Teorema imposibilității lui Arrow prezintă o situație dezastruoasă: nicio procedură electorală nu satisface seturile de axiome ale lui Arrow, cu excepția unei dictaturi. Acest lucru nu înseamnă că democrația este imperfectă și că dictatura este singura formă rezonabilă de guvernare. Dacă axiomele lui Arrow sunt prea stricte și nicio procedură electorală nu satisface axiomele, atunci fie un set mai mic de axiome, fie un set diferit de criterii poate permite compararea procedurilor electorale – cu obiectivul de a găsi o procedură „cea mai bună”. Definiția de „cel mai bun” este legată de proprietățile care sunt de dorit în cadrul procedurii. Mai jos este o listă de criterii pe care unii le-au folosit pentru a evalua procedurile de alegere pentru a ajunge la concluzia lor cu privire la care procedură(e) este(sunt) „cea(ele) cea(ele) mai bună(e).”
Condorcet Winner

În 1770, Jean Charles de Borda a propus utilizarea numărătorii Borda pentru a determina admiterea în Academia Franceză de Științe. În 1785, Marie-Jean-Antoine-Nicolas de Caritat Condorcet (Marchizul du Condorcet) a susținut că numărătoarea Borda este defectuoasă deoarece nu alege în mod necesar un candidat care învinge toți ceilalți candidați într-o alegere față în față. Condorcet a luat în considerare ce s-ar întâmpla la alegerile între toate perechile de candidați și a generalizat regula majorității într-un mod diferit. Luați în considerare următorul exemplu în care cinci alegători clasifică cei patru candidați A, B, C și D.

.

.

Pentru datele de preferință de mai sus, într-o alegere directă între doi candidați, unul dintre ei trebuie să primească mai multe voturi decât celălalt din cauza numărului impar de alegători. De exemplu, D îl învinge pe A, deoarece trei alegători îl preferă pe D lui A (acei alegători ale căror preferințe sunt în coloanele 2, 3 și 4 de mai sus), în timp ce doar doi alegători îl preferă pe A lui D (acei alegători ale căror preferințe sunt în coloanele 1 și 5 de mai sus). Calcule similare pot fi folosite pentru a arăta că D îi învinge pe A, B și C în competițiile pe perechi. Condorcet a susținut că ar trebui să fie ales un candidat care învinge fiecare dintre ceilalți candidați în alegeri față în față, conform regulii majorității. Un astfel de candidat se numește „câștigătorul Condorcet”. Datele alegerilor față în față pentru exemplul de mai sus apar mai jos.

.

.

.

.

Contabilitatea Borda ar putea să nu aleagă câștigătorul Condorcet
Condorcet a considerat că numărătoarea Borda este defectuoasă deoarece nu ar alege neapărat câștigătorul Condorcet. Exemplul de mai sus cu cinci alegători (în care preferințele alegătorilor sunt pentru candidații A, B, C și D) oferă o dovadă. Vectorul de vot al numărătorii Borda este scris în stânga preferințelor.

.

.

.

.

.

Candidații A, B, C și D primesc 10, 5, 6 și, respectiv, 9 puncte. Prin urmare, A câștigă alegerile conform numărătorii Borda, spre deosebire de D, câștigătorul Condorcet.

Punctele lui A: 2*3 + 3*2 + 3*2 + 0*1 + 1*0 = 10 punctele lui B: 1*3 + 1*2 + 0*1 + 3*0 = 5
Punctele lui C: 0*3 + 2*2 + 2*1 + 1*0 = 6 Punctele lui D: 2*3 + 0*2 + 0*2 + 3*1 + 0*0 = 9

Din păcate, un câștigător Condorcet nu există întotdeauna. (A se vedea mențiunea din casetă.) O procedură de alegere care alege întotdeauna câștigătorul Condorcet atunci când există unul satisface „criteriul Condorcet”. Mulți matematicieni și teoreticieni ai votului au propus proceduri care satisfac criteriul Condorcet, inclusiv matematicianul englez Charles Dodgson. Chiar dacă a fost profesor de matematică la Christ Church, Universitatea Cambridge, Dodgson este mai cunoscut sub pseudonimul său, Lewis Carroll, autorul romanului Aventurile lui Alice în Țara Minunilor.

