UPDATE (March 14, 2019, 1:18 p.m.): W czwartek Google ogłosił, że jeden z jego pracowników, Emma Haruka Iwao, znalazł prawie 9 trylionów nowych cyfr pi, ustanawiając nowy rekord. Ludzie teraz obliczyli niekończącą się liczbę do 31,415,926,535,897 (rozumiesz?) – około 31,4 tryliona – miejsc po przecinku. To cud z okazji Dnia Liczby Pi!

Poprzednio opublikowaliśmy historię o dążeniu ludzi do osiągnięcia nieskończonego ciągu cyfr liczby Pi. Aby uczcić Dzień Liczby Pi i dodatkowe 9 trylionów znanych cyfr, zaktualizowaliśmy tę historię poniżej.

Zależnie od twoich filozoficznych poglądów na czas, kalendarze i tak dalej, dzisiaj jest coś w rodzaju 4,5 miliardowego Dnia Liczby Pi, którego świadkiem była Ziemia. Ale ta długa historia jest niczym w porównaniu z nieskończonością samej liczby pi.

Odświeżenie dla tych z was, którzy zapomnieli lekcje matematyki z siódmej klasy1: Pi, czyli grecka litera , to stała matematyczna równa stosunkowi obwodu koła do jego średnicy – C/d. Czai się ona w każdym okręgu i wynosi około 3,14. (Stąd Dzień Liczby Pi, który przypada na 14 marca, alias 3/14.)

Ale prostota definicji nie potwierdza statusu liczby pi jako najbardziej fascynującej i najczęściej badanej liczby w historii świata. Podczas gdy traktowanie liczby pi jako równej 3,14 jest często wystarczająco dobre, liczba ta naprawdę trwa wiecznie, pozornie przypadkowa seria cyfr ciągnąca się w nieskończoność i nie podlegająca żadnemu zauważalnemu wzorcowi – 3,14159265358979…. Dzieje się tak dlatego, że jest to liczba irracjonalna, co oznacza, że nie można jej przedstawić w postaci ułamka dwóch liczb całkowitych (chociaż przybliżenia takie jak 22/7 mogą się do niej zbliżyć).

Ale to nie powstrzymało ludzkości przed wściekłym wyłuskiwaniem niekończącej się góry cyfr liczby pi. Byliśmy w tym od tysiącleci.

Ludzie interesowali się tą liczbą w zasadzie tak długo, jak długo rozumiemy matematykę. Starożytni Egipcjanie, zgodnie z dokumentem, który jest również najstarszym na świecie zbiorem zagadek matematycznych, wiedzieli, że pi to coś w rodzaju 3,1. Około tysiąclecia później, szacunkowa wartość liczby pi pojawiła się w Biblii: Stary Testament, w 1 Księdze Królewskiej, wydaje się sugerować, że pi równa się 3: „I uczynił morze stopione, dziesięć łokci od jednego brzegu do drugiego: było okrągłe dookoła… a linia trzydziestu łokci opasała je dookoła.”

Archimedes, największy matematyk starożytności, doszedł aż do 3.141 około 250 p.n.e. Archimedes podszedł do swoich obliczeń pi geometrycznie, umieszczając okrąg między dwoma prostymi wielokątami foremnymi. Mierzenie wielokątów było łatwiejsze niż mierzenie kół, a Archimedes mierzył współczynniki podobne do pi w miarę zwiększania liczby boków wielokątów, aż zaczęły one przypominać koła.

Poważne udoskonalenie metody Archimedesa nie nastąpiłoby przez setki lat. Używając nowej techniki całkowania, matematycy tacy jak Gottfried Leibniz, jeden z ojców rachunku, mogli udowodnić takie eleganckie równania dla pi jak:

begin{equation*}\frac{pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\dots\end{equation*}

Prawa strona, podobnie jak pi, trwa wiecznie. Jeśli będziesz dodawać i odejmować, dodawać i odejmować wszystkie te proste ułamki, będziesz coraz bliżej prawdziwej wartości pi. Problem w tym, że będziesz się zbliżał bardzo, bardzo powoli. Aby uzyskać tylko 10 poprawnych cyfr liczby pi, musiałbyś dodać około 5 miliardów ułamków razem.

