Carnots perfekta värmemotor: termodynamikens andra lag omformulerad | Fysik

Lärandemål

I slutet av det här avsnittet kommer du att kunna:

Identifiera en Carnotcykel.
Beräkna maximal teoretisk verkningsgrad för en kärnreaktor.
Förklara hur dissipativa processer påverkar den ideala Carnotmotorn.

Fotografi av en ny leksak som kallas drickfågel. Den består av två glaskolvar som är förbundna med varandra genom ett glasrör. Den övre glödlampan är formad som ett fågelhuvud och röret ser ut som dess hals. Den undre lampan, som kan jämföras med buken, innehåller metylenklorid som har färgats rött. Halsens nedre del är fäst vid en vridpunkt, och framför fågelhuvudet finns ett vattenglas.

Figur 1. En drickande fågel (kredit: Arabesk.nl, Wikimedia Commons)

Nyhetsleksaken som kallas drickande fågel (se figur 1) är ett exempel på Carnots motor. Den innehåller metylenklorid (blandat med ett färgämne) i buken, som kokar vid en mycket låg temperatur – cirka 100ºF . För att få igång den gör man fågelns huvud blött. När vattnet avdunstar rör sig vätskan upp i huvudet, vilket gör att fågeln blir topptung och dyker framåt tillbaka i vattnet. Detta kyler metylenkloriden i huvudet, och den rör sig tillbaka in i buken, vilket gör att fågeln blir bottenviktig och tippar uppåt. Med undantag för en mycket liten tillförsel av energi – den ursprungliga huvudvätningen – blir fågeln ett slags evighetsmaskin.

Vi vet från termodynamikens andra lag att en värmemotor inte kan vara hundraprocentigt effektiv, eftersom det alltid måste ske en viss värmeöverföring Qc till omgivningen, som ofta kallas spillvärme. Hur effektiv kan då en värmemotor vara? Denna fråga besvarades på teoretisk nivå 1824 av en ung fransk ingenjör, Sadi Carnot (1796-1832), i hans studie av den då framväxande värmemaskintekniken som var avgörande för den industriella revolutionen. Han utarbetade en teoretisk cykel, som nu kallas Carnotcykeln, som är den mest effektiva cykliska processen som är möjlig. Termodynamikens andra lag kan omformuleras i termer av Carnotcykeln, och vad Carnot faktiskt upptäckte var alltså denna grundläggande lag. Varje värmemotor som använder Carnotcykeln kallas en Carnotmotor.

Vad som är avgörande för Carnotcykeln – och i själva verket definierar den – är att endast reversibla processer används. Irreversibla processer inbegriper dissipativa faktorer, såsom friktion och turbulens. Detta ökar värmeöverföringen Qc till omgivningen och minskar motorns effektivitet. Uppenbarligen är alltså reversibla processer överlägsna.

Carnotmotor

Uttryckt i termer av reversibla processer har termodynamikens andra lag en tredje form:

En Carnotmotor som arbetar mellan två givna temperaturer har den största möjliga verkningsgraden av alla värmemotorer som arbetar mellan dessa två temperaturer. Dessutom har alla motorer som endast använder reversibla processer samma maximala verkningsgrad när de arbetar mellan samma givna temperaturer.

Figur 2 visar PV-diagrammet för en Carnotcykel. Cykeln består av två isotermiska och två adiabatiska processer. Kom ihåg att både isotermiska och adiabatiska processer i princip är reversibla.

Carnot bestämde också verkningsgraden för en perfekt värmemotor – det vill säga en Carnotmotor. Det är alltid sant att verkningsgraden för en cyklisk värmemotor ges av:

\displaystyle{Eff}=\frac{Q_{\text{h}}-Q_{\text{c}}}{Q_{\text{h}}}=1-\frac{Q_{\text{c}}}{Q_{\text{h}}}\\

Vad Carnot fann var att för en perfekt värmemotor, förhållandet \frac{Q_{\text{c}}}{Q_{\text{h}}}\\ är lika med förhållandet mellan de absoluta temperaturerna i värmebehållarna. Det vill säga \frac{Q_{\text{c}}}{Q_{\text{h}}}=\frac{T_{\text{c}}}{T_{\text{h}}}}\\\ för en Carnotmotor, så att den maximala eller Carnot-effektiviteten EffC ges av

