Twierdzenie o niemożliwości Arrowa przedstawia tragiczną sytuację: żadna procedura wyborcza nie spełnia zestawu aksjomatów Arrowa, z wyjątkiem dyktatury. Nie oznacza to, że demokracja jest wadliwa i że dyktatura jest jedyną rozsądną formą rządu. Jeśli aksjomaty Arrowa są zbyt rygorystyczne i żadna procedura wyborcza nie spełnia aksjomatów, to albo mniejszy zestaw aksjomatów, albo inny zestaw kryteriów może pozwolić na porównanie procedur wyborczych – z celem znalezienia „najlepszej” procedury. Definicja „najlepszej” jest względna w stosunku do tego, jakie właściwości są pożądane w procedurze. Poniżej znajduje się lista kryteriów, których niektórzy użyli do oceny procedur wyborczych, by dojść do wniosku, która procedura (procedury) jest „najlepsza”.
Zwycięzca Condorcet
 |
W 1770 roku, Jean Charles de Borda zaproponował użycie liczenia Borda do określenia przyjęcia do Francuskiej Akademii Nauk. W 1785 roku Marie-Jean-Antoine-Nicolas de Caritat Condorcet (Markiz du Condorcet) argumentował, że liczenie Bordy jest wadliwe, ponieważ niekoniecznie wybiera kandydata, który pokonuje każdego innego kandydata w wyborach head-to-head. Condorcet rozważył, co stałoby się w przypadku wyborów pomiędzy wszystkimi parami kandydatów i uogólnił zasadę większości w inny sposób. Rozważmy następujący przykład, w którym pięciu wyborców klasyfikuje czterech kandydatów A, B, C i D. |
B
|
D
|
A
|
D
|
|---|---|---|---|---|---|
|
C
|
C
|
A
|
A
|
B
|
A
|
|
D
|
D
|
C
|
D
|
C
|
C
|
|
B
|
A
|
B
|
C
|
B
|
Dla powyższych danych o preferencjach, w wyborach head-to-head między dwoma kandydatami, jeden z nich musi otrzymać więcej głosów niż drugi z powodu nieparzystej liczby wyborców. Na przykład, D pokonuje A, ponieważ trzech wyborców woli D od A (ci wyborcy, których preferencje znajdują się w kolumnach 2, 3, i 4 powyżej), podczas gdy tylko dwóch wyborców woli A od D (ci wyborcy, których preferencje znajdują się w kolumnach 1 i 5 powyżej). Podobne obliczenia mogą być użyte do wykazania, że D pokonuje A, B i C w rywalizacji parami. Condorcet argumentował, że kandydat, który pokonuje każdego innego kandydata w wyborach head-to-head, powinien zostać wybrany. Taki kandydat nazywany jest „zwycięzcą Condorceta”. Dane dotyczące wyborów head-to-head dla powyższego przykładu znajdują się poniżej.
|
D
|
A
|
–
|
D
|
B
|
–
|
D
|
C
|
|
|
3
|
2
|
–
|
–
|
3
|
2
|
–
|
3
|
2
|
|
–
|
—
|
—
|
—
|
—
|
—
|
—
|
–
|
|
|
A
|
B
|
–
|
A
|
C
|
–
|
B
|
C
|
|
|
4
|
1
|
–
|
1
|
4
|
–
|
2
|
3
|
The Borda Count May Not Elect the Condorcet Winner
Condorcet uznał liczenie Bordy za wadliwe, ponieważ niekoniecznie wybrałoby ono zwycięzcę Condorceta. Powyższy przykład z pięcioma wyborcami (w którym preferencje wyborców dotyczą kandydatów A, B, C i D) dostarcza dowodu. Wektor głosowania z liczbą Borda jest zapisany na lewo od preferencji.
|
Borda
|
–
|
–
|
–
|
–
|
–
|
–
|
|
count
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
3
|
A
|
B
|
D
|
A
|
D
|
|
|
2
|
C
|
C
|
A
|
B
|
A
|
|
|
1
|
D
|
D
|
C
|
D
|
C
|
|
|
0
|
B
|
A
|
B
|
C
|
B
|
Kandydaci A, B, C i D otrzymują odpowiednio 10, 5, 6 i 9 punktów. W związku z tym A wygrywa wybory według metody Bordy, w przeciwieństwie do zwycięzcy Condorceta, D.
Punkty A: 2*3 + 3*2 + 0*1 + 1*0 = 10 punktów B: 1*3 + 1*2 + 0*1 + 3*0 = 5
Punkty C: 0*3 + 2*2 + 2*1 + 1*0 = 6 punktów D: 2*3 + 0*2 + 3*1 + 0*0 = 9
 |
Niestety, zwycięzca Condorceta nie zawsze istnieje. (Zobacz wpis w ramce.) Procedura wyborcza, która zawsze wybiera zwycięzcę Condorceta, gdy taki istnieje, spełnia „kryterium Condorceta”. Wielu matematyków i teoretyków głosowania zaproponowało procedury, które spełniają kryterium Condorceta, w tym angielski matematyk Charles Dodgson. Chociaż był wykładowcą matematyki w Christ Church na Uniwersytecie Cambridge, Dodgson jest bardziej znany pod pseudonimem Lewis Carroll, autor Przygód Alicji w Krainie Czarów. |
|---|
W wyborach head-w wyborach „łeb w łeb” między A i B, A wygrywa wybory według zasady większościowej, zdobywając 2 z 3 możliwych głosów. W wyborach „łeb w łeb” między B i C, B wygrywa stosunkiem głosów 2 do 1. Wreszcie, A pokonuje C tym samym wynikiem 2 do 1.
