När man bildar ett sfärpackningsgaller är det första man bör lägga märke till att när två sfärer möts kan man dra en rak linje från den ena sfärens mittpunkt till den andra sfärens mittpunkt som skär beröringspunkten. Avståndet mellan centrumen längs den kortaste vägen, nämligen den raka linjen, blir därför r1 + r2 där r1 är den första sfärens radie och r2 är den andra sfärens radie. I nära packning har alla sfärer en gemensam radie, r. Därför skulle två centra helt enkelt ha avståndet 2r.
Simple hcp latticeEdit
För att bilda en A-B-A-A-B-B-… hexagonal nära packning av sfärer kommer koordinatpunkterna i gallret att vara sfärernas centrum. Antag att målet är att fylla en låda med sfärer enligt hcp. Lådan skulle placeras i x-y-z-koordinatutrymmet.
Först bildar du en rad med sfärer. Centrumen kommer alla att ligga på en rak linje. Deras x-koordinater kommer att variera med 2r eftersom avståndet mellan varje centrum av de sfärer som rör varandra är 2r. Y-koordinaten och z-koordinaten kommer att vara desamma. För enkelhetens skull säger vi att kulorna är den första raden och att deras y- och z-koordinater helt enkelt är r, så att deras ytor vilar på nollplanet. Koordinaterna för centrumen i den första raden kommer att se ut som (2r, r, r), (4r, r, r), (6r ,r, r), (8r ,r, r), … .
Bildar nu nästa rad av kulor. Återigen kommer centrumen att ligga på en rak linje med x-koordinatskillnader på 2r, men det kommer att ske en förskjutning av avståndet r i x-riktningen så att centrumet för varje sfär i denna rad ligger i linje med x-koordinaten för den plats där två sfärer rör vid varandra i den första raden. Detta gör att sfärerna i den nya raden kan glida närmare den första raden tills alla sfärer i den nya raden rör vid två sfärer i den första raden. Eftersom de nya sfärerna rör vid två sfärer bildar deras centrum en liksidig triangel med de två grannarnas centrum. Sidolängderna är alla 2r, så höjd- eller y-koordinatskillnaden mellan raderna är √3r. Den här raden kommer alltså att ha följande koordinater:
( r , r + 3 r , r ) , ( 3 r , r + 3 r , r ) , ( 5 r , r + 3 r , r ) , ( 7 r , r + 3 r , r ) , … . {\displaystyle \left(r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\\left(3r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\\left(5r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \\left(7r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\dots .}
Den första sfären i denna rad berör bara en sfär i den ursprungliga raden, men dess placering följer resten av raden.
Nästa rad följer detta mönster med att flytta x-koordinaten med r och y-koordinaten med √3. Lägg till rader tills du når lådans maximala x- och y-gränser.
I ett A-B-A-A-B-… staplingsmönster kommer de udda numrerade sfärplanerna att ha exakt samma koordinater med undantag för en skillnad i z-koordinaterna och de jämnt numrerade sfärplanerna kommer att ha samma x- och y-koordinater. Båda typerna av plan bildas med hjälp av det mönster som nämns ovan, men startplatsen för den första radens första sfär kommer att vara annorlunda.
Med hjälp av det plan som beskrivs exakt ovan som plan nr 1, A-planet, placera en sfär ovanpå detta plan så att den ligger och rör vid tre sfärer i A-planet. De tre sfärerna berör redan varandra och bildar en liksidig triangel, och eftersom de alla berör den nya sfären bildar de fyra centrumen en regelbunden tetraeder. Alla sidor är lika med 2r eftersom alla sidor bildas av två sfärer som rör vid varandra. Höjden på vars eller z-koordinatskillnaden mellan de två ”planen” är √6r2/3. Detta i kombination med förskjutningarna i x- och y-koordinaterna ger centrumen för den första raden i B-planet:
( r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 3 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 5 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 7 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , … . {\displaystyle \left(r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}}\right),\\left(3r,r+{\frac {{\sqrt {3}}}}r}{3}}},r+{\frac {{\sqrt {{6}}r2}{3}}\right),\ \left(5r,r+{\frac {{\sqrt {{\sqrt {3}}r}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {{\sqrt {6}}r2}{3}}}\right),\\left(7r,r+{\frac {{\sqrt {{\sqrt {{3}}r}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\dots .}
Den andra radens koordinater följer det mönster som först beskrevs ovan och är:
( 2 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 4 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 6 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 8 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , … . {\displaystyle \left(2r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}r}{3}}},r+{\frac {{\sqrt {{\sqrt {6}}r2}{3}}}\right),\left(4r,r+{\frac {4{\sqrt {3}r}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {{6}r2}{3}}}\right),\ \left(6r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}r2}{3}}}\right),\\left(8r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}r}{3}}},r+{\frac {{\sqrt {{\sqrt {6}r2}{3}}\right),\dots .}
Skillnaden till nästa plan, A-planet, är återigen √6r2/3 i z-riktningen och en förskjutning i x och y för att matcha x- och y-koordinaterna i det första A-planet.
I allmänhet kan sfärcentrums koordinater skrivas som:
2 6 3 k ] r {\displaystyle {\begin{bmatrix}2i+((j\ +\ k){\bmod {2}}})\\\{\sqrt {3}}}\left\\\\\{frac {2{\sqrt {6}}}}{3}}k\end{bmatrix}}}r}