\displaystyle{Eff}_{\text{C}}}=1-\frac{T_{\text{c}}}{T_{\text{h}}}\\

där Th och Tc anges i kelvin (eller någon annan absolut temperaturskala). Ingen riktig värmemotor kan prestera så bra som Carnot-verkningsgraden – en faktisk verkningsgrad på cirka 0,7 av detta maximum är vanligtvis det bästa som kan uppnås. Men den ideala Carnotmotorn, som den drickande fågeln ovan, även om den är en fascinerande nyhet, har noll effekt. Detta gör den orealistisk för alla tillämpningar.

Carnots intressanta resultat innebär att 100 % verkningsgrad skulle vara möjlig endast om Tc = 0 K – det vill säga endast om den kalla reservoaren var vid absoluta nollpunkten, en praktisk och teoretisk omöjlighet. Men den fysiska innebörden är följande – det enda sättet att få all värmeöverföring att gå till att utföra arbete är att avlägsna all termisk energi, och detta kräver en kall reservoar vid absoluta nollpunkten.

Det är också uppenbart att de största verkningsgraderna erhålls när förhållandet \frac{T_{T_{\text{c}}}}{T_{\text{h}}}\\\ är så litet som möjligt. Precis som diskuterades för Otto-cykeln i föregående avsnitt innebär detta att verkningsgraden är störst vid högsta möjliga temperatur för den varma reservoaren och lägsta möjliga temperatur för den kalla reservoaren. (Detta upplägg ökar arean inom den slutna slingan på PV-diagrammet; det verkar också rimligt att ju större temperaturskillnaden är, desto lättare är det att leda värmeöverföringen till arbete). De faktiska reservoartemperaturerna i en värmemotor är vanligtvis relaterade till typen av värmekälla och temperaturen i den miljö till vilken värmeöverföringen sker. Betrakta följande exempel:

Del a i figuren visar en graf över trycket P mot volymen V för en Carnotcykel. Trycket P är längs Y-axeln och volymen V är längs X-axeln. Grafen visar en fullständig cykel A B C D. Banan börjar i punkt A, sedan rör den sig jämnt nedåt till punkt B längs X-axelns riktning. Detta markeras som en isoterm vid temperaturen T sub h. Därefter sjunker kurvan ytterligare nedåt, längs en annan kurva, från punkt B till punkt C. Detta markeras som adiabatisk expansion. Kurvan stiger från punkt C till punkt D i motsatt riktning till A B. Detta är också en isoterm men vid temperaturen T sub c. Den sista delen av kurvan stiger från punkt D tillbaka till A i motsatt riktning till B C. Detta markeras som adiabatisk kompression. Vägen C D är lägre än vägen A B. Värme Q sub h kommer in i systemet, vilket visas av en fet pil mot kurvan A B. Värme Q sub c lämnar systemet, vilket visas av en fet pil nära C D. Del b av diagrammet visar en förbränningsmotor representerad som en cirkel. Den varma reservoaren är en rektangulär sektion i toppen av cirkeln vid temperaturen T sub h. En kall reservoar visas som en rektangulär sektion i den nedre delen av cirkeln vid temperaturen T sub c. Värme Q sub h kommer in i värmemotorn som visas med en fet pil; arbete W produceras som output, som visas lämna systemet, och den återstående värmen Q sub c återförs till den kalla reservoaren, som visas med en fet pil mot den.

Figur 2. PV-diagram för en Carnotcykel med endast reversibla isotermiska och adiabatiska processer. Värmeöverföring Qh sker till arbetssubstansen under den isoterma vägen AB, som äger rum vid konstant temperatur Th. Värmeöverföring Qc sker ut ur arbetssubstansen under den isoterma vägen CD, som sker vid konstant temperatur Tc. Nettoarbetet W är lika med arean inom banan ABCDA. Dessutom visas en schematisk bild av en Carnotmotor som arbetar mellan en varm och en kall reservoar vid temperaturerna Th och Tc. Varje värmemotor som använder reversibla processer och som arbetar mellan dessa två temperaturer kommer att ha samma maximala verkningsgrad som Carnotmotorn.

