\frac {{sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{sqrt {6}}r2}{3}}\dreapta),\ \ \left(7r,r+{\frac {{sqrt {3}}r}{3}}},r+{\frac {{sqrt {6}r2}{3}}\dreapta),\dots .}

Coordonatele celui de-al doilea rând urmează modelul descris prima dată mai sus și sunt:

( 2 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 4 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 6 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 8 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , … . {\displaystyle \left(2r,r+{\frac {4{\sqrt {3}r}{3}}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\ dreapta),\ \left(4r,r+{\frac {4{\sqrt {3}r}{3}}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\ dreapta),\ \left(6r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\dreapta),\ \ \left(8r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\dreapta),\dots .}

Diferența față de planul următor, planul A, este din nou √6r2/3 în direcția z și o deplasare în x și y pentru a se potrivi cu acele coordonate x și y ale primului plan A.

În general, coordonatele centrelor sferelor pot fi scrise sub forma:

2 6 3 k ] r {\displaystyle {\begin{bmatrix}2i+((j\ +\ k){\bmod {2}})\\{\sqrt {3}}\stânga\{\frac {2{\sqrt {6}}}}{3}}}k\end{bmatrix}}}r}}.