Arrows omöjlighetsteorem presenterar en allvarlig situation: inget valförfarande uppfyller Arrows uppsättning axiom, med undantag för en diktatur. Detta betyder inte att demokratin är bristfällig och att en diktatur är den enda rimliga regeringsformen. Om Arrows axiom är för stränga och inget valförfarande uppfyller axiomen, kan antingen en mindre uppsättning axiom eller en annan uppsättning kriterier göra det möjligt att jämföra valförfaranden – med målet att hitta ett ”bästa” förfarande. Definitionen av ”bäst” är relativ till vilka egenskaper som är önskvärda i förfarandet. Nedan följer en lista över kriterier som vissa har använt för att utvärdera valförfaranden för att komma fram till sin slutsats om vilket eller vilka förfaranden som är ”bäst”
Condorcet Winner
 |
1770 föreslog Jean Charles de Borda att man skulle använda Borda-räkningen för att avgöra om man skulle bli invald i den franska vetenskapsakademin. År 1785 hävdade Marie-Jean-Antoine-Nicolas de Caritat Condorcet (Marquis du Condorcet) att Borda-räkningen var bristfällig eftersom den inte nödvändigtvis väljer en kandidat som besegrar alla andra kandidater i ett direktval. Condorcet funderade på vad som skulle hända vid val mellan alla par av kandidater och generaliserade majoritetsregeln på ett annat sätt. Tänk på följande exempel där fem väljare rangordnar de fyra kandidaterna A, B, C och D. |
|---|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
|
A
|
B
|
D
|
A
|
D
|
|
|
C
|
C
|
A
|
B
|
A
|
|
|
D
|
D
|
C
|
D
|
C
|
C
|
|
B
|
A
|
B
|
C
|
B
|
För ovanstående preferensuppgifter, I ett huvudval mellan två kandidater måste den ena kandidaten få fler röster än den andra på grund av det udda antalet väljare. Till exempel besegrar D A, eftersom tre väljare föredrar D framför A (de väljare vars preferenser finns i kolumnerna 2, 3 och 4 ovan) medan endast två väljare föredrar A framför D (de väljare vars preferenser finns i kolumnerna 1 och 5 ovan). Liknande beräkningar kan användas för att visa att D besegrar A, B och C i parvisa tävlingar. Condorcet hävdade att en kandidat som besegrar alla andra kandidater i direkta val enligt majoritetsregeln bör väljas. En sådan kandidat kallas ”Condorcet-vinnare”. Uppgifterna om huvud-till-huvud-valet för exemplet ovan visas nedan.
|
D
|
A
|
–
|
D
|
B
|
–
|
D
|
C
|
|
3
|
2
|
–
|
3
|
2
|
–
|
3
|
2
|
|
–
|
—
|
—
|
—
|
—
|
—
|
—
|
–
|
|
A
|
B
|
–
|
A
|
C
|
–
|
B
|
C
|
|
4
|
1
|
–
|
1
|
4
|
–
|
2
|
3
|
Borda Count May Not Elect the Condorcet Winner
Condorcet ansåg att Borda Count var bristfällig eftersom den inte nödvändigtvis skulle välja Condorcet-vinnaren. Ovanstående exempel med fem väljare (där väljarnas preferenser är för kandidaterna A, B, C och D) är ett bevis på detta. Borda Count-vektorn för röstning är skriven till vänster om preferenserna.
|
Borda
|
–
|
–
|
–
|
–
|
–
|
–
|
|
count
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
|
3
|
A
|
B
|
D
|
A
|
D
|
|
|
2
|
C
|
C
|
A
|
B
|
A
|
|
|
1
|
D
|
D
|
D
|
C
|
D
|
C
|
|
0
|
B
|
A
|
B
|
C
|
B
|
Kandidater A, B, C och D får 10, 5, 6 respektive 9 poäng. Därför vinner A valet enligt Borda-räkningen, i motsats till Condorcet-vinnaren D.