Exempel 1. Maximal teoretisk verkningsgrad för en kärnreaktor

En kärnkraftsreaktor har trycksatt vatten vid 300 ºC. (Högre temperaturer är teoretiskt möjliga men praktiskt taget inte, på grund av begränsningar med de material som används i reaktorn). Värmeöverföring från detta vatten är en komplex process (se figur 3). Ånga, som produceras i ånggeneratorn, används för att driva turbingeneratorerna. Till slut kondenseras ångan till vatten vid 27ºC och värms sedan upp igen för att starta om cykeln. Beräkna den maximala teoretiska verkningsgraden för en värmekraftmotor som arbetar mellan dessa två temperaturer.

Diagrammet visar en schematisk bild av en kärnreaktor med trycksatt vatten och de ångturbiner som omvandlar arbete till elektrisk energi. Det finns ett tryckkärl i mitten, kupolformat i ändarna. I detta finns en kärnkärna. Kärnan är en liten fyrkant i mitten av reaktorn. Kontrollstavar visas som pinnar av samma längd som är fästade vid kärnan. Tryckkärlet har några kylrör som går genom det och sedan tillbaka till en ångkammare. Dessa kylrör innehåller en kylvätska som transporterar värmen från tryckkärlet till ångkammaren. Hela detta system är inneslutet i en annan kupolformad inneslutningskonstruktion av stål. Vattentillförseln till ångkammaren och ångutloppet ser ut att komma ut ur denna kammare. Denna ånga visas nu för att driva två ångturbiner, en högtrycksturbin och en lågtrycksturbin. Turbinerna är nästan triangulära och segmenterade till formen. Ångturbinen genererar i sin tur kraft med hjälp av en turbingenerator som är kopplad till turbinsystemet. Turbinerna är återigen inrymda i en annan kammare som hämtar ångan från ångkammaren och återför ångan som vatten tillbaka till ångkammaren med hjälp av rör. Ett kyltorn visas i närheten av turbinsystemet, som visar sig leverera kallt vatten i rör till turbinsystemet för att kyla ångan tillbaka till vatten.

Figur 3. Schematisk bild av en tryckvattenkärnreaktor och ångturbinerna som omvandlar arbete till elektrisk energi. Värmeväxling används för att generera ånga, delvis för att undvika att generatorerna kontamineras med radioaktivitet. Två turbiner används eftersom detta är billigare än att driva en enda generator som producerar samma mängd elektrisk energi. Ångan kondenseras till vätska innan den återförs till värmeväxlaren, för att hålla trycket vid utgången av ångan lågt och underlätta ångflödet genom turbinerna (vilket motsvarar att använda en kallreservoar med lägre temperatur). Den avsevärda energi som är förknippad med kondensering måste avledas till den lokala miljön. I det här exemplet används ett kyltorn så att det inte sker någon direkt värmeöverföring till vattenmiljön. (Observera att vattnet som går till kyltornet inte kommer i kontakt med ångan som strömmar över turbinerna.)

Strategi

Då temperaturerna är givna för de varma och kalla reservoarerna i denna värmemotor, kan {Eff}_{\text{C}}=1-\frac{T_{{\text{c}}}}{T_{\text{h}}}\\\\\\ användas för att beräkna Carnotverkningsgraden (maximal teoretisk). Dessa temperaturer måste först omvandlas till kelvin.

Lösning

Den varma och den kalla reservoarens temperaturer anges som 300ºC respektive 27,0ºC. I kelvin är Th = 573 K och Tc = 300 K, vilket innebär att den maximala verkningsgraden är \displaystyle{Eff}_{\text{C}}=1-\frac{T_{\text{c}}}{T_{\text{h}}}\\\\.