Facilitate de utilizare și ușor de înțeles
O procedură electorală ar trebui să fie ușor de utilizat, astfel încât alegătorii să poată reflecta cu exactitate preferințele lor pentru candidați. Mai mult, o procedură electorală ar trebui să fie ușor de înțeles de către electorat, astfel încât să existe încredere în rezultatele alegerilor. Dacă o procedură electorală „cea mai bună” este prea complicată de utilizat sau de înțeles, atunci electoratul poate să nu aibă încredere în rezultatele alegerilor, indiferent dacă matematica a botezat sau nu procedura ca fiind „cea mai bună”.

De exemplu, pe măsură ce numărul de candidați crește, poate fi nepractic să presupunem că alegătorii pot ordona toți candidații (a se vedea „Cum se votează”), așa cum se cere în cazul majorității procedurilor electorale. Votul prin aprobare a fost susținut în parte de Brams și Fishburn, deoarece este ușor de înțeles și necesită ca alegătorii să decidă doar să „aprobe” sau să „dezaprobe” candidații. Alții au susținut că există prea multă flexibilitate în votul de aprobare. Chiar dacă doi alegători pot clasifica candidații în același mod, ei îi pot împărți în mod diferit în cele două categorii de „aprobare” și „dezaprobare”, astfel încât preferințele legate de ordinea de clasament nu sunt suficiente pentru a determina un rezultat electoral.

Cel mai puțin manipulabil
Obiectivul unei proceduri electorale este de a determina un rezultat care să reprezinte voința poporului. Deoarece alegătorii își pot denatura adevărata ierarhizare a candidaților și pot afecta rezultatul alegerilor într-un mod care să îmbunătățească rezultatul (cum ar fi votarea celui de-al doilea candidat preferat atunci când opțiunea principală este mult în urmă în sondaje), o procedură electorală „cea mai bună” ar împiedica alegătorii să își denatureze preferințele pentru a obține un rezultat mai bun. În teoria votului, această proprietate se numește „strategyproof”. Altfel spus, o procedură electorală este „strategyproof” dacă nu este niciodată în interesul unui alegător să voteze strategic și să își denatureze preferințele. Există o astfel de procedură strategyproof?

Descoperire simultană!

Allan Gibbard și Mark Satterthwaite au demonstrat independent ceea ce a devenit cunoscut sub numele de Teorema Gibbard-Satterthwaite, care afirmă că, în afară de o dictatură, nu există o procedură strategyproof pentru alegeri între trei sau mai mulți candidați. Gibbard a publicat un articol cu acest rezultat în 1973. Contribuția lui Satterthwaite a făcut parte din teza sa de doctorat la Universitatea din Wisconsin. Deși realizată independent și fără a cunoaște munca celuilalt, deoarece lucrarea lui Gibbard fusese acceptată pentru publicare, Satterthwaite nu a putut să publice rezultatul așa cum apare în teza sa. El a publicat o versiune în 1975, în care a legat rezultatul de Teorema lui Arrow.

Mark Satterthwaite
Vezi „Referințe și legături” pentru referințe bibliografice.

Din păcate, într-un rezultat asemănător cu cel al lui Arrow, Allan Gibbard și Mark Satterthwaite au arătat că singura procedură de alegere rezistentă din punct de vedere strategic pentru trei sau mai mulți candidați este o dictatură! Lucrările lor au fost realizate independent unul de celălalt în anii 1970.

Deoarece toate procedurile de alegere fără dictatură sunt susceptibile de vot strategic, următoarea întrebare este de a determina dacă există o procedură care minimizează probabilitatea ca votul strategic să fie util. Donald G. Saari, University of California, Irvine, a pus această întrebare și a răspuns la ea. El a demonstrat că numărătoarea Borda minimizează probabilitatea ca denaturarea preferințelor sau votul strategic să poată fi folosit în mod avantajos.

Un răspuns definitiv?
Pentru o alegere cu trei sau mai mulți candidați, nu există un răspuns definitiv cu privire la care este cea mai bună procedură. Răspunsul este relativ. Cea mai bună procedură poate depinde de context (de exemplu, de numărul de candidați) și de proprietățile care sunt considerate importante pentru alegeri. Un lucru este sigur: nu votați ce procedură de alegere să folosiți!

.