A:s poäng: 2*3 + 3*2 + 0*1 + 1*0 = 10 B:s poäng: 1*3 + 1*2 + 0*1 + 3*0 = 5
C:s poäng: 0*3 + 2*2 + 2*1 + 1*0 = 6 D-poäng: 2*3 + 0*2 + 3*1 + 0*0 = 9
 |
Tyvärr finns det inte alltid en Condorcet-vinnare. (Ett valförfarande som alltid väljer Condorcet-vinnaren när en sådan finns uppfyller ”Condorcet-kriteriet”. Många matematiker och röstningsteoretiker har föreslagit förfaranden som uppfyller Condorcetkriteriet, däribland den engelske matematikern Charles Dodgson. Även om han var matematisk docent vid Christ Church, Cambridge University, är Dodgson mer känd under sitt pseudonym Lewis Carroll, författaren till Alice’s Adventures in Wonderland. |
|---|
|
Användningsvänlighet och lättförståelse
Ett valförfarande bör vara lätt att använda så att väljarna på ett korrekt sätt kan återspegla sina preferenser för kandidaterna. Vidare bör ett valförfarande vara lätt att förstå för väljarna så att det finns förtroende för valresultatet. Om ett ”bästa” valförfarande är för komplicerat att använda eller förstå kan väljarna inte lita på valresultatet, oavsett om matematiken har döpt förfarandet till ”bästa” eller inte.
När antalet kandidater ökar kan det till exempel vara opraktiskt att anta att väljarna kan rangordna alla kandidater (se ”Hur man röstar”), vilket krävs för de flesta valförfaranden. Godkännande röstning har delvis fått stöd av Brams och Fishburn eftersom den är lätt att förstå och kräver att väljarna endast beslutar sig för att ”godkänna” eller ”ogilla” kandidater. Andra har hävdat att det finns för mycket flexibilitet i godkännanderöstning. Även om två väljare kan rangordna kandidater på samma sätt kan de dela upp dem i de två kategorierna ”godkänna” och ”ogilla” på olika sätt, så att preferenserna i rangordning inte är tillräckliga för att avgöra valresultatet.
Minst manipulerbart
Målet med ett valförfarande är att fastställa ett resultat som representerar folkets vilja. Eftersom väljarna kan missuppfatta sin verkliga rangordning av kandidaterna och påverka valutgången på ett sätt som förbättrar resultatet (t.ex. genom att rösta på den näst mest föredragna kandidaten när ens förstahandsval ligger långt efter i opinionsmätningarna), skulle ett ”bästa” valförfarande hindra väljarna från att missuppfatta sina preferenser för att uppnå ett bättre resultat. Inom röstningsteorin kallas denna egenskap för ”strategisäker”. Det vill säga, ett valförfarande är strategisäkert om det aldrig ligger i en väljares bästa intresse att rösta strategiskt och felaktigt ange sina preferenser. Finns det ett sådant strategisäkert förfarande?
Simultan upptäckt!
Allan Gibbard och Mark Satterthwaite bevisade oberoende av varandra vad som har blivit känt som Gibbard-Satterthwaite-satsen, som säger att det inte finns något strategisäkert förfarande för val mellan tre eller fler kandidater, med undantag för en diktatur. Gibbard publicerade en artikel med resultatet 1973. Satterthwaites bidrag var en del av hans doktorsavhandling vid University of Wisconsin. Även om de utfördes oberoende och utan kännedom om varandras arbete, kunde Satterthwaite, eftersom Gibbards arbete hade accepterats för publicering, inte publicera resultatet så som det framkom i hans avhandling. Han publicerade en version 1975, där han kopplade resultatet till Arrows sats.
Mark Satterthwaite
Se ”Referenser och länkar” för bibliografiska referenser.
Olyckligtvis visade Allan Gibbard och Mark Satterthwaite i ett Arrow-liknande resultat att det enda strategiskt säkra valförfarandet för tre eller fler kandidater är en diktatur! Deras arbete utfördes oberoende av varandra på 1970-talet.
Eftersom alla valprocedurer som inte är diktaturer är känsliga för strategisk röstning är en nästa fråga att avgöra om det finns en procedur som minimerar sannolikheten för att strategisk röstning är användbar. Donald G. Saari, University of California, Irvine, ställde och besvarade denna fråga. Han bevisade att Borda-räkningen minimerar sannolikheten för att felaktig representation av preferenser eller strategisk röstning kan användas till nytta.
Ett slutgiltigt svar?
För ett val med tre eller fler kandidater finns det inget slutgiltigt svar på vad som är det bästa förfarandet. Svaret är relativt. Ett bästa förfarande kan bero på sammanhanget (t.ex. hur många kandidater) och vilka egenskaper som anses viktiga för valet. En sak är säker: rösta inte om vilket valförfarande som ska användas!