Då,

\begin{array}{lll}{Eff}_{\text{C}}&=&1-\frac{300\text{ K}}}{573\text{ K}}\\\text{ }&=&0.476\text{, eller }47.6\end{array}\\\4918>

Diskussion

Ett typiskt kärnkraftverks faktiska verkningsgrad är cirka 35 %, lite bättre än 0,7 gånger det högsta möjliga värdet, en hyllning till överlägsen teknik. Elektriska kraftverk som drivs med kol, olja och naturgas har högre faktisk verkningsgrad (ca 42 %), eftersom deras pannor kan nå högre temperaturer och tryck. Temperaturen i kallt vattenmagasin i alla dessa kraftverk begränsas av den lokala miljön. Figur 4 visar a) utsidan av ett kärnkraftverk och b) utsidan av ett kolkraftverk. Båda har kyltorn i vilka vatten från kondensatorn kommer in i tornet nära toppen och sprutas nedåt och kyls genom avdunstning.

Del a visar ett fotografi av ett kärnkraftverk i drift i nattvy. Det finns kupolformade strukturer som rymmer radioaktivt material och ångor visas komma från två kyltorn. Del b visar ett fotografi av ett koleldat kraftverk. Flera enorma kyltorn visas.

Figur 4. (a) Ett kärnkraftverk (kredit: BlatantWorld.com) och (b) ett kolkraftverk. Båda har kyltorn där vatten avdunstar i miljön och representerar Qc. Kärnreaktorn, som levererar Qh, är inrymd i de kupolformade inneslutningsbyggnaderna. (kredit: Robert & Mihaela Vicol, publicphoto.org)

Då alla verkliga processer är irreversibla kan den faktiska verkningsgraden hos en värmemotor aldrig vara lika stor som hos en Carnotmotor, vilket illustreras i figur 5a. Även med en så bra värmemotor som möjligt finns det alltid dissipativa processer i perifer utrustning, t.ex. elektriska transformatorer eller biltransmissioner. Dessa minskar ytterligare den totala verkningsgraden genom att en del av motorns arbetsinsats omvandlas tillbaka till värmeöverföring, vilket visas i figur 5b.

Del a av diagrammet visar en förbränningsmotor som representeras som en cirkel för att jämföra verkningsgraden hos riktiga och Carnot-motorer. Den varma reservoaren är ett rektangulärt avsnitt ovanför cirkeln som visas vid temperaturen T sub h. En kall reservoar visas som ett rektangulärt avsnitt nedanför cirkeln vid temperaturen T sub c. Värme Q sub h kommer in i värmemotorn som visas med en fet pil. För en riktig motor visas att en liten del av denna värme släpps ut som produktion från motorn, vilket visas som en fet pil som lämnar cirkeln, och för en Carnot-motor visas att en större del av denna värme lämnar motorn som arbete, vilket visas som en streckad pil som lämnar cirkeln. Den återstående värmen återförs till den kalla reservoaren som visas med en fet pil mot den för riktiga motorer och jämförelsevis mindre värme avges av Carnot-motorn som visas med en streckad pil. Del b av diagrammet visar en förbränningsmotor som representeras som en cirkel för att studera friktion och andra dissipativa processer i utmatningsmekanismerna i en värmemotor. Den varma reservoaren är en rektangulär sektion ovanför cirkeln med temperaturen T sub h. En kall reservoar visas som en rektangulär sektion under cirkeln med temperaturen T sub c. Värme Q sub h kommer in i värmemotorn som visas med en fet pil, arbete W produceras som output, som visas lämna systemet, och den återstående värmen Q sub c och Q sub f återförs tillbaka till den kalla reservoaren som visas med feta pilar mot den. Q sub f är värme på grund av friktion. Det arbete som utförs mot friktionen går som värme Q sub f till den kalla reservoaren.

Figur 5. Verkliga värmemotorer är mindre effektiva än Carnotmotorer. (a) Riktiga motorer använder irreversibla processer, vilket minskar värmeöverföringen till arbete. De heldragna linjerna representerar den verkliga processen; de streckade linjerna är vad en Carnotmotor skulle göra mellan samma två reservoarer. (b) Friktion och andra dissipativa processer i en värmemotors utgångsmekanismer omvandlar en del av dess arbetsresultat till värmeöverföring till omgivningen.