To jest znane jako cykl Condorceta, ponieważ w konkursach parami, A pokonuje B, które pokonuje C, które pokonuje A. |
Łatwość użycia i łatwość zrozumienia
Procedura wyborcza powinna być łatwa w użyciu, tak by wyborcy mogli dokładnie odzwierciedlić swe preferencje względem kandydatów. Ponadto, procedura wyborcza powinna być łatwa do zrozumienia przez wyborców, tak by istniało zaufanie do wyników wyborów. Jeśli „najlepsza” procedura wyborcza jest zbyt skomplikowana w użyciu lub zrozumieniu, wtedy elektorat może nie mieć zaufania do wyników wyborów, bez względu na to, czy matematyka ochrzciła tę procedurę jako „najlepszą”, czy też nie.
Na przykład, gdy wzrasta liczba kandydatów, niepraktyczne może być założenie, że wyborcy mogą uszeregować wszystkich kandydatów (patrz „Jak głosować”), jak to jest wymagane w większości procedur wyborczych. Głosowanie zatwierdzające zostało częściowo poparte przez Bramsa i Fishburna, ponieważ jest ono łatwo zrozumiałe i wymaga od wyborców jedynie podjęcia decyzji o „zatwierdzeniu” lub „odrzuceniu” kandydata. Inni argumentowali, że głosowanie zatwierdzające jest zbyt elastyczne. Nawet jeśli dwóch wyborców może uszeregować kandydatów w ten sam sposób, mogą oni podzielić ich na dwie kategorie „aprobaty” i „dezaprobaty” w różny sposób, tak że preferencje kolejności nie są wystarczające do określenia wyniku wyborów.
Least Manipulable
Celem procedury wyborczej jest określenie wyniku, który reprezentuje wolę ludu. Ponieważ wyborcy mogą fałszywie przedstawić swoje prawdziwe rankingi kandydatów i wpłynąć na wynik wyborów w sposób, który poprawi rezultat (np. głosując na drugiego w kolejności kandydata, gdy jego najlepszy wybór jest daleko w tyle w sondażach), „najlepsza” procedura wyborcza uniemożliwiłaby wyborcom fałszywie przedstawić swoje preferencje, by osiągnąć lepszy wynik. W teorii głosowania, właściwość ta nazywana jest „odpornością na strategię”. Oznacza to, że procedura wyborcza jest odporna na strategię, jeśli nigdy nie jest w najlepszym interesie wyborcy głosować strategicznie i fałszywie przedstawiać swoje preferencje. Czy istnieje taka odporna na strategię procedura?
Simultaneous Discovery!
Allan Gibbard i Mark Satterthwaite niezależnie udowodnili to, co stało się znane jako Twierdzenie Gibbarda-Satterthwaite’a, które stwierdza, że poza dyktaturą, nie istnieje odporna na strategię procedura dla wyborów wśród trzech lub więcej kandydatów. Gibbard opublikował artykuł z tym twierdzeniem w 1973 roku. Wkład Satterthwaite’a był częścią jego pracy doktorskiej na Uniwersytecie Wisconsin. Mimo że praca została wykonana niezależnie i bez wiedzy o sobie nawzajem, ponieważ praca Gibbarda została przyjęta do publikacji, Satterthwaite nie mógł opublikować wyniku w formie, w jakiej pojawił się w jego pracy. W 1975 roku opublikował wersję, w której powiązał wynik z Twierdzeniem Strzałki.
Mark Satterthwaite
Patrz „References and Links” dla odniesień bibliograficznych.
Niestety, w wyniku podobnym do Arrowa, Allan Gibbard i Mark Satterthwaite pokazali, że jedyną odporną na strategię procedurą wyborczą dla trzech lub więcej kandydatów jest dyktatura! Ich praca została wykonana niezależnie od siebie w latach 70-tych.
Ponieważ wszystkie nie-dyktatorskie procedury wyborcze są podatne na głosowanie strategiczne, następnym pytaniem jest ustalenie, czy istnieje procedura, która minimalizuje prawdopodobieństwo, że głosowanie strategiczne jest użyteczne. Donald G. Saari, Uniwersytet Kalifornijski w Irvine, zadał to pytanie i odpowiedział na nie. Udowodnił on, że liczenie Borda minimalizuje prawdopodobieństwo, że fałszywe przedstawienie preferencji lub głosowanie strategiczne może być wykorzystane dla osiągnięcia korzyści.
A Definitive Answer?
W przypadku wyborów z trzema lub więcej kandydatami, nie ma ostatecznej odpowiedzi na pytanie, jaka jest najlepsza procedura. Odpowiedź jest względna. Najlepsza procedura może zależeć od kontekstu (np. ilu kandydatów) oraz od tego, które właściwości są uważane za ważne dla wyborów. Jedno jest pewne: nie należy głosować nad tym, jakiej procedury wyborczej użyć!