Ale odkryto bardziej wydajne formuły. Weźmy ten, od Leonharda Eulera, prawdopodobnie największego matematyka w historii, w XVIII wieku:

Begin{equation*}\frac{pi^2}{6}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\ldots{equation*}

A Srinivasa Ramanujan, matematyczny geniusz samouk z Indii, odkrył poniższe całkowicie zaskakujące i dziwaczne równanie we wczesnych latach 1900. Każdy dodatkowy człon w tej sumie dodaje osiem poprawnych cyfr do oszacowania liczby pi:

begin{equation*}}}frac{1}{pi}=}suma_{k=0}^{infty}}}frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}

Podobnie jak w przypadku poszukiwania dużych liczb pierwszych, komputery wysadziły to poszukiwanie cyfry pi poza orbitę ziemską i w głęboki kosmos począwszy od połowy XIX wieku. ENIAC, wczesny komputer elektroniczny i jedyny komputer w USA w 1949 roku, obliczył pi do ponad 2000 miejsc, prawie podwajając rekord.

Jak komputery stały się szybsze, a pamięć bardziej dostępna, cyfry pi zaczęły spadać jak kostki domina, ścigając się w dół nieskończonej linii liczby, niemożliwie daleko, ale też nigdy bliżej końca. Opierając się na formule Ramanujana, matematyczni bracia Gregory i David Chudnovsky obliczyli ponad 2 miliardy cyfr liczby pi na początku lat 90. przy użyciu domowej roboty superkomputera umieszczonego w ciasnym i dusznym mieszkaniu na Manhattanie. Po kilku latach podwoili swój wynik do 4 miliardów cyfr.

Obecny rekord wynosi obecnie około 31,4 biliona cyfr – tysiące razy więcej niż udało się to domowemu superkomputerowi Chudnovskich. Został on obliczony przez pracownika Google’a w ciągu 121 dni przy użyciu swobodnie dostępnego programu o nazwie y-cruncher i zweryfikowany przez kolejne 48 godzin sesji numerycznych. Obliczenia zajęły mniej więcej tyle miejsca, ile zajmuje cała cyfrowa baza danych Biblioteki Kongresu. Emma Haruka Iwao, kobieta stojąca za rekordem, obliczała liczbę pi na komputerach od dzieciństwa.

Wyczyn obliczeniowy Iwao zwiększył zbiorową wiedzę ludzkości na temat cyfr liczby pi o około 40 procent. Poprzedni rekord wynosił ponad 22 tryliony cyfr, wypracowanych po 105 dniach obliczeń na serwerze firmy Dell, również przy użyciu programu y-cruncher. Program ten, który używa zarówno wzorów Ramanujana, jak i Chudnovsky’ego, został użyty do znalezienia rekordowej liczby cyfr nie tylko liczby pi, ale także innych nieskończonych, irracjonalnych liczb, w tym e, , i złotej proporcji.

Ale może 31 bilionów cyfr to już lekka przesada. NASA’s Jet Propulsion Laboratory używa tylko 15 cyfr pi dla swoich najbardziej dokładnych obliczeń dla nawigacji międzyplanetarnej. Heck, Isaac Newton znał tyle cyfr 350 lat temu. „Wartość do 40 cyfr byłaby więcej niż wystarczająca, aby obliczyć obwód galaktyki Drogi Mlecznej z błędem mniejszym niż rozmiar protonu” – napisała grupa badaczy w użytecznej historii liczby. Więc po co nam 31 trylionów cyfr?

Na pewno nauczyliśmy się trochę teorii matematycznej, zagłębiając się w pi: o szybkich transformacjach Fouriera i o tym, że pi jest prawdopodobnie tak zwaną normalną liczbą. Ale wydaje mi się, że bardziej satysfakcjonująca odpowiedź nie ma nic wspólnego z matematyką. Może ma to związek z tym, co prezydent John F. Kennedy powiedział o budowaniu programu kosmicznego. Robimy takie rzeczy „nie dlatego, że są łatwe, ale dlatego, że są trudne; ponieważ ten cel będzie służył do organizowania i mierzenia najlepszych naszych energii i umiejętności.”

Ale jest jedna zasadnicza różnica: Księżyc nie jest nieskończenie daleko; faktycznie możemy się tam dostać. Może ten słynny cytat o szachach jest bardziej trafny: „Życie nie jest wystarczająco długie dla szachów – ale to wina życia, a nie szachów.”

Pi jest zbyt długie dla ludzkości. Ale to jest wina ludzkości, a nie pi. Wszystkiego najlepszego z okazji Dnia Liczby Pi.