Przy formowaniu jakiejkolwiek siatki do układania kul pierwszym faktem, który należy zauważyć, jest to, że zawsze gdy dwie kule się stykają, można narysować linię prostą od środka jednej kuli do środka drugiej, przecinającą punkt styku. Odległość między środkami wzdłuż najkrótszej ścieżki, czyli tej prostej, będzie zatem r1 + r2, gdzie r1 to promień pierwszej sfery, a r2 to promień drugiej. W ścisłym upakowaniu wszystkie kule mają wspólny promień, r. Dlatego dwa ośrodki będą miały po prostu odległość 2r.

Simple hcp latticeEdit

Animacja generowania kraty ścisłego upakowania. Uwaga: Jeśli trzecia warstwa (nie pokazana) znajduje się bezpośrednio nad pierwszą warstwą, to budowana jest sieć HCP. Jeśli trzecia warstwa jest umieszczona nad otworami w pierwszej warstwie, to powstaje siatka FCC.

Aby utworzyć sześciokątne upakowanie ścisłe kul A-B-A-B-…, punktami współrzędnych siatki będą środki kul. Załóżmy, że celem jest wypełnienie pudełka kulami zgodnie z hcp. Pudełko byłoby umieszczone na przestrzeni współrzędnych x-y-z.

Najpierw utwórz rząd kul. Wszystkie ich środki będą leżeć na linii prostej. Ich współrzędna x będzie się różnić o 2r, ponieważ odległość między każdym centrum sfer dotykających jest 2r. Współrzędna y i współrzędna z będą takie same. Dla uproszczenia powiedzmy, że kule są pierwszego rzędu i że ich współrzędne y i z są po prostu r, tak że ich powierzchnie spoczywają na płaszczyznach zerowych. Współrzędne środków pierwszego rzędu będą wyglądały jak (2r, r, r), (4r, r, r), (6r ,r, r), (8r ,r, r), … .

Teraz utwórz następny rząd kul. Ponownie, wszystkie centra będą leżeć na linii prostej z różnicą współrzędnych x równą 2r, ale nastąpi przesunięcie o odległość r w kierunku x, tak aby środek każdej kuli w tym rzędzie wyrównał się ze współrzędną x miejsca, w którym dwie kule dotykają się w pierwszym rzędzie. Pozwala to sferom nowego rzędu przesunąć się bliżej pierwszego rzędu, aż wszystkie sfery w nowym rzędzie będą dotykać dwóch sfer z pierwszego rzędu. Ponieważ nowe sfery dotykają dwóch sfer, ich środki tworzą trójkąt równoboczny ze środkami tych dwóch sąsiadów. Długości wszystkich boków wynoszą 2r, więc różnica wysokości lub współrzędnych y między rzędami wynosi √3r. Zatem ten rząd będzie miał współrzędne jak poniżej:

( r , r + 3 r , r ) , ( 3 r , r + 3 r , r ) , ( 5 r , r + 3 r , r ) , ( 7 r , r + 3 r , r ) , … . { {displaystyle \left(r,r+{sqrt {3}r,r}right),\left(3r,r+{sqrt {3}r,r}right),\left(5r,r+{sqrt {3}r,r}right),\left(7r,r+{sqrt {3}r,r}r,r}right),\dots .}

Pierwsza kula w tym rzędzie dotyka tylko jednej kuli w oryginalnym rzędzie, ale jej położenie odpowiada reszcie rzędu.

Kolejny rząd podąża za tym wzorem przesuwając współrzędną x o r, a współrzędną y o √3. Dodaj rzędy aż do osiągnięcia maksymalnych granic x i y pudełka.

W schemacie układania A-B-A-B-…, nieparzyste ponumerowane płaszczyzny kul będą miały dokładnie te same współrzędne z wyjątkiem różnicy skoku we współrzędnych z, a parzyste ponumerowane płaszczyzny kul będą miały te same współrzędne x i y. Oba typy płaszczyzn są tworzone przy użyciu schematu wspomnianego powyżej, ale miejsce początkowe dla pierwszej sfery w pierwszym rzędzie będzie inne.

Używając płaszczyzny opisanej dokładnie powyżej jako płaszczyzna #1, płaszczyzna A, umieść sferę na szczycie tej płaszczyzny tak, że leży ona dotykając trzech sfer w płaszczyźnie A. Te trzy kule już dotykają się nawzajem, tworząc trójkąt równoboczny, a ponieważ wszystkie dotykają nowej kuli, cztery środki tworzą czworościan foremny. Wszystkie boki są równe 2r, ponieważ wszystkie boki są utworzone przez dwie dotykające się sfery. Wysokość, czyli różnica współrzędnych z pomiędzy dwoma „płaszczyznami” wynosi √6r2/3. To w połączeniu z przesunięciami we współrzędnych x i y daje środki pierwszego rzędu w płaszczyźnie B:

( r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 3 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 5 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 7 r , r + 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , … . {{displaystyle \left(r,r+{sqrt {3}r}{3}},r+{sqrt {6}r2}{3}}}prawda),\left(3r,r+{sqrt {3}r}{3}},r+{sqrt {6}r2}{3}}prawda),\ \ Left(5r,r+{{sqrt {3}r}{3}},r+{sqrt {6}r2}{3}}}prawa),\ \left(7r,r+{sqrt {3}r}{3}},r+{sqrt {6}r2}{3}}prawa),\dots .}

Współrzędne drugiego rzędu są zgodne ze wzorem opisanym powyżej i wynoszą:

( 2 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 4 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 6 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , ( 8 r , r + 4 3 r 3 , r + 6 r 2 3 ) , … . {{displaystyle }left(2r,r+{frac {4{sqrt {3}r}{3}}},r+{sqrt {6}r2}{3}}}prawda),}left(4r,r+{frac {4{sqrt {3}r}{3}}},r+{sqrt {6}r2}{3}}prawda),\ \ lewa(6r,r+{frac {4{sqrt {3}r}{3}}},r+{sqrt {6}r2}{3}}}prawa),\ \ lewa(8r,r+{frac {4{sqrt {3}r}{3}}},r+{sqrt {6}r2}{3}}prawa),\dots .}

Różnica względem następnej płaszczyzny, płaszczyzny A, to znowu √6r2/3 w kierunku z oraz przesunięcie w x i y, aby dopasować te współrzędne x i y do pierwszej płaszczyzny A.

W ogólności współrzędne środków kuli można zapisać jako:

2 6 3 k ] r {{displaystyle {{begin{bmatrix}}2i+((j + k){{bmod {2}})\{sqrt {3}}}left {{frac {2{sqrt {6}}}{3}}k}end{bmatrix}}}r}.

.