Avsnittssammanfattning

Carnotcykeln är en teoretisk cykel som är den mest effektiva cykliska processen som är möjlig. Varje motor som använder Carnotcykeln, där endast reversibla processer (adiabatiska och isotermiska) används, kallas för en Carnotmotor.
Alla motorer som använder Carnotcykeln åtnjuter den maximala teoretiska verkningsgraden.
Men även om Carnotmotorer är idealiska motorer uppnår i verkligheten ingen motor Carnots teoretiska maximala verkningsgrad, eftersom dissipativa processer, t.ex. friktion, spelar en roll. Carnotcykler utan värmeförlust kan vara möjliga vid absolut noll, men detta har aldrig setts i naturen.

Begreppsfrågor

Tänk på den drickande fågeln i början av detta avsnitt (figur 1). Även om fågeln åtnjuter den teoretiskt största möjliga effektiviteten, kommer fågeln, om den lämnas åt sig själv med tiden, att sluta ”dricka”. Vilka är några av de dissipativa processer som kan leda till att fågelns rörelse upphör?
Kan förbättrad teknik och förbättrade material användas i värmemotorer för att minska värmeöverföringen till miljön? Kan de helt och hållet eliminera värmeöverföringen till miljön?
Ändrade termodynamikens andra lag principen om bevarande av energi?

Problem &Övningar

1. En viss bensinmotor har en verkningsgrad på 30,0 %. Vad skulle temperaturen i den varma reservoaren vara för en Carnotmotor med den verkningsgraden, om den drivs med en kall reservoartemperatur på 200ºC?

2. En gaskyld kärnkraftsreaktor drivs mellan varma och kalla reservoartemperaturer på 700ºC och 27,0ºC. (a) Vilken är den maximala verkningsgraden för en värmemotor som arbetar mellan dessa temperaturer? (b) Hitta förhållandet mellan denna verkningsgrad och Carnot-verkningsgraden för en standardkärnreaktor (som du hittar i exempel 1).

3. (a) Vad är den varma reservoartemperaturen för en Carnot-motor som har en verkningsgrad på 42,0 % och en kall reservoartemperatur på 27,0 ºC? (b) Vad måste temperaturen i den varma reservoaren vara för en verklig värmemotor som uppnår 0,700 av den maximala verkningsgraden, men som fortfarande har en verkningsgrad på 42,0 % (och en kall reservoar vid 27,0ºC)? (c) Innebär ditt svar praktiska gränser för verkningsgraden hos bensinmotorer i bilar?

4. Ånglokomotiv har en verkningsgrad på 17,0 % och arbetar med en het ångtemperatur på 425ºC. (a) Vad skulle temperaturen i den kalla reservoaren vara om detta var en Carnotmotor? (b) Vad skulle den maximala verkningsgraden för denna ångmaskin vara om dess kalla reservoartemperatur var 150ºC?

5. Praktiska ångmaskiner använder ånga vid 450ºC, som senare släpps ut vid 270ºC. (a) Vilken är den maximala verkningsgraden som en sådan värmemotor kan ha? (b) Eftersom 270ºC ånga fortfarande är ganska varmt, drivs ibland en andra ångmaskin med hjälp av avgaserna från den första. Vilken är den andra maskinens maximala verkningsgrad om dess avgaser har en temperatur på 150ºC? (c) Vad är den totala verkningsgraden för de två motorerna? (d) Visa att detta är samma verkningsgrad som en enda Carnotmotor som arbetar mellan 450ºC och 150ºC.

6. Ett koleldat elkraftverk har en verkningsgrad på 38 %. Temperaturen på ångan som lämnar pannan är \text{550}\text{\textordmasculine }\text{C} . Hur många procent av den maximala verkningsgraden uppnår kraftverket? (Anta att omgivningens temperatur är \text{20}\text{text{textordmasculine }\text{C} .)

7. Skulle du vara villig att finansiellt stödja en uppfinnare som marknadsför en anordning som hon hävdar har 25 kJ värmeöverföring vid 600 K, har värmeöverföring till omgivningen vid 300 K och utför 12 kJ arbete? Förklara ditt svar.

8. Oförnuftiga resultat a) Antag att du vill konstruera en ångmaskin som har värmeöverföring till omgivningen vid 270 ºC och har en Carnot-verkningsgrad på 0,800. Vilken temperatur på den heta ångan måste du använda? (b) Vad är orimligt med temperaturen? (c) Vilken förutsättning är orimlig?

9. Oförnuftiga resultat Beräkna temperaturen i den kalla reservoaren för en ångmaskin som använder varm ånga vid 450ºC och har en Carnot-verkningsgrad på 0,700. (b) Vad är orimligt med temperaturen? (c) Vilken premiss är orimlig?

Glossar

Carnotcykel: en cyklisk process som endast använder sig av reversibla processer, de adiabatiska och isoterma processerna

Carnotmotor: en värmemotor som använder sig av en Carnotcykel

Carnotverkningsgrad: den maximala teoretiska verkningsgraden för en värmemotor

Uppdragslösningar till problem &Övningar

1. 403ºC

3. (a) 244ºC; (b) 477ºC; (c)Ja, eftersom bilmotorer inte kan bli för varma utan att överhettas är deras effektivitet begränsad.

5. (a) {\mathit{\text{Eff}}}_{\text{1}}=1-\frac{{T}_{\text{c,1}}}{{T}_{\text{h,1}}}=1-\frac{\text{543 K}}{\text{723 K}}=0\text{.}\text{249}\text{ or }\text{24}\text{.}9\%\\\\

(b) {\mathit{\text{Eff}}}_{2}=1-\frac{\text{423 K}}{\text{543 K}}=0\text{.}\text{221}\text{ eller }\text{22}\text{.}1\%\\

(c) {\mathit{\text{Eff}}}_{1}=1-\frac{{T}_{\text{c,1}}}{{T}_{\text{h,1}}}\Rightarrow{T}_{\text{c,1}}={T}_{\text{h,1}}\left(1,-,{\mathit{\text{eff}}}_{1}\right)\text{similarly, }{T}_{\text{c,2}}={T}_{\text{h,2}}\left(1-{\mathit{\text{Eff}}}_{2}\right)\\

using Th,2 = Tc,1 in above equation gives

\begin{array}{l}{T}_{\text{c,2}}={T}_{\text{h,1}}\left(1-{Eff}_{1}\right)\left(1-{Eff}_{2}\right)\equiv{T}_{\text{h,1}}\left(1-{Eff}_{\text{overall}}\right)\\\therefore\left(1-{Eff}_{\text{overall}}\right)=\left(1-{\mathit{\text{Eff}}}_{1}\right)\left(1-{Eff}_{2}\right)\\{Eff}_{\text{overall}}=1-\left(1-0.249\right)\left(1-0.221\right)=41.5\%\end{array}\\

(d) {\text{Eff}}_{\text{overall}}}=1-\frac{\text{423 K}}}{\text{723 K}}}=0\text{.}\text{415}\text{ eller }\text{41}\text{.}5\\\%\\\

7. Värmeöverföringen till den kalla reservoaren är {Q}_{\text{c}}={Q}_{\text{h}}}-W=\text{25}\text{kJ}-\text{12}\text{kJ}=\text{13}\text{kJ}\\, so the efficiency is \mathit{Eff}=1-\frac{{Q}_{\text{c}}}{{Q}_{\text{h}}}=1-\frac{\text{13}\text{kJ}}{\text{25}\text{kJ}}=0\text{.}\text{48}\\\. The Carnot efficiency is {\mathit{\text{Eff}}}_{\text{C}}=1-\frac{{T}_{\text{c}}}{{T}_{\text{h}}}=1-\frac{\text{300}\text{K}}{\text{600}\text{K}}=0\text{.}\text{50}\\. Den faktiska verkningsgraden är 96 % av Carnot-verkningsgraden, vilket är mycket högre än den bästa någonsin uppnådda verkningsgraden på cirka 70 %, så hennes system är sannolikt bedrägligt.

9. (a) -56,3ºC (b) Temperaturen är för kall för en ångmaskins effekt (den lokala miljön). Den ligger under vattnets fryspunkt. (c) Den antagna verkningsgraden är för hög.

Fysik